Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Giải BT Toán 12 nâng cao
Bài 16 (trang 22 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f (x) = sin4x+cos4x.
Bài giải:Hàm số xác định trên R.
Ta có f (x) = (sin2x)2+ (cos2x)2= (sin2x+cos2x)2-2sin2x. cos2x=1-1/2 sin22x với x ∈ R.
f (x) ≤ 1, ∀x ∈ R, f (0) = 1 => maxx ∈ R f (x) = 1
Bài 17 (trang 22 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
Bài giải:
a) Hàm số f (x)= x2 + 2x – 5
Tập xác định D = R.
Đạo hàm y’= 2x +2
y’= 0 ⇔ x = - 1
+) Cách 1:
Bảng biến thiên:
+) Cách 2:
Ta có: f (-2) = -5; f (-1) = -6; f (3) = 10
b. Hàm số
Hàm số đã cho xác định trên R
f' (x)=x2+4x+3;
f' (x)=0 ⇔ x = -1 hoặc x = -3
Ta có: f (-4) = -16/3; f (-3)=-4; f (-1)=-16/3; f (0)=-4
Bảng biến thiên:
Hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên (0; +∞)
d. Hàm số y = - x2 +2x + 4
Hàm số liên tục trên R.
f' (x)= -2x+2;
f' (x)=0 ⇔ x = 1 (loại vì x = 1 không thuộc [2; 4])
Ta có: f (2)=4; f (4)=-4
+) Cách 1
Bảng biến thiên:
+) Cách 2:
Vì x ∈ [0; 1] nên Phương trình f’ (x) = 0 vô nghiệm trên [0; 1]
Ta có: f (0) = 2; f (1) = 11/3
f (x)= x-1/x;
f' (x)=1+ (1/x2) > 0, ∀x ∈ (0; 2), f (x)liên tục trên (0; 2] nên f (x) đồng biến trên (0; 2]
Hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất trên nửa khoảng (0; 2].
Bài 18 (trang 22 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) y = 2 sin2x + 2sinx - 1
b) y = cos2x - sinxcosx + 4
Bài giải:a. Đặt t = sin x, -1 ≤ t ≤ 1. Khi đó, hàm số đã cho trở thành:
y = f (t) = 2t2 + 2t - 1, t ∈ [-1; 1]
Ta tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y = f (t) trên [-1; 1]. Đó là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên R
f' (t) = 4t+2, f' (t)=0 ⇔ t = -1/2
Bảng biến thiên:
Bảng biến thiên:
Bài 19 (trang 22 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Cho tam giác đều ABC cạnh a, người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác. Xác định vị trị của điểm M sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và giá trị lớn nhất đó là?
Bài giải:Đặt BM = x (0< x< a/2)
Ta có: MN = a – 2x; QM = BM. tan B = x √3
Diện tích hình chữ nhật MNPQ là:
S (x)=QM. MN=x √3 (a-2x)
S (x)=√3 (ax-2x2)
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của S (x) trên khoảng (0; a/2)
Ta có S' (x)=√3 (a-4x);S' (x)=0 < => x=a/4
S đạt giá trị lớn nhất tại x=a/4 và giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhât MNQP là:
Bài 20 (trang 22 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Một hợp tác xã nuôi cá trong hồ, nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ có cân nặng: P (n)=480-20n (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?
Bài giải:Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì sau một vụ, số cá trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ trung bình cân năng:
f (n) = n. P (n) = 480n - 20n2 (gam) n ∈ N*
Xét hàm số f (x) = 480x - 20x2 trên (0; +∞) (Biến n lấy các giá trị nguyên dương được thay bằng biến số x lấy các giá trị trên khoảng (0; +∞))
f' (x) = 480-40x; f' (x)=0 < => x = 12
Trên (0; +∞) hàm số f (x) đạt giá trị lớn nhất tại x = 12
Suy ra trên tập hợp N* các số nguyên dương, hàm số f đạt giá trị lớn nhất tại điểm n=12.
Do vậy, muốn thu hoạch được nhiều cá nhất sau một vụ thì trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ phải thả 12 con cá.
Bài trước: Bài 2: Cực trị của hàm số - Giải BT Toán 12 nâng cao Bài tiếp: Luyện tập (trang 23-24) - Giải BT Toán 12 nâng cao