Câu hỏi và bài tập ôn tập chương 3 - Giải BT Toán 12 nâng cao

Lưu ý: ta có thể tìm nguyên hàm này theo cách không đưa ra biến u như sau:

Bài 42 (trang 175): Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

Bài 43 (trang 176): Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

Bài 44 (trang 176): Tìm hàm số y = f (x) nếu biết dy = 12x (3x²-1)³ dx và f (1) = 3

Theo định nghĩa nguyên hàm thì f (x) là một nguyên hàm của hàm g (x) = 12x (3x²-1)³

Bài 45 (trang 176): Xác định số b dương để tích phân có giá trị lớn nhất:

Từ bảng biến thiên ta thấy y lớn nhất bằng 1/6 khi x = 1

Vậy để tích phân I có giá trị lớn nhất khi b = 1.

Bài 46 (trang 176): Cho biết:

Hãy tìm:

Áp dụng tính chất cở bản của nguyên hàm ta có:

Bài 47 (trang 176): Cho hàm số f (x) liên tục trên được gọi là giá trị trung bình của hàm số f (x) trên [a; b] và được kí hiệu m (f). CMR tồn tại điểm c ∈ (a; b) sao cho m (f) = f (c).

Gọi F (x) là một nguyên hàm của f (x) => F’ (x) = f (x) => F (x) liên tục trên [a; b] có đạo hàm trên (a; b) và thỏa mãn:

Theo định lý Lagrăng thì ∃c ∈ (a; b) sao cho

Vì F' (c)=f (c)=> ∃c ∈ (a; b) để m (f) = f (c) (đpcm)

Bài 48 (trang 176): Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi t = 0 (s) chuyển động thẳng với vận tốc v (t) = t (5 – t) (m/s). Tìm quãng đường vật đi được cho tới khi nó dừng lại.

Khi vật dừng lại nghĩa là:

Như vậy, sau 5 giây thì vật dừng lại => Quãng đường vật đi được là:

Bài 49 (trang 176): Một chất điểm A từ trạng thái nghỉ chuyển động với vận tốc nhanh dần đều. 8 giây sau đạt đến vận tốc 6 m/s. Từ thời điểm đó nó chuyển động đều, một chất điểm B khác xuất phát từ cùng vị trí với A nhưng chậm hơn nó 12 giây với vận tốc nhanh dần đều và đuổi kịp A sau 8 giây (kể từ lúc B xuất phát). Tìm vận tốc của B tại thời điểm đó.

Từ công thức v₁ = v₀ + at ta có:

Gia tốc trọng trong 8 giây đầu của chất điểm A là:

⇒ Phương trình vận tốc của chuyển động có dạng:

Tại t = 0 thì v (0)= 0 nên C= 0. Do đó, phương trình chuyển động của vật là:

Trong 8 giây đầu này, chất điểm A chuyển động nhanh dần với vận tốc v (t)=3t/4, vậy nó đị được quãng đường là:

Sau 12 giây tiếp theo (khi mà bị B đuổi kịp A), A đi được thểm 6.12 = 72 mét.

Như vậy, khi bị B đuổi kịp, A và B đi được quãng đường là 24 + 72 = 96 mét

Từ công thức: => gia tốc của chất điểm B là:

Vậy khi đuổi kịp A, vận tốc của b là:

v₁=v₀+at=0+3.8=24 (m/s)

Bài 50 (trang 176): Tính các tính phân sau

Bài 51 (trang 176): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

a) Đồ thị các hàm số y = 4 - x²; y = -x + 2

b) Các đường cong có Phương trình x = 4 - 4y² và x = 1 - y⁴

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là:

b) Tung độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của Phương trình

4 - 4y² = 1 - y⁴

< => y⁴ - 4y⁴ + 3 = 0

Xét dấu (y²-1)(y²-3) ta có

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

Lưu ý: Ta có thể làm theo cách khác như sau mà không cần lập bảng xét dấu:

Vì hai đường đã cho cắt nhau tại 4 điểm có tung độ lần lượt là -√3; -1; 1; √3 nên mỗi khoảng (-√3; -1); (-1; 1); (1; √3) thì biểu thức y⁴ - 4y² + 3 giữ nguyên một dấu vậy:

Ta cũng có thể dựa vào tính đối xứng qua Ox của cả hai đường cong để tính gọn hơn:

Bài 52 (trang 177): Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi:

a) Parabol y = x² - 2x + 2, tiếp tuyến nó tại điểm M (3; 5) và trục tung.

b) Parabol y = -x² + 4x - 3 và các tiếp tuyến của nó tại các điểm A (0; -3) và B (3; 0)

a) y = x² - 2x + 2

y' = 2x - 2; y' (3) = 4

=> Phương trình tiếp tuyến tại M là:

y - 5 = 4 (x - 3) hay y = 4x - 7

Diện tích cần tìm là:

b) y = -x² + 4x - 3

y' = -2x + 4

y' (3) = -2 và y’ (0) = 4

Tiếp tuyến tại A là: y = 4x - 3

Tiếp tuyến tại B là: y = -2x + 6

Hai tiếp tuyến này cắt nhau tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình.

4x - 3 = -2x + 6

< => x = 3/2

Dựa vào hình vẽ ta có diện tích cần tìm là:

Bài 53 (trang 177): Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = 2 biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ 2) là một nửa hình tròn đường kính √5 x²

Thiết diện của vật thể có diện tích là:

Vậy thể tích cần tìm là:

Bài 54 (trang 177): Xét hình giới hạn đường hyperbol y=2/x và các đường thẳng y = 1; y = 4; x = 0. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình đó quanh trục tung.

Bài 55 (trang 177): Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đồ thị hàm số

và hai trục tọa độ. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay A quanh trục hoành.

Bài 56 (trang 177): Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đường cong có Phương trình x (y + 1) =2 và các đường thẳng x = 0; y = 0; y = 3. Tính thể tích khối tròn xoay tạo được khi A quay quanh trục tung.

a) Quanh trục hoành.

b) Quanh trục tung

a) Đồ thị hàm số y=√x cắt đường thẳng y = 2 tại điểm có hoành độ là 4.

Thể tích khối tròn xoay tạo được bằng thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay miền hình chữ nhật OMNP quanh Ox trừ đi thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay miền tam giác cong ONP quanh Ox.

b) Thể tích cần tìm là:

Bài 57 (trang 177): Cho hình phẳng A giới hạn bởi đường cong y=x^1/2 e^x/2 và các đường thẳng x = 1; x = 2, y =0. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay a quang trục hoành.

Bài 58 (trang 177): Cho hình phẳng A giới hạn bởi đường cong

Bài 59 (trang 177): Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đường cong có Phương trình y²=x³ và các Phương trình y = 0; x = 1. Tính thể tích khối tròn xoay được khi quay A.

a) Quanh trục hoành

b) Quanh trục tung

y²=x³ < => y=±√ (x³) < => x=∛ (y²)

a) Ta thấy đường cong y^2=x^3 có 2 nhánh đối xứng qua Ox. Vậy khi quay quanh trục hoành ta có vật thể xoay tròn có thể tích: