Trang chủ > Lớp 12 > Giải BT Toán 12 nâng cao > Câu hỏi và bài tập ôn tập cuối năm - Giải BT Toán 12 nâng cao

Câu hỏi và bài tập ôn tập cuối năm - Giải BT Toán 12 nâng cao

Bài 1 (trang 211 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

a) CMR hàm số f (x) = ex - x - 1 đồng biến trên nửa khoảng [0; +∞)

b) Từ đó suy ra ex > x + 1 với mọi x > 0

Bài giải:

a) Ta có: f’ (x) = (ex - x - 1)' = ex - 1

f' (x) ≥ 0 < => ex - 1 ≥ 0

< => ex ≥ 1

< => x ≥ 0

Vậy f (x) đồng biến trên [0; +∞)

b) Vì f (x) = ex - x - 1 đồng biến trên [0; +∞) nên:

f (x) > f (0) với mọi x > 0, mà f (0) = 0 nên ta có: f (x) > 0

< => ex - x - 1 > 0

< => ex > x + 1 => đpcm

Bài 2 (trang 211):

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số f (x) = 2x3 - 3x2 - 12x - 10.

b) CMR phương trình 2x3 - 3x2 - 12x - 10 = 0 có nghiệm thực duy nhất.

c) Gọi nghiệm duy nhất của phương trình là α. Cmr: 3,5 < α < 3,6.

Bài giải:

a) Tập xác định: R

f' (z) = 6x2 - 6x - 12; f (x) = 0 < => x = -1; x = 2

f'' (x) = 12x - 6; f'' (x) = 0 < => x = 1/2.

Bảng biến thiên

Đồ thị

b) Nhìn vào đồ thị của hàm số y = 2x3 - 3x2 - 12x - 10 = 0 ta thấy đồ thị chỉ cắt Ox tại 1 điểm duy nhất, nên phương trình: 2x3 - 3x2 - 12x - 10 = 0 có 1 nghiệm duy nhất.

c) Xét f (x) = 2x3 - 3x2 - 12x - 10. Ta có f (3,5). f (3,6) < 0 mà f (x) là hàm liên tục nên f (x) có một nghiệm α ∈ (3,5;3,6) => đpcm.

Bài 3 (trang 211): Gọi C là đồ thị hàm số của y = lnx và D là một tiếp tuyến bất kì của C. CMR trên (0; +∞), C nằm ở phía dưới của đường thẳng D.

Bài giải:

nên đồ thị hàm số y = lnx lồi trên (0; +∞) nên đường tiếp tuyến D luôn nằm trên đồ thị C. (đpcm)

Bài 4 (trang 212): Một xưởng in có 8 máy in, mỗi máy in được 3600 bản trong một giờ. Chi phí để vận hành một trong mỗi lần là 50 nghìn đồng. Chi phí cho n máy chạy trong một giờ là 10 (6n +10) nghìn đồng. Hỏi nếu in 50000 tờ quảng cáo thì phải sử dụng bao nhiêu máy để được lãi nhiều nhất.

Bài giải:

Giả sử dụng máy n máy để in (n = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8)

Khi đó, tổng chi phí để in 50000 tờ quảng cáo là:

Bảng biến thiên của f (n)

Để ta được lãi nhiều nhất thì tổng chi phí phải là ít nhất.

Vậy ta cần tìm n ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} để f (n) nhỏ nhất. ta có f (5) < f (6), kết hợp với bảng biến thiên của f (n) thì khi n = 5 tổng chi phí sẽ bé nhất.

=> Chọn 5 máy.

Bài 5 (trang 212): Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số


Bài giải:

Bài 8 (trang 212):

a) Tính đạo hàm của các hàm số: y = cosx. e2tanx và y = log2(sin⁡x)

b) Cmr hàm số y = e4x + 2. e-x thõa mãn hệ thức y''' - 13y' - 12y = 0.

Bài giải:

Bài 9 (trang 212):

a) Vẽ đồ thị của hàm số y = 2x,y = (√ 2)x; y = (√ 3)x trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Hãy nhận xét vị trị tương đối của ba đồ thị.

b) Vẽ đồ thị y = log3x. Từ đó suy ra đồ thị của hàm số y = 2 + log3⁡x và đồ thị của hàm số y = log3(x + 2).

Bài giải:

a) Vẽ đồ thị các hàm số: y = 2x, y = (√ 2)x; y = (√ 3)x

Nhận xét:

Trong khoảng (-∞; 0) đồ thị sắp xếp theo thứ tự từ trên xuống dưới là: y = (√ 2)x; y = (√ 3)x; y = 2x

Đồ thị cả 3 hàm số đi qua điểm (0; 1)

Khoảng (0; +∞) đồ thị sắp xếp theo thứ tự từ trên xuống dưới là:

y = 2x, y = (√ 3)x; y = (√ 2)x

Như vậy “độ dốc” của đồ thị hàm số tăng theo giá trị cơ số: √ 2 < √ 3 < 2.

b) Vẽ đồ thị hàm số y = log3⁡x (C)

Đồ thị hàm số y = 2 + log3x có được bằng cách tịnh tiến (C) lên trên theo phương Oy 2 đơn vị.

Đồ thị hàm số y = log3(x + 2) có được bằng cách tính tiến (C) sang bên trái theo phương Ox 2 đơn vị.

Bài 10 (trang 212): Giải các phương trình sau:


Bài giải:

a) Phương trình: 81sin2⁡x + 81cos2x = 30

< => 81sin2⁡x + 811-sin2⁡x = 30

Đặt t = 81sin2⁡x, t > 0, ta có Phương trình: t + 81/t = 30

< => t2 - 30t + 81 = 0

< => t = 27; t = 3

Với t = 27 => 81sin2⁡x = 27

< => 34 sin2⁡x = 33

< => 4 sin2x = 3

Vậy Phương trình đã cho có 4 họ nghiệm:

b) Điều kiện: x > 0.

c) Điều kiện: x > 0. Khi đó phương trình đã cho trở thành:

Thay y = 1/3x vào (1) ta được.

Với x = 2 => y = 1/6. Vậy hệ có 1 nghiệm là:

Bài 11 (trang 213): Tập hợp xác định của các hàm số sau:


Bài giải:

a) Hàm số y = log⁡ (1 - log⁡ (x2 - 5x + 16)) xác định khi:

< => x2 - 5x + 6 < 0

< => x ∈ (2; 3)

Vậy tập xác định của hàm số là khoảng (2; 3)

Bài 12 (trang 213): Tìm họ nguyên hàm của mỗi hàm số sau trên khoảng xác định của nó.


Bài giải:

a) Tìm F (x) = ∫x3(1 + x4)3dx. Đặt u = 1 + x4 => du = 4x3 dx

b) Tìm F (x) = ∫cosx. sin2x dx = 2 ∫cos2⁡x. sinxdx

Đặt cosx = u => -sinxdx = du. Ta có:

Bài 13 (trang 213): Tìm hàm số f (x) biết:

Bài giải:

Bài 14 (trang 213): Tính các tích phân sau:


Bài giải:

c) Theo công thức tích phân từng phần, ta có:

Bài 15 (trang 214): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường.

a) y + x2 = 0 và y + 3x2 = 2

b) y2 - 4x = 4 và 4x - y = 16

Bài giải:

a) Hoành độ giao điểm của hai đường thẳng: y = -x2 và y = -3x2 + 2 là nghiệm của phương trình: -x2 = -3x2 + 2

< => x2 = 1

< => x = ±1

Vậy diện tích cần tìm là:

b) Ta có: y2 – 4x = 4

⇔ y2 = 4x + 4

Và 4x - y = 16

⇔ y = 4x - 16

Diện tích cần tìm là S = S1 - S2 (hình vẽ)

Hai đường đã cho cắt nhau tại hai điểm có hoành độ là 3 và 21/4

S1 là diện tích hình phẳn giới hạn bởi đường y2 - 4x - 4 = 0 và đường thẳng x = 21/4

Ta có:

S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 đường: y2 = 4x + 4; y = 4x -16 và x = 21/4

Ta có:

Bài 16 (trang 213):

a) Cho hình thang cong A giới hạn bởi đồ thị hàm số y = ex, trục hoành và các đường thẳng x = 0 và x = 1. Tính thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay A quang trục hoành.

b) Cho hình phẳng B giới hạn bởi parabol y = x2 + 1 và đường thẳng y = 2. Tính thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay B quanh trục tung.

Bài giải:

a) Thể tích cần tìm là:

b) Do y= x2 + 1 nên x2 = y - 1. Thể tích cần tìm là:

Bài 17 (trang 213): Cho các số phức z1 = 1 + i; z2 = 1 - 2i. Hãy tính và biểu diễn hình học các số phức: z12; z1 z2, 2z1-z2, z1.Z2; và z2/z1.

Bài giải:

Ta có: z12 = (1 + i)2 = 1 + 2i + i2 = 1 + 2i - 1 = 2i

z1 z2 = (1 + i)(1 - 2i) = 1 + 2 + i - 2i = 3 - i

2z1 - z2 = 2 (1 + i) - (1 - 2i) = 1 + 4i

z1.¯ (z2) = (1 + i)(1 + 2i) = -1 + 3i

Các điểm A, B, C, D, D lần lượt biểu diễn các số:

Bài 18 (trang 214): Tính

a) (√ 3 + i)2 - (√ 3 - i)2

b) (√ 3 + i)2 + (√ 3 - i)2

c) (√ 3 + i)3- (√ 3 - i)3


Bài giải:

a) (√ 3 + i)2 - (√ 3 - i)2 = (3 + 2 √ 3 i -1) - (3 - 2 √ 3 i - 1) = 4 √3 i

b) (√ 3 + i)2 + (√ 3 - i)2 = (3 + 2 √ 3 i - 1) + (3 - 2 √ 3 i - 1) = 4

c) (√ 3 + i)3 - (√ 3 - i)3 = (3 √ 3 + 9i - 3 √ 3 - i) - (3 √ 3 - 9i - 3 √ 3 + i) = 16i

Bài 19 (trang 214):

a) Xác định phần thực của số phức:

b) Cmr nếu:

Bài giải:

a) Giả sử z = a + bi với a2 + b2 = 1 và a + bi ≠ 1

Vậy số phức (z + 1)/ (z - 1) có phần thực = 0.

b) Theo câu a, ta có:

Nên (z + 1)/ (z - 1) là số ảo thì a2 + b2 - 1 = 0

< => a2 + b2 = 1

< => |z| = 1 (đpcm)

Bài 20 (trang 214): Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức (1 + i√ 3)z + 2, trong đó |z - 1| ≤ 2.

Bài giải:

Giả sử z = x + yi, vì |z - 1| ≤ 2 nên (x - 1)2 + y2 ≤ 4 (1)

Ta có:

w= (1 + √ 3 i)z + 2 = (1 + √ 3 i)(x + yi) + 2 = (x - √ 3 y + 2) + i (x√ 3 + y)

Gọi N là điểm biểu diễn số phức w

=> N (x - √ 3 y + 2; x√ 3 + y)

Từ (1) ta có: 4 [(x - 1)2 + y2] ≤ 16

< => (x - 1)2 + 3y2] + [3 (x - 1)2 + y2] ≤ 16

< => (x - 1 - √ 3 y)2 + (√3 (x - 1) + y)2 ≤ 16

< => (xN - 1)2 + (yN - √ 3)2 ≤ 16.

Vậy tập hợp các điểm N nằm trong hình tròn có tâm A (1; √3) có bán kính R = 4.

Bài 21 (trang 214): Tìm căn bậc hai của mỗi số phức: -8 + 6i; 3 + 4i; 1 - 2√ 2 i

Bài giải:

Gọi a + bi là căn bậc hai của -8 + 6i, ta có:

(a + bi)2 = -8 + 6i

< => (a2 - b2) + 2abi = -8 + 6i

Vậy số -8 + 6i căn bậc hai là: 1 + 3i; -1 – 3i.

Tương tự, số 3 + 4i có căn bậc hai là: 2 + i; - 2 - i;

Số 1 - 2 √ 2 i có căn bậc hai là: √ 2 - i và - √ 2 + i

Bài 22 (trang 214):

a) Giải phương trình: z2 - 3z + 3 + i = 0

b) Giải phương trình: z2 - (cos⁡φ + i sin⁡φ)z + i sin⁡φcos⁡φ = 0

Bài giải:

a) Ta có biệt số ∆ = (-3)2 - 4. (3 + i) = -3 - 4i = (2i - 1)2 nên phương trình có hai nghiệm là z1 = i + 1; z2 = 2 - i

b) Ta có biệt hiệu số

∆ = (cos⁡φ + i sin⁡φ)2 - 4i sin⁡φ. cos⁡φ

= cos2 φ + 2i. cosφ. sinφ - sin2φ - 4isinφ. cosφ = cos⁡ (-2φ) + i sin⁡ (-2φ)

∆ có hai căn bậc hai là: cos⁡ (-φ) + i sin⁡ (-φ) và (-cos⁡ (-φ) - i sin⁡ (-φ)

Nên phương trình có nghiệm là:

Bài 23 (trang 214):


Bài giải:

Bài 24 (trang 214):

A. Đồng biến trên mỗi khoảng (-∞; 1) và (3; +∞)

B. Nghịch biến trên mỗi khoảng (-∞; 1) và (3; +∞)

C. Đồng biến trên khoảng (-∞; 1) và nghịch biến trên khoảng (3; +∞)

D. Nghịch biến trên khoảng (-∞; 1) và đồng biến trên khoảng (3; +∞)

Bài giải:

Dấu của f’ (x) là dấu của tam thức x2-4x+3

Ta có bảng xét dấu f’ (x):

Vậy f (x) đồng biến trên (-∞; 1] và [3; +∞)

Đáp án đúng là: A.

Bài 25 (trang 215): Hàm số y = sin2x - 2sinx có giá trị nhỏ nhất là:

A. -1/2
B. 0
C. -1
D. -1/3

Bài giải:

Ta có: f (x) = sin2x - 2sinx = (sinx - 1)2 - 1 ≥ -1, ∀x dấu “=” xảy ra khi sinx = 1

< => x = π /2 + k2π; k ∈Z

Vậy f (x) có giá trị nhỏ nhất là -1

=> Đáp án đúng là: C.

Bài 26 (trang 215): Gọi (C) là thị hàm số:

A. Đường thẳng y = x + 1 là tiệm cận xiên của (C) khi x -> +∞

B. Đường thẳng y = x + 1/2 là tiệm cận xiên của C khi x -> +∞

C. Đường thẳng y = -x là tiệm cận của C khi x -> +∞

D. Đồ thị C không có tiệm cận xiên x -> +∞

Bài giải:

Gọi y = ax + b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

Vậy tiệm cận xiên là y = x + 1/2,

=> Đáp án đúng là: B.

Bài 27 (trang 215): Đồ thị hàm số y = x3 - x + 1 tiếp xúc tại điểm (1; 1) với.

A. Parabol y = 2x2 - 1

B. Parabol y = x2

C. Parabol y = -x2 + 2x

D. Đường thẳng y = 2x + 1

Bài giải:

Phương trình tiếp tuyến của đô thị hàm số y = x3 - x + 1 tại điểm (1; 1) là y = 2x - 1, đây cũng là phương trình tiếp tuyến của parabol y = x2 tại điểm (1; 1). Vậy đồ thị hàm số tiếp xúc với (P): y = x2 tại (1; 1)

= Đáp án đúng là: B.

Bài 28 (trang 215): Cho hai số dương a và b.

A. X > Y

B. X < l Y

C. X ≥ Y

D. X ≤ Y

Bài giải:

Với mọi số dương a, b ta có: (a + b)2 ≥ 4ab, dấu “=” xảy ra khi a = b.

=> Đáp án đúng là: C.

Bài 29 (trang 215): Cho 2 số dương không âm a và b.

A. X > Y

B. X < Y

C. X ≥ Y

D. X ≤ Y

Bài giải:

Với mọi số a, b, không âm ta có

Dấu “=” xảy ra khi a = b.

Vậy Y – X ≥ 0 < => Y ≥ X.

=> Đáp án đúng là: D.

Bài 30 (trang 215): Cho C là đồ thị hàm số y = log2x, ta có thể suy ra đồ thị của hàm số log2(x + 3) bằng cách tịnh tiến C theo vectơ.

A. v→= (3; 1)

B. v→= (3; -1)

C. v→= (-3; 1)

D. v→= (-3; -1)

Bài giải:

Gọi v→ = (a; b) là vectơ tịnh tiến cần tìm. Lấy 1 điểm A (x; log2⁡x) bất kì thuộc C. Khi đó ảnh của A qua T là A’ (x + a; log2x + b).

Để A’ thuộc đồ thị hàm số y = log2⁡2 (x + 3) thì:

log2⁡x + b = log22 (x + a + 3) đúng với ∀x > 0

< => log2⁡x + b = 1 + log2(x + a + 3) đúng với ∀x > 0

Suy ra b = 1 và a = -3. Vậy v→ = (-3; 1) là vectơ cần tìm.

=> Đáp án đúng là: C

Bài 31 (trang 216): Cho hàm số f (x) = log5(x2 + 1). Khi đó


Bài giải:

Ta có:

Đáp án đúng là: C.

Bài 32 (trang 216): Biết đồ thị hàm số y = ax và đồ thị của hàm số y = logb⁡x cắt nhau tại điểm (√ (2-1); 2). Ta kết luận:

A. (a> 1 và b> 1)

B. a> 1 và 0 < b < 1

C. 0 < a < 1 và b > 1

D. 0 < a < 1 và 0 < b < 1

Bài giải:

Vì đồ thị hàm số y = ax cắt đồ thị hàm số y = logbx tại (√ (2-1); √ 2) nên điểm (1/√ 2; √ 2) thuộc cả hai đồ thị đó.

Ta có:

=> Đáp án đúng là: B.

Bài 33 (trang 216):


Bài giải:

Đáp án đúng là: A

Bài 34 (trang 216): Nếu a là một số thỏa mãn các điều kiện:

A. a=π

B. a=√ π

C. a=2√ π

D. a=√ (2 π)

Bài giải:

Theo bài ra ta có: sin⁡ (a + a2) - sin⁡a2 = sina

< => sin⁡ (a + a2) = sin⁡a2 + sina

=> Đáp án đúng là: D.

Bài 35 (trang 216): Gọi S là tập hợp các số nguyên dương k thõa mãn điều kiện:

A. S = {1}

B. S = {2}

C. S = {1; 2}

D. S = ∅

Bài giải:

Theo công thức tính tích phân từng phần ta có:

Theo bài ra, ta có: (e -1)lnk - 1< e - 2

< => (e - 1) lnk < e - 1

< => lnk < 1

< => k < e

Vì k nguyên dương nên k = 1; k = 2.

=> Đáp án đúng là: C.

Bài 36 (trang 217): Cho số phức z tùy ý. Xét các số phức

Khi đó:

A. α là số thực, β là số thực.

B. α là số thực, β là số ảo.

C. α là số ảo, β là số thực.

D. α là số ảo, β là số ảo.

Bài giải:

Giả sử z = a + bi, ta có:

α = (a + bi)2 + (a - bi)2 = 2a2 vậy α ∈ R

β = (a + bi)(a - bi) + i (a + bi - a + bi) = a2 + b2 - b2) = a2 ∈ R

=> Đáp án đúng là: A.

Bài 37 (trang 217): Cho số phức tùy ý z ≠ 1. Xét các số phức.

Khi đó:

A. α là số thực, β là số thực.

B. α là số thực, β là số ảo.

C. α là số ảo, β là số thực.

D. α là số ảo, β là số ảo.

Bài giải:

Giả sử z = a + bi (z ≠ 1), ta có:

Vậy α là một số ảo

Vậy β là một số thực.

=> Đáp án đúng là: C.

Bài 38 (trang 217): Nếu mô đun của số phức z bằng r (r > 0) thì mô đun của số phức (1-i)2 z. Bằng.

A. 4r

B. 2r

C. r √ 2

D. √ 2

Bài giải:

Ta có (1 - i)2z = (1 - 2i - 1)(a + bi) = 2b - 2ai) có mô đun là:

=> Đáp án đúng là B.