Bài 3: Tích phân - Giải BT Toán 12 nâng cao
Bài 10 (trang 152 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Không tìm căn nguyên hàm, hãy tính các tích phân sau:
Bài giải:
a) Vẽ đồ thị y= (x/2)+3
Từ đồ thị ta thấy diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi y= (x/2)+3 và x = -2, x = -4, trục hoành là diện tích hình thang có chiều cao bằng 6 và hai đáy bằng 2 và bằng 5, nên:
S= (1/2). (2 + 5).6 = 21 (đvđt)
b) Vẽ đồ thị hàm số y=|x|
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = |x|, trục hoành x = -1, x = 2 bằng tổng diện tích tam giác vuông OAB và diện tích Δ OCD.
c) Vẽ đồ thị
Bài 11 (trang 152 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Cho biết:
Bài giải:
Bài 12 (trang 153 sgk Giải Tích 12 nâng cao):
Bài giải:
Bài 13 (trang 153 sgk Giải Tích 12 nâng cao):
a) CMR: Nếu f (x) > 0 trên [a; b] thì
b) CMR: Nếu f (x) > g (x) trên [a; b] thì
a) Gọi F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên đoạn [a; b], ta có: F’ (x) = f (x) > 0 trên đoạn [a; b]. Do vậy, F (x) tăng trên đoạn [a; b]
Vì a < b => F (a) < F (b)
b) Trên đoạn [a, b] ta có; f (x) > g (x) nên f (x) – g (x) > 0.
Theo câu a, ta có: f (x) – g (x) > 0, nên:
Bài 14 (trang 153 sgk Giải Tích 12 nâng cao):
a) Một vật chuyển động với vận tốc v (t) = 1 – 2sin2t (m/s). Tính quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ điểm t = 0 (s) đến thời điểm t = 3π /4 (s)
b) Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v (t) = 160 -10t (m/). Tính quãng đường vật di chuyển được từ t = 0 đến thời điểm mà vật dừng lại.
Bài giải:a) Gọi S là quãng đường vật đi được từ t = 0 (s) đến t = 3π /4 (s). Ta có:
b) Khi vậy dừng lại thì v (t) = 0,
=> 160 – 10t = 0
=> t = 16 (s)
Vậy quãng đường đi được từ t = 0 đến khi dừng lại là:
Bài 15 (trang 153 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Một vật di chuyển với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc a (t) = 3t + t2. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
Bài giải:Chọn mốc thời gian vật bắt đầu tăng tốc t0=0
Phương trình vận tốc của vật là:
Do lúc bắt đầu tăng tốc thì: v (0) = 10 m/s nên ta có: V (0)= C =10.
Suy ra, phương trình vận tốc:
Quãng đường đi được từ khi tăng tốc trong 10 giây là:
Vậy quãng đường đi được là 4300/3 (m)
Bài 16 (trang 153 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 25 m/s. Gia tốc trọng trường là 9,8 m/s2.
a) Sau bao lâu viên đạn đạt tới tốc độ cao nhất.
b) Tính quãng đường viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho đến khi rơi xuống đất (chính xác đến hàng phần trăm).
Bài giải:Giả sử rằng đạn được bắn lên từ mặt đất, khi đó:
v (t) = v0 - gt = 25 - 9,8t (t ≥ 0, t tính bằng giây)
Phương trình tính quãng đường của vật là:
S (t) = ∫v (t)dt = ∫ (25 - 9,8t)dt = 25t – 4,9t2 + C (m)
Vì viên đạn được bắn từ mặt đất cho nên S (0) = 0
Suy ra: C = 0. Từ đó: S (t) = 25t - 4,9t2
Vì thế, sau thời gian t = 25/9,8 (giây) thì viên đạn đạt độ cao lớn nhất là:
b) Quãng đường mà viên đạn đi được khi bắn lên cho đến khi rơi xuống đất là: