Luyện tập (trang 199) - Giải BT Toán 12 nâng cao

Bài 23 (trang 199 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Giải phương trình z + (1/z) = k trong các trường hợp sau:

a) k = 1

b) k=√ 2

c) k = 2i

Bài giải:

a) Khi k = 1 ta có phương trình: z + (1/z) = 1, điều kiện z ≠ 0 phương trình:

< => z² - z + 1 = 0, có Δ = 1 - 4 = -3 = (√ 3 i)²

b) Khi k = √ 2 ta có phương trình: z² - √ 2 z + 1 = 0

Ta có Δ = 2 - 4 = -2 = (√ 2 i)²

c) Khi k = 2i ta có phương trình: z² - 2iz + 1 = 0

Ta có Δ = (2i)² - 4 = -8 = (2√ 2. i)²

=> z₁ = (2i - 2 √ 2 i)/2 = (1 - √ 2)i; z₂ = (1 + √ 2)i

Vậy Phương trình có hai nghiệm là: (1 - √ 2)i và (1 + √ 2)i

Bài 24 (trang 199): Giải các phương trình sau và biểu diễn hình học tập hợp các nghiệm của mỗi phương trình trong mặt phẳng số phức.

a) z³ + 1 = 0

b) z⁴ - 1 = 0

c) z⁴ + 4 = 0

d) 8z⁴ + 8z³ = z + 1

Bài giải:

a) z³ + 1 = 0

< => (z+1)(z²-z+1) = 0

b) z⁴ - 1 = 0

< => (z - 1)(z + 1)(z² + 1) = 0

< => z = ±1 và z = ±i

c) z⁴ + 4 = 0

< => ( (z²)² - (2i)²)² = 0

< => (z² - 2i)(z² + 2i) = 0

d) 8z⁴ + 8z³ = z + 1

< => 8z³ (z + 1) = z + 1

< => (z + 1)(8z³ - 1) = 0

< => (z + 1)(2z - 1)(4z² + 2z + 1) = 0

Vậy Phương trình có 4 nghiệm là:

Vậy Phương trình có 4 nghiệm là:

Bài 25 (trang 199):

a) Tìm các số thực a, b để phương trình (với ẩn z): z² + bz + c = 0 nhận z = 1 + i làm một nghiệm.

b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z): z³ + az² + bz + c = 0 nhận z = 1 + i làm nghiệm và cũng nhận z = 2 làm nghiệm.

Bài giải:

a) Vì z = 1 + i làm nghiệm đúng của: z² + bz + c = 0 nên: (1 + i)² + b (1 + i) + c = 0

< => 1 + 2i - 1 + b + bi + c = 0

<=> (b + c) + (2 + b)i = 0

Vậy b = -2 và c = 2 là giá trị cần tìm.

b) Vì z = 1 + i và z = 2 là nghiệm của phương trình: z³ + az² + bz + c = 0 nên ta có:

=> a = -4 và b = 6 và c = -4 là giá trị cần tìm.

Bài 26 (trang 199):

a) Dùng công thức lượng giác để cmr với mọi số thức φ, ta có:

(cos⁡φ + i sin⁡φ)² = cos⁡2φ + isin 2φ

Từ đó hãy tìm mọi căn bậc hai của số thức: cos⁡2φ + isin 2φ. So sánh cách giải thích này với cách giải thích học ở bài 2.

Bài giải:

a) Ta có: (cos⁡φ + i sin⁡φ)² = (cos²⁡φ - sin²⁡φ) + 2sinφcosφi = cos⁡2φ + isin 2φ

=> cos⁡2φ+isin 2φ có căn bậc hai là: cos⁡φ + i sin⁡φ và -cos⁡φ - i sin⁡φ

Nhận xét: Các giải thích này rất thuận lợi cho việc tìm căn bậc hai của số phức: z = a + bi với a² + b² = 1

Ta có:

Theo câu a) ta có: Số cos⁡ (π /4)-i sin⁡ (π /4) có căn bậc hai là:

Bài trước: Bài 2: Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai - Giải BT Toán 12 nâng cao Bài tiếp: Bài 3: Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng - Giải BT Toán 12 nâng cao