Bài 3: Mặt trụ, Hình trụ và Khối trụ - Giải BT Toán 12 nâng cao
Bài 11 (trang 53 sgk Hình Học 12 nâng cao): Chứng minh rằng hình tròn xoay có vô số mặt đối xứng.
Bài giải:Giả sử H là hình tròn xoay có trục Δ. Lấy một điểm M ∈ H và gọi M’ là điểm đối xứng của M qua Δ thì MM’ là đường kính của đường tròn (CM) nên M'∈ H.
Suy ra Δ là trung trực đối xứng của H. Mọi mặt phẳng (P) đi qua Δ và đều là mặt phẳng đối xứng của H. thật vậy, nếu M ∈H và M’ đối xứng với M qua mặt phẳng P thì M’ cũng nằm trên đường tròn CM nên M’ ∈ H.
Bài 12 (trang 53): Trong mỗi trường hợp sau, gọi tên các hình tròn xoay.
a) Sinh bởi ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư.
b) Sinh bởi một hình chữ nhật (kể cả ba điểm trong) khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh.
Bài giải:a) Hình sinh bởi ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư gọi là hình trụ.
b) Hình sinh bởi một hình chữ nhật (kể cả điểm trong) khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh là khối trụ.
Bài 13 (trang 53): Cho đường tròn (O, R) nằm trong mp (P). Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho hình chiếu của chúng trên (P) luôn nằm trên đường tròn đã cho.
Bài giải:Gọi ∆ là trục của đường tròn (O, R) - là đường thẳng đi qua tâm O và vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn đó.
Nếu điểm M có hình chiếu M’ nằm trên (O, R) thì MM’ // Δ và khoảng cách từ M’ tới Δ bằng M’O = R.
Vậy tập hợp các điểm M như thế nào là mặt trụ có trục là Δ và có bán kính bằng R.
Bài 14 (trang 53): Cmr các tiếp tuyến của một mặt cầu song song với một đường thẳng cố định nằm trên một mặt trụ xác định.
Bài giải:Cho mặt cầu S (O, R) và đường thẳng d (Hình vẽ). Gọi Δ là đường thẳng đi qua O và song song với d.
Giả sử một tiếp tuyến của mặt cầu là l trong đó l // d
⇒ Đường thẳng l // ∆ và l cách ∆ một khoảng không đổi R.
Vậy là đường thẳng l nằm trên mặt trụ có trục là ∆ và có bán kính là R.
Bài 15 (trang 53): Một mặt phẳng đi qua trục của hình trụ, cắt trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh 2R.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích của khối trụ.
c) Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ.
Bài giải:Theo bài ra ta có: Hình trụ bán kính bằng đáy là R và đường sinh bằng 2R. Suy ra:
a) Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ là:
Sxq = 2 π R. 2R = 4 π R2
Stp = Sxq + 2Sđáy = 4 π R2 + 2 π R2 = 6 π R2
b) V = π R2.2R = 2 π R3
Lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ là lăng trụ đứng có cạnh bên bằng 2R và có đáy là hình vuông có độ dài đường chéo là 2R nên độ dài cạnh của hình vuông là cạnh R √2 nên có thể có thể tích:
VLT = (√2 R)2.2R = 4R3 (đvtt)
Bài 16 (trang 54): Một hình trụ có có bán kính đáy R và chiều cao √ 3 R.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích của khối trụ giới hạn bởi hình trụ.
c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục hình trụ bằng 30o. Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ.
Bài giải:a) Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq = 2 π R. R √ 3 = 2√ 3 π R2
Diện tích toàn phần của hình trụ:
STP = Sxq + 2Sđáy = 2√ 3 π R2 + 2 π R2 = 2 (√ 3 + 1)π R2
b) Thể tích của khối trụ: VT = π R2.R√ 3 = √ 3π R3 (đvtt)
Gọi O và O’ lần lượt là tâm hai đáy của hình trụ. A∈ (O); B∈ (O’)
Giả thiết: OA = O’B = R
Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì O’A’ = R, AA’ = h = R√ 3 và (AB; OO') = (AB; AA') = góc BAA' = 30o
Vì OO’ // mp (ABA’) nên d (OO’; AB) = d (OO’; (AA’B)) = d (O’; (AA’B))
Gọi H là trung điểm của BA’ thì khoảng cách đó bằng O’H.
Tam giác BA’A vuông tại A’ nên
Vậy BA’O' là tam giác đều, và do đó: