Ôn tập cuối năm - Giải BT Toán 11
Ôn tập cuối năm
Bài 1 (trang 178 SGK Đại số 11): Nêu định nghĩa các hàm số lượng giác. Chỉ rõ tập xác định và tập giá trị của từng hàm số đó.
Bài giải:a. Định nghĩa 1: (Hàm số sin): Quy tắc tương ứng với mỗi số thực x với số thực sinx.
sin: R -> R
x -> y = sinx.
Hàm số y = sinx có tập xác định là R, tập giá trị là đoạn [-1; 1].
b. Định nghĩa 2: (Hàm số cosin): Quy tắc tương ứng với mỗi số thực x với số thực cosx.
cos: R -> R
x -> y = cosx.
Hàm số y = cosx có tập xác định là R, tập giá trị là đoạn [-1; 1]
c. Định nghĩa 3: (Hàm số tang): Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức
tan: D -> R
x -> y = tanx.
Hàm số y = tanx có tập xác định:
Tập giá trị của hàm số y = tanx là R.
d. Định nghĩa 4: (Hàm số cotang): là hàm số được xác định bởi công thức
cot: D -> R
x -> y = cotx.
Hàm số y = cotx có tập xác định D = {x ∈ R \ x ≠ kπ, k ∈ Z}. Tập giá trị của hàm số y = cotx là tập R.
Bài 2 (trang 178 SGK Đại số 11): Cho biết chu kì của mỗi hàm số y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx.
Bài giải:a. Hàm số y = sinx và y = cosx là hàm số tuần hoàn có chu kì là 2 π.
b. Hàm số y = tanx và y = cotx là các hàm số tuần hoàn có chu kì là π.
Bài 3 (trang 178 SGK Đại số 11): Nêu cách giải phương trình lượng giác cơ bản, cách giải phương trình asinx + bcosx = c.
Bài giải:a) Cách giải các phương trình lượng giác cơ bản:
+ Phương trình sin x = a.
Nếu |a| > 1 ⇒ phương trình vô nghiệm.
Nếu |a| ≤ 1 ⇒ tìm một cung α sao cho sin α = a.
Khi đó phương trình trở thành sin x = sin α
⇒ Phương trình có nghiệm: 
+ Phương trình cos x = a.
Nếu |a| > 1 ⇒ phương trình vô nghiệm.
Nếu |a| ≤ 1 ⇒ tìm một cung α sao cho cos α = a.
Khi đó phương trình trở thành cos x = cos α.
⇒ Phương trình có nghiệm: x = ± α + k2π (k ∈ Z).
+ Phương trình tan x = a.
Tìm một cung α sao cho tan α = a.
Khi đó phương trình trở thành tan x = tan α.
⇒ Phương trình có nghiệm x = α + k2π (k ∈ Z).
+ Phương trình cot x = a
Tìm một cung α sao cho cot α = a.
Khi đó phương trình trở thành cot x = cot α.
⇒ Phương trình có nghiệm x = α + k2π (k ∈ Z).
b) Cách giải phương trình a. sin x + b. cos x = c.
+ Nếu a = 0 hoặc b = 0 ⇒ Phương trình lượng giác cơ bản.
+ a ≠ 0 và b ≠ 0. Chia cả hai vế của phương trình cho 
Ta giải phương trình trên như phương trình lượng giác cơ bản.
Bài 4 (trang 178 SGK Đại số 11): Viết công thức tính số hoán vị của tập hợp gồm n phần tử (n > 1). Nêu ví dụ.
Bài giải:+ Cho tập A gồm n phần tử.
Mỗi hoán vị của A là kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập A.
+ Số các hoán vị: Pn = n! = 1.2.3.4.5…. n.
Ví dụ: Số hoán vị của tập gồm 6 phần tử là: P6 = 6! = 720.
Số hoán vị của tập gồm 3 phần tử là: P3 = 6.
Bài 5 (trang 178 SGK Đại số 11): Viết công thức tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử, công thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử. Cho ví dụ.
Bài giải:+ Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:
+ Số tổ hợp chập k của n phần tử:
+ Ví dụ:
- Số chỉnh hợp chập 3 của 5:
- Số tổ hợp chập 3 của 5:
- Chọn ngẫu nhiên 5 bông hoa trong số 8 bông hoa khác nhau để cắm vào 5 lọ khác nhau:
⇒ Có 
cách chọn.
- Chọn ngẫu nhiên 5 bông hoa trong số 8 bông hoa khác nhau
⇒ Có 
cách chọn.
Bài 6 (trang 178 SGK Đại số 11): Viết công thức nhị thức Niutơn.
Bài giải:Công thức nhị thức Niutơn:
(a+b)n = Cn0 an + Cn1an-1 b + … Cnkan-k bk +... + Cnn-1a bn-1 + Cnn bn.
Chú ý: số hạng T(k+1) =Cnk a(n-k)bk được gọi là số hạng tổng quát của khái triển (a+b)n.
Bài 7 (trang 178 SGK Đại số 11): Phát biểu định nghĩa xác suất của biến cố.
Bài giải:Giả sử A là một biến cố liên quan đến một phép thử với không gian mẫu Ω chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Kí hiệu n (Ω), n (A) theo thứ tự là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử và số phần tử của A. Ta gọi là xác suất của biến cố A, kí hiệu P (A) là tỉ số sau:
Bài 8 (trang 178 SGK Đại số 11): Nêu rõ các bước chứng minh bằng quy nạp toán học và cho ví dụ
Bài giải:+ Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈ N* là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì ta làm như sau:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ≥ 1. Chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k+1.
Bước 3: Kết luận mệnh đề đúng với n ∈ N*.
+ Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi n ∈ N* ta có: n3 + 5n chia hết cho 6.
Chứng minh: Đặt P (n) = n3 + 5n.
Với n =1 ⇒ P (1) = 6 ⋮ 6
Giả sử (Pn) chia hết cho 6 đúng với n=k ≥1, nghĩa là, ta có:
P (k) = (k3 + 5k) ⋮ 6.
Ta có: P (k+1) = (k+1)3 + 5 (k+1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 5k + 5 = k3 + 5k + 3 (k2 + k) + 6
Mặt khác, theo giả thiết quy nạp ta có: k3 + 5k ⋮6.
Hơn nữa k2 + k = k (k+1): 2 (hai số tự nhiên tiếp k, k +1 phải có một số chẵn do k (k+1):2).
Do vậy P (k+1)⋮6. Tức mệnh đề đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp, ta có P (n) = n3 + 5n chia hết cho 6 với mọi n ∈ N*.
Bài 9 (trang 178 SGK Đại số 11): Phát biểu định nghĩa cấp số cộng và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một số không đổi d.
Bài giải:+ Định nghĩa: cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
(un): un + 1 = un + d
+ Tổng n số hạng đầu tiên của CSC:
Bài 10 (trang 178 SGK Đại số 11): Phát biểu định nghĩa cấp số nhân và công thức tổng n số hạng đầu tiên của một cập số nhân.
Bài giải:+ Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó từ số hạng thứ hai; mỗi số hạng đều là tích các số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
(un): un + 1 = un.q.
+ Tổng n số hạng đầu tiên của CSN.
Bài 11 (trang 178 SGK Đại số 11): Dãy số Un thỏa mãn điều kiện gì thì được gọi là có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực?
Bài giải:
Bài 12 (trang 178 SGK Đại số 11): Viết công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn.
Bài giải:+ Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q thỏa mãn |q| < 1 được gọi là một CSN lùi vô hạn.
+ Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
Bài 13 (trang 178 SGK Đại số 11): Định nghĩa hàm số có giới hạn + ∞ khi x -> - ∞
Bài giải:
Bài 14 (trang 178 SGK Đại số 11): Nêu các giới hạn đặc biệt của dãy số.
Bài giải:
Bài 15 (trang 178 SGK Đại số 11): Nêu định nghĩa hàm liên tục tại một điểm, trên một khoảng. Nêu nhận xét về đồ thị của một hàm số liên tục trên một khoảng.
Bài giải:+ Hàm số liên tục tại một điểm
+ Hàm số liên tục trên một khoảng
- Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
- Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng (a; b) và
Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó.
Bài 16 (trang 178 SGK Đại số 11): Phát biểu định nghĩa đạo hàm của hàm số y=f (x) tại x=xo.
Bài giải:
Bài 17 (trang 178 SGK Đại số 11): Viết tất cả các quy tắc tính đạo hàm đã học
Bài giải:+ Đạo hàm của các hàm số thường thấy.
+ Đạo hàm của hàm hợp:
Hàm số u = g (x) có đạo hàm tại x là u’ (x) và hàm số y = f (u) có đạo hàm tại u là y’ (u) thì hàm hợp y = f (g (x)) có đạo hàm tại x là:
y’ (x) = y’ (u).u’ (x).
Bài 18 (trang 178 SGK Đại số 11): Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm tại xo. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số g = f (x) có đạo hàm tại xo. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số g = f (x) tại Mo (xo;f (xo)).
Bài giải:Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f (x) tại điểm Mo (xo;f (xo)) có dạng: y = f’ (xo) (x – xo) + yo, trong đó yo = f (xo).
Giải bài 1 trang 178 sgk Đại số 11: Cho hàm số y = cos2x.
a) Chứng minh rằng cos 2 (x + kπ) = cos 2x với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị (C) của hàm số y = cos 2x.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = π/3.
c) Tìm tập xác định của hàm số: 
Bài giải:
a) + Hàm số y = cos x có chu kì 2π.
Do đó: cos 2. (x + kπ) = cos (2x + k2π) = cos 2x.
⇒ Hàm số y = cos 2x cũng tuần hoàn với chu kì π.
Từ đó suy ra
b. y = f (x) = cos 2x
⇒ y’ = f’ (x) = (cos 2x)’ = - (2x)’. sin 2x = -2. sin 2x.
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = π/3 là:
c. Ta có: 1 – cos 2x = 2. sin2x ≥ 0.
Và 1 + cos22x > 0; ∀ x
+ Hàm số y = cos x là hàm tuần hoàn có chu kì 2π, xác định trên toàn bộ tập R, tập giá trị là [-1; 1].
+ (cos u)’ = -u’. sin u.
+ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f (x) tại điểm Mo (xo;f (xo)) có dạng: y = f’ (xo) (x – xo) + yo, trong đó yo = f (xo).
Giải bài 2 trang 179 sgk Đại số 11:
Bài giải:
Bài 3 (trang 179 SGK Đại số 11): Giải các phương trình:
Bài giải:
Vậy phương trình có tập nghiệm
c) sin x + cos x = 1 + sin x. cos x
⇔ sin x. cos x – sin x – cos x + 1 = 0
⇔ (sinx. cosx –sinx)- (cosx -1) =0
⇔ sinx. (cosx – 1) – (cosx -1) = 0
⇔ (sin x – 1)(cos x – 1) = 0
Vậy phương trình có tập nghiệm
Thử lại: Trong 3 nghiệm trên thì nghiệm
Vậy phương trình vô nghiệm.
Bài 4 (trang 179 SGK Đại số 11): Trong một bệnh viện có 40 bác sĩ ngoại khoa. Hỏi có bao nhiêu cách phân công ca mổ, nếu mỗi ca gồm:
a) Một bác sĩ mổ và một bác sĩ phụ?
b) Một bác sĩ mổ và bốn bác sĩ phụ?
Bài giải:a) Có 40 cách chọn một bác sĩ mổ, ứng với mỗi cách chọn bác sĩ mổ có 39 cách chọn một bác sĩ phụ. Theo quy tắc nhân có tất cả là:
40.39 = 1560 (cách) phân bố ca mổ.
b) – Chọn bác sĩ mổ: Có 40 cách chọn.
- Chọn 4 bác sĩ phụ: Chọn ngẫu nhiên tổ hợp 4 người trong số 39 bác sĩ còn lại
⇒ Có
⇒ Có tất cả: 40. IMG_0 = 3290040 cách chọn 1 bác sĩ mổ và 4 bác sĩ phụ.
Bài 5 (trang 179 SGK Đại số 11): Tìm số hạng không chứa a trong khai triển của nhị thức:
Số hạng tổng quát của khai triển là:
Số hạng không chứa a ứng với 5k – 30 = 0 ⇔ k = 6.
Số hạng đó là:
Bài 6 (trang 179 SGK Đại số 11): Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ một tổ gồm có 6 nam và 4 nữ. Tính xác xuất sao cho:
a) Cả 3 học sinh đều là nam.
b) Có ít nhất một nam.
Bài giải:+ Không gian mẫu là kết quả của việc chọn ngẫu nhiên 3 học sinh trong số 10 học sinh
a) Gọi A: “ Cả ba học sinh chọn được đều là nam”
b) Gọi B: “ Trong 3 học sinh chọn được có ít nhất 1 nam”
⇒ B−: “ Cả ba học sinh được chọn đều là nữ”
Bài 7 (trang 179 SGK Đại số 11): Một tiểu đội có 10 người được xếp ngẫu nhiên thành hàng dọc, trong đó có anh A và anh B. Tính xác xuất sao cho:
a) A và B đứng liền nhau;
b) Trong hai người đó có một người đứng ở vị trí số 1 và một người kia đứng ở vị trí cuối cùng.
Bài giải:Không gian mẫu là kết quả của việc sắp xếp 10 người theo 1 thứ tự.
⇒ n (Ω) = P10 = 10! = 3 628 800.
a) Gọi M: “A và B đứng liền nhau”
* Coi A và B là một phần tử X.
Số cách xếp X và 8 người khác thành hàng dọc là: 9!
Số cách xếp hai người A và B là: 2! = 2 cách
Theo quy tắc nhân có: 9!. 2= 725760 cách xếp thỏa mãn
Xác suất của biến cố M là:
b) Gọi N: “Trong hai người đó có một người đứng ở vị trí số 1 và một người kia đứng ở vị trí cuối cùng”.
