Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Giải BT Toán 12 nâng cao

Bài 16 (trang 22 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f (x) = sin⁴x+cos⁴⁡x.

Bài giải:

Hàm số xác định trên R.

Ta có f (x) = (sin²⁡⁡x)²⁡+ (cos²⁡⁡x)²⁡= (sin²⁡⁡x+cos²⁡x)²⁡-2sin²⁡x. cos²⁡x=1-1/2 sin²⁡⁡2x với x ∈ R.

f (x) ≤ 1, ∀x ∈ R, f (0) = 1 => max_{x ∈ R} f (x) = 1

Bài 17 (trang 22 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

Bài giải:

a) Hàm số f (x)= x² + 2x – 5

Tập xác định D = R.

Đạo hàm y’= 2x +2

y’= 0 ⇔ x = - 1

+) Cách 1:

Bảng biến thiên:

+) Cách 2:

Ta có: f (-2) = -5; f (-1) = -6; f (3) = 10

b. Hàm số

Hàm số đã cho xác định trên R

f' (x)=x²+4x+3;

f' (x)=0 ⇔ x = -1 hoặc x = -3

Ta có: f (-4) = -16/3; f (-3)=-4; f (-1)=-16/3; f (0)=-4

Bảng biến thiên:

Hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên (0; +∞)

d. Hàm số y = - x² +2x + 4

Hàm số liên tục trên R.

f' (x)= -2x+2;

f' (x)=0 ⇔ x = 1 (loại vì x = 1 không thuộc [2; 4])

Ta có: f (2)=4; f (4)=-4

+) Cách 1

Bảng biến thiên:

+) Cách 2:

Vì x ∈ [0; 1] nên Phương trình f’ (x) = 0 vô nghiệm trên [0; 1]

Ta có: f (0) = 2; f (1) = 11/3

f (x)= x-1/x;

f' (x)=1+ (1/x²) > 0, ∀x ∈ (0; 2), f (x)liên tục trên (0; 2] nên f (x) đồng biến trên (0; 2]

Hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất trên nửa khoảng (0; 2].

Bài 18 (trang 22 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = 2 sin²⁡x + 2sinx - 1

b) y = cos²⁡x - sinxcosx + 4

Bài giải:

a. Đặt t = sin x, -1 ≤ t ≤ 1. Khi đó, hàm số đã cho trở thành:

y = f (t) = 2t² + 2t - 1, t ∈ [-1; 1]

Ta tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y = f (t) trên [-1; 1]. Đó là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên R

f' (t) = 4t+2, f' (t)=0 ⇔ t = -1/2

Bảng biến thiên:

Bảng biến thiên:

Bài 19 (trang 22 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Cho tam giác đều ABC cạnh a, người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác. Xác định vị trị của điểm M sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và giá trị lớn nhất đó là?

Bài giải:

Đặt BM = x (0< x< a/2)

Ta có: MN = a – 2x; QM = BM. tan B = x √3

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là:

S (x)=QM. MN=x √3 (a-2x)

S (x)=√3 (ax-2x²)

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của S (x) trên khoảng (0; a/2)

Ta có S' (x)=√3 (a-4x);S' (x)=0 < => x=a/4

S đạt giá trị lớn nhất tại x=a/4 và giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhât MNQP là:

Bài 20 (trang 22 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Một hợp tác xã nuôi cá trong hồ, nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ có cân nặng: P (n)=480-20n (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?

Bài giải:

Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì sau một vụ, số cá trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ trung bình cân năng:

f (n) = n. P (n) = 480n - 20n² (gam) n ∈ N*

Xét hàm số f (x) = 480x - 20x² trên (0; +∞) (Biến n lấy các giá trị nguyên dương được thay bằng biến số x lấy các giá trị trên khoảng (0; +∞))

f' (x) = 480-40x; f' (x)=0 < => x = 12

Trên (0; +∞) hàm số f (x) đạt giá trị lớn nhất tại x = 12

Suy ra trên tập hợp N* các số nguyên dương, hàm số f đạt giá trị lớn nhất tại điểm n=12.

Do vậy, muốn thu hoạch được nhiều cá nhất sau một vụ thì trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ phải thả 12 con cá.

Bài trước: Bài 2: Cực trị của hàm số - Giải BT Toán 12 nâng cao Bài tiếp: Luyện tập (trang 23-24) - Giải BT Toán 12 nâng cao