Bài 4: Mặt nón, Hình nón và Khối nón - Giải BT Toán 12 nâng cao
Bài 17 (trang 59 sgk Hình Học 12 nâng cao): Trong mỗi trường hợp sau, gọi tên hình tròn xoay:
a) Sinh bởi ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng của tam giác đó.
b) Sinh bởi một tam giác vuông (kể cả điểm trong) khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông.
Bài giải:
a) Hình tròn xoay sinh bởi ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng của tam giác đó là hình nón.
b) Sinh bởi một tam giác vuông (kể cả điểm trong) khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông là khối nón.
Bài 18 (trang 59): Cho điểm A nằm ngoài mặt cầu. Cmr các đường thẳng đi qua A tiếp xúc với mặt cầu S luôn luôn nằm trên một mặt nón xác định.
Bài giải:
Giả sử: At là một tiếp tuyến của mặt cầu S (I, R) với tiếp điểm M. Khi đó gọi Δ là đường thẳng AI và α là góc hợp bởi At và Δ thì:
Suy ra góc α không đổi.
Vậy At là đường sinh của mặt nón H có đỉnh A, trục Δ và góc ở đỉnh bằng 2 α.
Bài 19 (trang 60): Một mặt cầu gọi là ngoại tuyến hình nó nếu mặt cầu đó đi qua đỉnh của hình nón và đi qua đường tròn đáy của hình nón. Hình nón như vậy gọi là nội tiếp mặt cầu đó.
a) Cmr mọi hình nón đều có mặt cầu ngoại tiếp duy nhất.
b) Một hình nón có chiều cao h và bán kính bằng r. Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó.
c) Cho hình nón nội tiếp mặt cầu bán kính R. Nếu hình nón đó có chiều cao bằng h thì bán kính của đáy nó bằng bao nhiêu? Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.
Bài giải:
a) Giả sử hình nón H có đỉnh S và đường tròn đáy (O, r) (hình vẽ). Lấy điểm M bất kì trên (O, r) thì tam giác SOM vuông ở O.
Trong mp (SOM), đường trung trực của đoạn thẳng SM cắt SO tại I. Khi đó ta có IS = IM.
Ngoài ra, do I nằm trên trục của đường tròn. Do I tồn tại duy nhất khi M thay đổi trên (O), suy ra một mặt cầu tâm I bán kính R = IS chính là mặt cầu duy nhất ngoại tiếp hình nón.
b) Gọi SS’ là đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón (SS’ > h). tam giác vuông SMS’ vuông tại M, có đường cao OM.
OM2=OS. OS'=h (SS'-h)
=> 
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón là:
c) Nếu hình nón có chiều cao h, bán kính đáy r, nội tiếp mặt cầu bán kính R thì:
nên r2=h (2R-h)
Khi đó độ dài đường sinh là:
Bài 20 (trang 60): Một mặt cầu gọi là nội tiếp hình nón nếu nó tiếp xúc với mặt đáy của hình nón và tiếp xúc với mọi đường sinh của hình nón. Khi đó hình nón được gọi là ngoại tiếp mặt cầu.
a) Cmr mọi hình nón đều có mặt cầu nội tiếp duy nhất.
b) Một hình nón có chiều cao h và bán kính bằng r. Hãy tính bán kính mặt cầu nội tiếp.
Bài giải:
a) Giả sử hình nón đỉnh S và có đáy là đường tròn C (O, R) (hình vẽ). Lấy điểm A nào đó trên đường tròn và gọi I là điểm nằm trên SO sao cho AI là tia phân giác của góc SAO. Khi đó, khoảng cách từ I tới các đường sinh của hình nón bằng nhau và bằng IO là khoảng cách từ I tới mặt phẳng đáy. Suy ra mặt cầu tâm I bán kính r = IO chính là mặt cầu nội tiếp hình nón. Do I xác định duy nhất nên mặt cầu nội tiếp hình nón tồn tại duy nhất.
b)Ta có:
Theo tính chất đường phân giác ta có:
Vậy bán kính mặt cầu nội tiếp là:
Bài 21 (trang 60): Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AC = b. Tính thể tích của khối tròn xoay sinh bởi tam giác đó (kể cả các điểm trong) khi quay quanh đường thẳng BC.
Bài giải:
Gọi H là hình tạo bởi tam giác ABC (kể cả các điểm trong) khi quay quanh đường thẳng BC (như hình vẽ).
Áp dụng định lí Pytago và hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:
Nếu gọi AH là đường cao của tam giác ABC thì tam giác BAH và tam giác CAH khi quay quanh BC lần lượt tạo thành hai khối nón H1 và H2. Gọi V1 và V2 lần lượt là thể tích hai khối nón đó ta có:
