Luyện tập (trang 190-191) - Giải BT Toán 12 nâng cao
Bài 10 (trang 190 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Chứng minh rằng với mọi số phức z ≠ 1, ta có:
Vì z ≠ 1, nên tính chất của số phức ta có đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
(1 + z + z2 + ⋯ + z9) (z - 1) = z10 - 1
< => z + z2 + z3 + ⋯ + z10 - 1 - z - z2 - z3- … - z9 = z10 - 1
< => z10 - 1 = z10 - 1 => đpcm.
Vậy ta có điều cần chứng minh.
Bài 11 (trang 190): Hỏi mỗi số sau đây là số thức hay số ảo (z là số phức tùy ý cho trước sao cho biểu thức xác định)?
Bài giải:
Bài 12 (trang 191 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thõa mãn từng điền kiện sau:
a) z2 là số thực âm
b) z2 là số ảo
c) z2= (z−)2
Bài giải:
a) Ta có z2 = (a + bi)2 = (a2 - b2) + 2abi
Vì z2 là số thực âm nên:
Vậy các điểm cần tìm là trục ảo trừ đi điểm gốc O (0; 0)
b) z2 = (a2 - b2) + 2abi là số ảo khi a2 - b2 = 0 < => a = ±b
Vậy tập hợp các điểm là hai đường phân giác của góc tạo bởi trục thực và trục ảo.
Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hợp của trục thực và trục ảo.
Vậy tập hợp các điểm là trục ảo bỏ đi điểm I (0; 1) biểu diễn số i.
Bài 13 (trang 191 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Giải Phương trình sau (với ẩn z).
a) iz + 2 - i = 0
b) (2 + 3i)z = z - 1
c) (2 - i)z − -4 = 0
d) (iz - 1)(z + 3i)(z−-2 + 3i) = 0
e) z2 + 4 = 0
Bài giải:Bài 14 (trang 191):
a) Cho số phức z = x + yi (x, y ∈R). Khi z ≠ 1 hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức
b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
Vậy quỹ tích điểm cần tìm là trục ảo bỏ đi đoạn IJ, trong đó I (0; 1); J (0; -1).
Bài 15 (trang 191):
a) Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn các số phức z1;z2;z3. Hỏi trọng tâm của tam giác ABC biểu diễn số phức nào?
b) Xét ba điểm A, B, C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân biệt z1;z2;z3 thõa mãn |z1 |=|z2 |=|z3 |
CMR A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi z1+z2+z3=0
Bài giải:Giả sử z1 = a1 + b1 i => A (a1;b1)
z2 = a2 + b2 i => B (a2;b2)
z3 = a3 + b3 i => C (a3;b3)
a) Suy ra trọng tâm G của tam giác ABC là:
Vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp Δ ABC. Để Δ ABC là Δ đều thì O cũng là trọng tâm của Δ ABC.
Theo câu a) trọng tâm Δ ABC là:
Bài 16 (trang 191 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Đố vui: Trong mặt phẳng phức cho các điểm: O gốc tọa độ, A biểu diễn số 1, B biểu diễn số phức z không thực, A’ biểu diễn số phức z^' ≠ 0 và B’ biểu diễn số phức zz’. Hai Δ OAB và Δ OA’B’ có phải là Δ đồng dạng không.
Bài giải:Gọi z = a + bi (ab ≠ 0) z' = a' + b' i (a' b' ≠ 0)
Suy ra zz’ = (aa’ – bb’) (a’b + b’a)i
Ta có:
Vậy ta có: