Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Giải BT Toán 12 nâng cao

Bài 1 (trang 7 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) y = 2x³+3x²+1

b) y = x³-2x²+x+1

c) y = x+3/x

d) y = x-2/x

e) y = x⁴-2x²-5

Bài giải:

a. Hàm số y = 2x³ + 3x² + 1 xác định trên R.

Ta có:

y' = 6x²+6x

=> y' = 6x (x+1)

y'=0 < => x=0 hoặc x=-1

Chiều biến thiên của hàm số được nêu trong bảng sau:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞; -1) và (0; +∞) nghịch biến trên (-1; 0)

b. Tập xác định: R

Đạo hàm y’ = 3x²-4x+1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞; 1/3) và (1; +∞) nghịch biến trên (1/3; 1)

c. Tập xác định: R\ {0}

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞, -√3) và (√3; +∞) hàm nghịch biến trên mỗi khoảng (-√3; 0) và (0; √3)

d. Tập xác định: D = R\ {0}

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞; 0) và (0; +∞)

e. Tập xác định: R

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 0) và (1; +∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) và (0; 1).

f. Hàm số

Tập xác định: D = [-2; 2]

Đạo hàm:

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên [-2; 0] và nghịch biến trên [0; 2]. Hoặc có thể trả lời: hàm số đồng biến trên (-2; 0) và nghịch biến trên (0; 2)).

Bài 2 (trang 7 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Chứng minh rằng:

Bài giải:

a. Hàm số xác định trên R \ {-2}

Đạo hàm:

Nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞; -2) và (-2; +∞)

b. Hàm số xác định trên R \ {-1}

Đạo hàm:

Nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (-∞; -1) và (-1; +∞)

Bài 3 (trang 8 sgk Giải Tích 12 nâng cao): CMR các hàm số sau đồng biến trên R.

a) f (x)=x³-6x²+17x+4=0;

b) f (x)=x³+x-cos⁡x-4

Bài giải:

a. Hàm số f (x) = x³ - 6x² + 17x + 4 = 0 xác định trên R.

Ta có f' (x)=3x²-12x+17=3 (x-2)²+5> 0 ∀x ∈ R.

Nên hàm số đồng biến trên R.

b. Hàm số f (x) xác định trên R.

Và f' (x)=3x²+1+sin⁡x> 0 ∀x ∈ R

Vì: x² ≥ 0; 1 + sinx ≥ 0; 3x² + 1 + sin⁡x = 0 vô nghiệm nên hàm số đồng biến trên R.

Bài 4 (trang 8 sgk Giải Tích 12 nâng cao):Với giá trị nào của a, hàm số y = ax - x³ nghịch biến trên R?

Bài giải:

Hàm số xác định trên R, y' = a-3x²

Cách 1:

+) Nếu a < 0 => y’ < 0 ∀x ∈ R => hàm số nghịch biến trên R.

+) Nếu a = 0 => y’ = -3x²≤ 0, ∀x ∈ R, y'=0 ⇔ x = 0

Vậy hàm số nghịch biến trên R.

+) Nếu a > 0 thì y'=0

Bảng biến thiên:

Cách 2:

Hàm số nghịch biến trên R, điều kiện y'≤ 0, ∀x ∈ R, y'=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm.

Ta có: y'≤ 0 ⇔ a-3x²≤ 0, ∀ x ⇔ 3x² ≥ a² ∀x ∈ R

⇔ a≤ min⁡ (3x²), mà 3x²≥ 0 ∀x ∈ R

⇔ a ≤ min⁡ (3x²), mà 3x² ≥ 0 ∀x ∈ R

Kết luận: với a≤ 0 thì y=ax-3x³ nghịch biến trên R.

Bài 5 (trang 8 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Tìm các giá trị của tham số a để hàm số

f (x) = 1/3 x³+ax²+4x+3 đồng biến trên R.

Bài giải:

Tập xác định: D = R.

Đạo hàm: f’ = x² + 2ax + 4 có

Hàm số đã cho đồng biến trên R khi và chỉ khi:

Vậy để hàm số đã cho đồng biến trên R < => -2 ≤ a ≤ 2

Lưu ý: Để tam thức bậc hai f (x)= ax² + bx + c ≤ 0; ∀ x khi và chỉ khi:

Bài tiếp: Luyện tập (trang 8-9) - Giải BT Toán 12 nâng cao