Bài 1: Khái niệm về khối đa diện - Giải BT Toán 12 nâng cao

Bài 1 (trang 7 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cmr nếu khối đa diện có các mặt là tam giác thì số mặt phải là số chẵn. Hãy chỉ ra những khối đa diện như thế với số mặt bằng 4,6,8,10.

- Giải sử khối đa diện đã cho có M mặt và C cạnh.

Vì mỗi mặt có 3 cạnh nên M mặt có 3M cạnh, nhưng mỗi cạnh lại là cạnh chung cho 2 mặt nên có 2C = 3M => M chẵn. Vậy nếu khối đa diện có các mặt làm tam giác thì số mặt phải là số chẵn.

- Khối a) khối tứ diện có 4 mặt là tam giác.

- Hình b) khối 6 mặt là tam giác.

- Hình c) khối 8 mặt là tam giác.

- Hình d) khối 10 mặt là tam giác

Bài 2 (trang 7): Cmr nếu khối đa diện mà mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì số đỉnh phải là số chẵn.

Gọi Đ, C lần lượt là số đỉnh, số cạnh của đa diện.

Vì mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh nên Đ đỉnh có 3 Đ cạnh, nhưng mỗi cạnh là cạnh chung của 2 đỉnh.

Vậy 2C = 3Đ. => Đ là số chẵn.

Bài 3 (trang 7): Cmr khối đa diện có các mặt là tam giác và m là đỉnh chung của 3 cạnh thì đó là khối tứ diện.

Gọi A là một đỉnh của khối đa diện. A là đỉnh chung của 3 cạnh AB, AC, AD.

Mặt chứa cạnh AB, AC, AD phải là Δ ABC, tương tự Δ ACD, Δ ADB cũng là các mặt của đa diện. Như vậy xuất phát từ đỉnh D của đa diện có các cạnh DC, DB, nên mặt chứa cạnh DB và Dc phải là Δ BCD dây là mặt thứ 4 của đa diện.

=> Suy ra đpcm.

Bài 4 (trang 7): Hãy phân tích một khối hộp thành 5 khối tứ diện.

Khối hộp ABCDA’B’C’D’ được chia thành 5 khối tứ diện: CB’C’D’; BCB’A; AA’B’D’; DACD’; B’ACD’; bởi các mặt phẳng: (CB’D’), (ACB’), (ABD’), (ACD’).

Bài 5 (trang 7): Hãy phân tích khối tứ diện thành 4 khối tứ diện bởi hai mặt phẳng.

Bài giải:

Gọi M, N là hai điểm trên cạnh AB, CD (khác hai đầu nút). Khi đó, 2 mặt phẳng (ABN) và (CMD) chia khối tứ diện ABCD thành 4 khối tứ diện đó là: CBMN, DBMN, CAMN, DAMN.