Bài 4: Số e và lôgarit tự nhiên - Giải BT Toán 12 nâng cao

Bài 42 (trang 97 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Tìm sai lầm trong lập luận sau:

Ta có ln e²=2lne = 2.1 = 2 và ln (2e) = lne + lne = 1+ 1 = 2

Từ đó suy ra e²=2e mà e ≠ 0 nên e = 2!

Bài giải:

Lập luận trên sai lầm chỗ ln (2e) = lne +lne

Lập luận đúng là: ln (2e) = ln2 +lne

Bài 43 (trang 97): Biểu diễn các số sau đây theo a = ln2; b = ln5.

Bài giải:

+ ln500 = ln (5³.2²) = ln5³ + ln⁡2² = 3ln5 + 2ln2 = 3b + 2a

+ ln⁡ (16/25) = ln16 - ln25 = ln2⁴ - ln⁡ (5²) = 4ln2 - 2ln5 = 4a - 2b

+ ln⁡6,25 = ln⁡ (625/100) = ln625 - ln100 = ln⁡ (5⁴) - ln⁡ (5².2²) = 4ln⁡5 - 2ln⁡5 - 2ln2 = 2ln5 - 2ln2 = 2b-2a

Bài 44 (trang 97): Chứng minh:

Bài giải:

Ta biến đổi vế trái:

Bài 45 (trang 97): Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn theo công thức S=A. e^tr, trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0), ti là thời gian tăng trưởng. biết số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Hỏi sau 10 giờ có bao nhiêu của vi khuẩn. Sau bao lâu số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng gấp đôi.

Bài giải:

Sau 5 giờ, từ công thức S = A. e^rt ta có 300 = 100. e^5r => 3=e^5r

Sau 10 giờ số lượng vi khuẩn là:

=> S = 100. e^2ln3 = 100. (e^ln⁡3)² = 100.3² = 100.9 = 900 (con)

Để số lượng vi khuẩn tăng lên gấp đôi thì:

=> t ≈ 3,15 h = 3 giờ 9 phút.

Bài 46 (trang 97): Cho biết chu kì bán hủy của chất phóng xạ Plutanium Pu²³⁹ là 24360 năm (tức là một lượng Pu²³⁹ sau 24360 năm phân hủy chỉ còn lại một nửa). sự phân hủy được tính theo công thức S=A. e^rt, trong đó, A là lượng chất phóng xạ ban đầu, t là tỉ lệ phân hủy hàng năm (r < 0), t là thời gian phân hủy, s là lượng còn lại phân hủy sau thời gian phân hủy t. Hỏi sau 10 gam Pu²³⁹ sau bao nhiêu năm sẽ phân hủy còn lại 1 gam.

Bài giải:

Tính tỉ lệ phân hủy hàng năm:

Ta có:

Gọi t₀ là thời gian mà 10gam Pi²³⁹ phân hủy còn 1 gam ta có:

Bài trước: Luyện tập (trang 92-93) - Giải BT Toán 12 nâng cao Bài tiếp: Bài 5: Hàm số mũ và hàm số lôgarit - Giải BT Toán 12 nâng cao