Bài 6: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm đa thức - Giải BT Toán 12 nâng cao
Bài 40 (trang 43 sgk Giải Tích 12 12 nâng cao):
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=x3+3x2-4
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn.
c) Chứng minh rằng điểm uốn làm tâm đối xứng của đồ thị.
Bài giải:a) TXĐ: R
y'> 0 trên khoảng (-∞; -2)và (0; +∞)
y'< 0 trên khoảng (-2; 0)
+ yCĐ = y (-2) = 0; yCT = y (0) = -4
+ limx→-∞y = -∞; limx→+∞ y = +∞
+ y'' = 6x+6 = 6 (x+1) = 0 ⇔ x = -1
Bảng xét dấu y’’
| X | -∞ | -1 | +∞ | ||
| Y’’ | - | 0 | + | ||
| Đồ thị | Lồi | điểm uốn U (-1; -2) | lõm |
Hàm số lồi trên khoảng (-∞; -1)
Hàm số lõm trên khoảng (-1; +∞)
Hàm số có 1 điểm uốn U (-1; -2)
Bảng biến thiên:
Đồ thị
Đi qua điểm (1; 0) và (-3; -4)
b) Hàm số y = x3+3x2-4 có điểm uốn U (-1; -2)
Ta có: y' = 3x2 + 6x; y’ (-1) = -3
Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn U (-1; -2) có dạng:
y-y0=y' (x0) (x-x0)
⇔ y+2=-3 (x+1)
⇔ y=-3x-5
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn là: y = -3x - 5.
c) Cách 1. Đồ thị nhận U (-1; -2) là tâm đối xứng:
⇔ f (x0+x)+f (x0-x)=2y0 với ∀x
⇔ f (x-1)+f (-x-1)=-4 ∀x
⇔ (x-1)3+3 (x-1)2-4+ (-1-x)3+3 (-1-x)2-4 =-4 ∀x
⇔ x3-3x2+3x-1+3x2-6x+3-4-1-3x-3x2-x3+3+6x+3x2-4=-4 ∀x
⇔ -4 = - 4 ∀ x
⇒ I (-1; -2) là tâm đối xứng của đồ thị.
Cách 2. Gọi U (-1; -2) là tọa độ điểm uốn, tịnh tiến OU giữa các tọa độ cũ.
Theo công thức đổi trục tọa độ
Phương trình trở thành Y = X3-3X đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng ⇒ Điều phải chứng minh.
Bài 41 (trang 44 sgk Giải Tích 12 12 nâng cao):
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y=-x3+3x2-1
b) Tùy theo các giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của phương trình -x3+3x2-1=m
Bài giải:a) Hàm số y=-x3+3x2-1 có tập xác định D = R
y'=-3x2+6x
- Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2)
- Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 0)và (2; +∞)
yCĐ=y (2)=3; yCT=y (0)=-1
y''=-6x+6; y''=0 => x = 1
- Hàm số lồi trên khoảng (-∞; 1) lõm trên khoảng (1; +∞)
- Hàm số có một điểm uốn I (1; 1)
Bảng biến thiên:
Đồ thị đi qua (0; -1)
b) Phương trình: -x3+3x2-1=m (*)
Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị y=-x3+3x2-1 với đường thẳng y = m.
Dựa vào đồ thị ở câu a) ta có:
- Nếu m > 3: Phương trình (*) có 1 nghiệm
- Nếu m = 3: Phương trình (*) có 2 nghiệm.
- Nếu -1 < m < 3: Phương trình (*) có 3 nghiệm
- Nếu m = -1: Phương trình (*) có 2 nghiệm.
- Nếu m < -1 phương trình (*) có 1 nghiệm.
Kết luận:
Bài 42 (trang 44 sgk Giải Tích 12 12 nâng cao): Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
Bài giải:
a) TXĐ: D=R
y'> 0 trên khoảng (-∞; -1)và (3; +∞)
y'< 0 trên khoảng (-1; 3)
yCT=y (3)=-32/3; yCĐ=y (-1)=0
y''=2x-2=2 (x-1)=0 < ⇒ x = 1
Bảng xét dấu y’’
Hàm số lồi trên khoảng (-∞; 1).
Hàm số lõm trên khoảng (1; +∞)
Hàm số có 1 điểm uốn u (1; -16/3)
Bảng biến thiên
- Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (0; -5/3); (5; 0)
b) TXĐ: D = R
y'=3x2-3=0
⇒ x=±1
y'> 0 trên khoảng (-∞; -1)và (1; +∞)
y'< 0 trên khoảng (-1; 1)
yCĐ=y (-1)=3; yCT=y (1)=-1
Bảng xét dấu y’’
| X | -∞ | 0 | +∞ | ||
| Y’’ | - | 0 | + | ||
| Đồ thị | Lồi | điểm uốn u (0; 1) | lõm |
Hàm số có 1 điểm uốn U (0; 1)
• Bảng biến thiên
• Đồ thị
Đi qua (0; 1)
+ TXĐ: D = R.
y'=-x2+2x-2=- [(x-1)2+1]< 0 ∀x ∈ D
- Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞)
- Hàm số không có cực trị
- Đồ thị không có tiệm cận.
y''=-2x+2; y''=0 ⇒ x = 1
- Hàm số lồi trên (1; +∞), lõm trên (-∞; 1) và nhận I (1; -2) làm điểm uốn.
Bảng biến thiên.
d) y=x3-3x2+3x+1
TXĐ: D = R
y'=3x2-6x+3=3 (x-1)2> 0 ∀x ∈ D
- Hàm số luôn đồng biến (-∞; +∞)
- Hàm số không có cực trị
limx→-∞y = + ∞; limx→+∞ y = - ∞
- Đồ thị không có tiệm cận
y'' = 6x-6; y'' = 0 ⇒ x = 1
- Đồ thị lồi trên (-∞; 1)
- Đồ thị lõm trên (1; +∞)
Đồ thị nhận I (1; 2) làm tâm đối xứng.
Bảng biến thiên
Bài 43 (trang 44 sgk Giải Tích 12 12 nâng cao):
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y=-x4+2x2-2
b) Tùy theo các giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của phương trình -x4+2x2-2=m
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm uốn của đồ thị.
Bài giải:a) TXĐ: D=R
* y'=-4x3+4x=4x (-x2+1)=0
y'> 0 trên khoảng (-∞; -1) và (0; 1)
y'< 0 trên khoảng (-1; 0) và (1; +∞)
yCT = y (0) = -2; yCĐ = y (-1) = y (1) = -1
limx→-∞y = -∞; limx→+∞y = -∞
* y''=-12x2+4 = 4 (-3x2+1) = 0
Bảng xét dấu y’’
Bảng biến thiên.
• Đồ thị
Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng giao với Oy (0; -2)
b) Số nghiệm của Phương trình -x4+2x2-2=m (1) là giao điểm của đồ thị y=-x4+2x2-2 với đường thẳng y = m.
Nếu m > -1 thì phương trình (1) vô nghiệm.
Nếu m = 1 thì phương trình (1) có 2 nghiệm.
Nếu -2 < m < -1 thì phương trình có 4 nghiệm.
Nếu m = -2 thì phương trình (1) có 3 nghiệm
Nếu m < -2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm
Kết luận:
m > -1: Phương trình (1) vô nghiệm.
Phương trình (1) có 2 nghiệm.
m=−2: Phương trình (1) có 3 nghiệm.
-2 < m < -1 phương trình (1) có 4 nghiệm.
c) Hàm số y = -x4+2x2-2 có 2 điểm uốn đó là:
Phương trình tiếp tuyến uốn
Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiếp tuyến:
Bài 44 (trang 44 sgk Giải Tích 12 12 nâng cao): Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau:
a) y = x4-3x2+2 b) y=-x4-2x2+1
Bài giải:a) TXĐ: D=R
• Bảng xét dấu y’’
• Bảng biến thiên
• Đồ thị
Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng
Giao với Oy tại điểm có tọa độ (0; 2)
Giao với Ox tại (-1; 0); (1; 0); (-√ 2; 0); (√ 2; 0)
b) y = -x4-2x2+1
TXĐ: D=R
y' = -4x3 - 4x = 4x (x2 + 1) = 0 ⇔ x = 0
y'> 0 trên khoảng (-∞; 0), y'< 0 trên khoảng (0; +∞)
yCĐ=y (0)=1
limx→-∞y = -∞; limx→+∞y = -∞
y'' = -12x2-4 < 0 ∀x ∈R
Bảng xét dấu y’’
| X | -∞ | - | +∞ |
| Y’’ | Lồi | ||
| Đồ thị |
Hàm số lồi trên khoảng (-∞; +∞)
Bảng biến thiên
Đồ thị
Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng giao với Oy (0; 1)