Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Giải BT Toán 12 nâng cao
Bài 1 (trang 7 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a) y = 2x3+3x2+1
b) y = x3-2x2+x+1
c) y = x+3/x
d) y = x-2/x
e) y = x4-2x2-5
Bài giải:
a. Hàm số y = 2x3 + 3x2 + 1 xác định trên R.
Ta có:
y' = 6x2+6x
=> y' = 6x (x+1)
y'=0 < => x=0 hoặc x=-1
Chiều biến thiên của hàm số được nêu trong bảng sau:
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞; -1) và (0; +∞) nghịch biến trên (-1; 0)
b. Tập xác định: R
Đạo hàm y’ = 3x2-4x+1
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞; 1/3) và (1; +∞) nghịch biến trên (1/3; 1)
c. Tập xác định: R\ {0}
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞, -√3) và (√3; +∞) hàm nghịch biến trên mỗi khoảng (-√3; 0) và (0; √3)
d. Tập xác định: D = R\ {0}
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞; 0) và (0; +∞)
e. Tập xác định: R
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 0) và (1; +∞)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) và (0; 1).
f. Hàm số
Tập xác định: D = [-2; 2]
Đạo hàm:
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên [-2; 0] và nghịch biến trên [0; 2]. Hoặc có thể trả lời: hàm số đồng biến trên (-2; 0) và nghịch biến trên (0; 2)).
Bài 2 (trang 7 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Chứng minh rằng:
Bài giải:
a. Hàm số xác định trên R \ {-2}
Đạo hàm:
Nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞; -2) và (-2; +∞)
b. Hàm số xác định trên R \ {-1}
Đạo hàm:
Nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (-∞; -1) và (-1; +∞)
Bài 3 (trang 8 sgk Giải Tích 12 nâng cao): CMR các hàm số sau đồng biến trên R.
a) f (x)=x3-6x2+17x+4=0;
b) f (x)=x3+x-cosx-4
Bài giải:a. Hàm số f (x) = x3 - 6x2 + 17x + 4 = 0 xác định trên R.
Ta có f' (x)=3x2-12x+17=3 (x-2)2+5> 0 ∀x ∈ R.
Nên hàm số đồng biến trên R.
b. Hàm số f (x) xác định trên R.
Và f' (x)=3x2+1+sinx> 0 ∀x ∈ R
Vì: x2 ≥ 0; 1 + sinx ≥ 0; 3x2 + 1 + sinx = 0 vô nghiệm nên hàm số đồng biến trên R.
Bài 4 (trang 8 sgk Giải Tích 12 nâng cao):Với giá trị nào của a, hàm số y = ax - x3 nghịch biến trên R?
Bài giải:Hàm số xác định trên R, y' = a-3x2
Cách 1:
+) Nếu a < 0 => y’ < 0 ∀x ∈ R => hàm số nghịch biến trên R.
+) Nếu a = 0 => y’ = -3x2≤ 0, ∀x ∈ R, y'=0 ⇔ x = 0
Vậy hàm số nghịch biến trên R.
+) Nếu a > 0 thì y'=0
Bảng biến thiên:
Cách 2:
Hàm số nghịch biến trên R, điều kiện y'≤ 0, ∀x ∈ R, y'=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm.
Ta có: y'≤ 0 ⇔ a-3x2≤ 0, ∀ x ⇔ 3x2 ≥ a2 ∀x ∈ R
⇔ a≤ min (3x2), mà 3x2≥ 0 ∀x ∈ R
⇔ a ≤ min (3x2), mà 3x2 ≥ 0 ∀x ∈ R
Kết luận: với a≤ 0 thì y=ax-3x3 nghịch biến trên R.
Bài 5 (trang 8 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Tìm các giá trị của tham số a để hàm số
f (x) = 1/3 x3+ax2+4x+3 đồng biến trên R.
Bài giải:Tập xác định: D = R.
Đạo hàm: f’ = x2 + 2ax + 4 có
Hàm số đã cho đồng biến trên R khi và chỉ khi:
Vậy để hàm số đã cho đồng biến trên R < => -2 ≤ a ≤ 2
Lưu ý: Để tam thức bậc hai f (x)= ax2 + bx + c ≤ 0; ∀ x khi và chỉ khi: