Một số đề kiểm tra - Giải BT Toán 12 nâng cao

Đề số 1 (trang 129 sgk Hình Học 12 nâng cao):

Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có đáy bằng a, và cạnh bên bằng a√ 2.

a) Tính thể tích của hình chóp đã cho.

b) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABCD.

c) Gọi A’ và C' lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và SC. Chứng minh rằng hình chóp A’. ABCD và C’. CBAD bằng nhau.

Câu 2: Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A (4; -1; 2); B (1; 2; 2), C (1; -1; 5)

a) Cmr ABC là tam giác đều.

b) Viết phương trình mp (ABC). Tính thể tích khối tứ diện giới hạn bởi mp (ABC) và các mặt phẳng tọa độ.

c) Viết phương trình trục của đường tròn ngoại tiếp Δ ABC

d) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là tứ diện đều.

Bài giải:

Câu 1:

a) Gọi H là tâm của hình vuông ABCD

Ta có: SH ⊥ (ABCD)

b) Gọi O là giao điểm của SH và và đường trung trực cạnh SA, suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S. ABCD.

Ta có: SO. SH = SA'. SA (A' là trung điểm SA)

c) Ta thấy hai hình chóp A’. ABCD và C’. ABCD đối xứng với nhau qua mp (SBD) nên chúng bằng nhau => đpcm.

Câu 2:

a) Ta có, AB→(-3,3,0),AC→(-3,0,3),BC→(0, -3,3) suy ra AB = AC = BC = 3√ 2 nên tam giác ABC là tam giác đều.

b) Mp (ABC) là mặt phẳng đia qua A (4; -1; 2) và nhận [AB→,AC→]= (9; 9; 9) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là: x+y+z-5=0

Mặt phẳng (ABC) cắt trục tọa độ lần lượt tại:

M (5; 0; 0); N (0; 5; 0), P (0; 0; 5)

Thể tích khối chóp OMNP là:

c) Trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp Δ ABC và vuông góc với mp (ABC). Tâm đường tròn ngoại tiếp là điểm M thõa mãn MA = MB = MC

Vậy trục của đường tròn là đường thẳng đi qua M (2; 0; 3) và nhận vectơ [AB→,AC→]= (9; 9; 9), chọn u→ (1; 1; 1) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình là:

d) Để ABCD là tứ diện đều thì D nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp Δ ABC và DA = AB = 3√ 2

Vì D nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp Δ ABC nên tọa độ của D có dạng: D (2+t; t; 3+t).

Vì DA = 3√ 2

< => DA² = 18

< => (2 - t)² + (1 + t)² + (1 + t)² = 18

< => 3t² = 12

=> t² = 4

=> t = ±2

Với t = 2 => D (4; 2; 5); với t = -2 => D (0; -2; 1)

Vậy có hai điểm D thỏa mãn bài toán.

Đề số 2 (trang 129 sgk Hình Học 12 nâng cao):

Câu 1: Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Gọi B’, C’, D’ lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, AD.

a) Cmr 6 điểm B, C, D, B’, C’, D’ nằm trên một mặt cầu. Tính bán kính mặt cầu đó?

b) Tính thể tích khối chóp D. BCC’B’

Câu 2: Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A (2; 0; 0); A’ (6; 0; 0), B (0; 3; 0); B’ (0; 4; 0); C (0; 0; 4); C’ (0; 0; 3).

a) Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 bốn điểm A, A’, B, C. CMR: B’ và C’ cùng nằm trên mặt cầu đó.

b) Cmr trực tâm H của tam giác ABC, trọng tâm G của Δ A'B'C' cùng nằm trên một đường thẳng đi qua O. Viết Phương trình đường thẳng đó.

c) Tính khoảng cách từ điểm O tới giao điểm của mặt phẳng (ABC’) và (A’B’C)

Bài giải:

Câu 1:

Gọi H là tâm của Δ BCD, khi đó AH ⊥ (BCD) và AH là trục đường tròn ngoại tiếp Δ B'C'D'

a) Gọi M là trung điểm BB’ và O là giao điểm của đường thẳng AH với đường trung trực OM của cạnh BB’.

Khi đó ta có:

=> O cách đều 6 điểm B, C, D, B’, C’, D’ hay O là tâm mặt cầu đi qua B, C, D, B’, C’, D’. bán kính mặt cầu là R = OB.

Ta có:

Mặt khác tam giác vuông AMO đồng dạng tam giác vuông AHB

b) Tính V_{D. BCC'B'}. Khoảng cách từ D đến mp (ABC) cũng bằng đoạn AH (vì tứ diện ABCD đều).

Tam giác ABC có B’C’ là đường trung bình nên:
Trong mp (ABC), kẻ AK vuông góc BC, ta có:
Chiều cao của hình thang cân B’C’CB là:

Diện tích hình thang cân B’C’CB là:

Vậy thể tích khối chóp D. BCC’B’ là:

Câu 2:

a) Gọi Phương trình mặt cầu đi qua A, A’, B, C là:

x² + y² + z² + ax + by + cz + d = 0

Vì mặt cầu đi qua A (2; 0; 0); A’ (6; 0; 0); B (0; 3; 0), C (0; 0; 4) nên ta có hệ:

Vậy Phương trình mặt cầu là: x² + y² + z² - 8x - 7y - 7z + 12 = 0

Thay tọa độ điểm B’ và C' và phương trình mặt cầu thấy thỏa mãn. Do đó, các điểm B’, C’cũng nằm trên mặt cầu đó => đpcm.

b) Trực tâm H của Δ ABC là

Trọng tâm G của Δ A'B'C' là

Suy ra phương trình đường thẳng HG là:

Đường thẳng này đi qua O (0; 0; 0) (khi t = -1/3). Vậy H, G, O thẳng hàng.

c) Phương trình mp (ABC’) là:

Phương trình mp (A’B’C) là:

Phương trình giao tuyến của Δ của (ABC’) và (A’B’C’) là:

và có vectơ chỉ phương u→ = [n→,n'→] = (0; -5; 5)

Với n→( 3; 2; 2),n'→(2; 3; 3)

Khoảng cách từ O đến Δ là

Đề số 3 (trang 130 sgk Hình Học 12 nâng cao):

Câu 1: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Gọi N là điểm nằm trên cạnh AB, vì (α) là mặt phẳng đi qua 3 bốn điểm D, N, B’.

a) Mp (α) cắt hình hộp đã cho thiếu diện là hình gì?

b) CMR mặt phẳng (α) phần chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện H₁ và H₂ bằng nhau.

c) Tính tỉ số thể tích của khối đa diện H₁ và thể tích tứ diện AA’BD.

Câu 2: Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm: A (1; -3; -1); và B (-2; 1; 3)

a) Chứng tỏ rằng hai điểm A và B cách đều trục Ox.

b) Tìm điểm C nằm trên Oz sao cho tam giác ABC vuông tại C.

c) Viết PT hình chiếu của đường thẳng AB trên mặt phẳng (Oyz).

d) Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm O, A, B và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oyz).

Bài giải:

Câu 1:

a) Vì số mặt phẳng cắt mặt phẳng song song theo hai giao tuyến song song nên α cắt hình hộp theo thiết diện là hình bình hành DNB’N’.

b) H₁ và H₂ là hai hình đa diện đối xứng với nhau qua tâm O của hình hộp nên chúng bằng nhau.

c) Vì H₁ và H₂ bằng nhau nên thể tích của chúng bằng một thể tích hình hộp.

Mặt khác:

Câu 2:

a) Ta có:

⇒ d (A, Ox) = d (B, Ox) = √ 10 => đpcm.

b) Gọi C (0; 0; c) ∈ Oz là điểm cần tìm.

Vì Δ ABC vuông tại C nên CA² + CB² = AB²

< => 1 + 9 + (1 + c)² + 4 + 1 + (3 - c)² = 9 + 16 + 16

< => 2c² - 4c - 16 = 0

< => c = 4 và c = -2

Vậy điểm C thỏa mãn bài toàn là: C = (0; 0; 4) và C’ (0; 0; -2)

c) Hình chiếu của A (1; -3; -1) lên mặt phẳng (Oyz) là A’ (0; -3; -1)

Hình chiếu của B (-2; 1; 3) lên mặt phẳng (Oyz) là B’ (0; 1; 3)

Vậy A’B’ chính là hình chiếu của AB lên mặt phẳng (Oyz).

Đường thẳng A’B’ qua A’ (0, -3; -1) và nhận VTCP A'B'→= (0,4,3)

Phương trình đường thẳng A’B’ là:

d) Gọi I (a; b; 0) ∈ (Oxy) là tâm của mặt cầu đi qua O, A, B.

Khi đó ta có:

Vậy phương trình mặt cầu là: