Trang chủ > Lớp 12 > Giải BT Toán 12 nâng cao > Bài 2: Cực trị của hàm số - Giải BT Toán 12 nâng cao

Bài 2: Cực trị của hàm số - Giải BT Toán 12 nâng cao

Bài 11 (trang 16 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Tìm cực trị của các hàm số sau:


Bài giải:

a) Hàm số đã cho xác định trên R.

Ta có: f’ (x) = x2+4x+3

f’ (x) = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = -3

Cách 1:

Ta có bảng biến thiên

=>

+) Hàm số đạt cực đại tại điểm x = -3, giá trị cực đại của hàm số là: fCĐ = f (-3) = -1.

+) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = -1, giá trị cực tiển của hàm số là fCT = f (-1) = -7/3

Cách 2:

f’’ (x) = 2x + 4 ⇒ f’’ (-3) = -2 < 0; f’’ (-1) = 2 > 0

Vậy hàm đạt cực đại tại điểm x = -3, giá trị cực đại của hàm số là: fCĐ = f (-3) = -1.

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = -1, giá trị cực tiểu của hàm số là: fCT = f (-1) = -7/3

b) Tập xác định: R

f' (x)=x2-2x+2= (x-1)2+1> 0, ∀x ∈R=> f (x) luôn đồng biến nên hàm số không có cực trị.

c) Tập xác định: R \ {0}

Cách 1:

Ta có bảng biến thiên

Vậy hàm số cực đại tại x = -1; fCĐ=f (-1)=-2

Hàm số cực tiểu tại x = 1; fCT=f (1)=2

Cách 2:

Vì f’’ (- 1) = -2 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = -1; fCĐ = f (-1) = -2

f'' (1) = 2 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; fCT = f (1) = 2

d) f (x) xác định liên tục trên R.

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x = -1, fCĐ = f (-1) = 1

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, fCT = f (0) = 0

e) Tập xác định: R

f’ (x) = x4-x2; f' (x)=0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±1

Ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1, fCĐ = f (-1) = 32/15

Hàm số cực tiểu tại x = 1; fCT = f (1) = 28/15

f) Tập xác định: R \ {1}

f' (x)=0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2

Ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số cực đại tại x = 0, fCĐ = f (0) = -3

Hàm số cực tiểu tại x = 2; fCT = f (2) = 1

Bài 12 (trang 17 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Tìm cực trị của hàm số sau:


Bài giải:

a) Tập xác định: [-2; 2]

Ta có bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực tiểu tại x=-√ 2, yCT=y (-√ 2)=-2

Hàm số đạt cực đại tại x = √ 2, yCĐ=y (√ 2)=2

b) Tập xác định: [-2√ 2; 2√ 2]

Ta có bảng biến thiên:

Hàm số cực đại tại x = 0; yCĐ=y (0)=2√ 2

Hàm số không có cực tiểu.

c) Tập xác định: R

y'= (x - sin⁡2x + 2)' = 1 - 2cos⁡2x

Vậy hàm số cực đại tại điểm

Hàm số đạt cực tiểu tại tiểu

d) Tập xác định: R

y'= 2 sin⁡x+2. sin⁡2x=2 sin⁡x (1+2 cos⁡x)

=> y'' (k π)> 0 (có thể viết: y'' (k π)=4+2 cos⁡ (k π)

Nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm

Hàm số đạt cực đại tại các điểm:

Bài 13 (trang 17 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Tìm các hệ số a, b, c, d của hàm số f (x) = ax3+bx2+cx+d sao cho hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0; f (0) = 0 đạt cực đại tại điểm x = 1, f (1) = 1

Bài giải:

Ta có f’ (x) = 3ax2+2bx+c ⇒ f' (0)=c; f' (1)=3a+2b+c

Vì: f (0) = 0 ⇒ d= 0

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 nên f’ (0) = 0 ⇒ c =0; f (1) = a + b = 1

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1 nên f’ (1) = 0 ⇒ 3a + 2b = 0

=> a = -2; b = 3

Vậy f (x) = -2x3+3x2

Thử lại f’ (x) = -6x2+6x; f'' (x)=-12x+6

f’ (0) > 0. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0

f’ (1) = -6 < 0. Hàm số đạt cực đại tại x = 1

Đáp số: a = -2; b = 3; c = 0; d = 0

Bài 14 (trang 17 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Xác định các hệ số a, b, c sao cho hàm số: f (x) = x3 + ax2 + bx + c đạt cực trị bằng 0 tại x = -2 và đồ thị của hàm số đi qua A (1; 0)

Bài giải:

f' (x) = 3x2+2ax+b

+) Điền kiện cần:

Hàm số đạt cực trị bằng 0 tại x = -2 ⇒ f’ (-2) = 0 và f (-2) = 0

Hay -4a+b+12=0 (1) và 4a-2b+c-8=0 (2)

Đồ thị đi qua A (1; 0) ⇒ a+b+c+1=0

Giải hệ Phương trình (1), (2), (3) ta được a = 3; b = 0; c = -4

+) Điều kiện đủ:

Xét f (x) = x3+3x2-4. Ta có: đồ thị hàm số f (x) đi qua A (1; 0)

f’ (x) = 3x2+6x ⇒ f'' (x)=6x+6

f’ (-2)= 0; f’’ (2) = -6 < 0 nên x = -2 là điểm cực đại và f (-2) = 0

Đáp số: a =3; b =0; c = -4

Bài 15 (trang 17 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, n hàm số luôn có cực đại và cực tiểu..


Bài giải:

Biến đổi hàm số ta được:

Hàm số xác định ∀x ≠ m

Bảng biến thiên

Vậy với mọi giá trị của m, hàm số đạt được cực đại tại x = m -1 và đạt cực tiểu tại x = m + 1