+ Sắp xếp vị trí cho A và B: Có 2 cách
+ Sắp xếp vị trí cho 8 người còn lại: có 8! cách
⇒ Theo quy tắc nhân: n (N) = 2.8!
Bài 8 (trang 180 SGK Đại số 11): Tìm một cấp số cộng tăng, biết rằng tổng ba số hạng đầu của nó bằng 27 và tổng các bình phương của chúng bằng 275.
Bài giải:Gọi công sai của cấp số cộng là d; số hạng đầu là u1 = x - d, u2 = x, u3 = x + d.
CSC tăng nên d > 0.
Theo giả thiết, ta có hệ:
Vậy cấp số cộng đó có u1 = 5, công sai d = 4.
Bài 9 (trang 180 SGK Đại số 11): Cho biết một cấp số nhân, hiệu của số hạng thứ ba và số hạng thứ hai bằng 12 và nếu thêm 10 vào số hạng thứ nhất, thêm 8 vào số hạng thứ 2 còn giữa nguyên số hạng thứ 3 thì ba số mới lập thành một cấp số cộng. Hãy tính tổng năm số hạng đầu của cấp số nhân đó.
Bài giải:+ Gọi số hạng đầu của cấp số nhân là u1, công bội là x
Theo giả thiết ta có hệ phương trình
+ Tổng của năm số hạng đầu của CSN là:
Giải bài 10 trang 180 sgk Đại số 11:
Phát biểu định nghĩa cấp số nhân và công thức tổng n số hạng đầu tiên của một cập số nhân.
Bài giải:
+ Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó từ số hạng thứ hai; mỗi số hạng đều là tích các số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
(un): un + 1 = un.q.
+ Tổng n số hạng đầu tiên của CSN.
+ 
với mọi k nguyên dương.
Bài 11 (trang 180 SGK Đại số 11):
Bài giải:
Bài 12 (trang 180 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng hàm số y = cosx không có giới hạn khi x → + ∞.
Bài giải:
Vậy với hai dãy un và vn cùng → +∞ thì f (un) và f (vn) tiến đến hai giá trị khác nhau nên không tồn tại giới hạn của hàm số y = cos x khi x → +∞.
Bài 13 (trang 180 SGK Đại số 11): Tính các giới hạn sau:
Bài giải:
(Vì x < 0 nên khi đưa vào trong căn phải có dấu - ở ngoài)
Giải bài 14 trang 181 sgk Đại số 11:
Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm: sin x = x – 1.
Bài giải:
+ Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b] và f (a).f (b) < 0 thì phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b).
Giải bài 15 trang 181 sgk Đại số 11: Phương trình sau có nghiệm hay không trong khoảng (-1; 3): x4-3x3+x-1=0.
Bài giải:
Đặt f (x) = x4 - 3x3 + x – 1.
f (x) là hàm đa thức nên liên tục trên R.
Ta có: f (0) = -1 < 0
f (-1) = 1 – 3. (-1) – 1 – 1 = 2 > 0
⇒ f (0).f (-1) < 0
⇒ f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm xo ∈ (-1; 0) ⊂ (-1; 3).
Do đó phương trình đã cho có nghiệm xo ∈ (-1; 3).
Kiến thức áp dụng:+ Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b] và f (a).f (b) < 0 thì phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b).
Bài 16 (trang 181 SGK Đại số 11): Giải các phương trình:
Bài giải:
Bài 17 (trang 181 SGK Đại số 11): Tính đạo hàm của các hàm số sau:
Bài giải:
Bài 18 (trang 181 SGK Đại số 11): Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
Bài giải:
Tổng quát: Đạo hàm cấp n của y:
Tổng quát: Đạo hàm cấp n của y:
Bài 19 (trang 181 SGK Đại số 11): Cho hàm số y = x3 + bx2 + cx + d. Hãy xác định các số b, c, d biết rằng đồ thị (C) của hàm số y = f (x) đi qua các điểm (-1; -3); (1; -1) và
Bài 20 (trang 181 SGK Đại số 11): Cho hàm số f (x)=x3+bx2+cx+d, (C) g (x)=x2-3x+1
Với các số b, c, d tìm được ở bài 19, hãy:
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = -1.
b) Giải phương trình f'(sinx) = 0.
Bài giải:
a) f’ (x) = 3x2 – x.
⇒ f’ (-1) = 4; f (-1) = -3.
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = -1 là:
y = 4. (x + 1) – 3 = 4x + 1.
b) f’ (sin x) = 0
⇔ 3. sin2x – sin x = 0
⇔ sin x. (3sin x – 1) = 0
