Bài 5: Xác suất của biến cố - Giải BT Toán 11

Bài 5: Xác suất của biến cố

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 5 trang 66: Từ một hộp chứa bốn quả cầu ghi chứ a, hai quả cầu ghi chữ b và hai quả cầu ghi chữ c (h. 34), lấy ngẫu nhiên một quả. Kí hiệu:

A: “Lấy được quả ghi chữ a”;

B: “Lấy được quả ghi chữ b”;

C: “Lấy được quả ghi chữ c”.

Có nhận xét gì về khả năng xảy ra của các biến cố A, B và C? Hãy so sánh chúng với nhau.
Bài giải:

Khả năng xảy ra của biến cố A là: 4/8 = 0,5

Khả năng xảy ra của biến cố B là: 2/8 = 0,25

Khả năng xảy ra của biến cố C là: 2/8 = 0,25

⇒ Khả năng xảy ra của biến cố A lớn hơn khả năng xảy ra của biến cố B

Và khả năng xảy ra của biến cố B bằng khả năng xảy ra của biến cố C

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 5 trang 69: Chứng minh các tính chất a), b) và c).

a) P (∅) = 0, P (Ω) = 1.

b) 0 ≤ P (A) ≤ 1, với mọi biến cố A.

c) Nếu A và B xung khắc, thì

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) (công thức cộng xác suất).

Bài giải:

Theo định nghĩa xác suất của biến cố ta có:

Giải bài 1 trang 74 sgk Đại số 11: Gieo ngẫu nhien một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần.

a. Hãy mô tả không gian mẫu.

b. Xác định các biến cố sau.

A: "Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo không bé hơn 10"

B: "Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất một lần".

c. Tính P (A), P (B).

Bài giải:

a. Không gian mẫu gồm 36 kết quả đồng khả năng xuất hiện, được mô tả như sau:

Ta có: Ω = {(i, j) | 1 ≤ i, j ≤ 6}, trong đó i, j lần lượt là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ nhất và thứ hai, n (Ω) = 36.

b. A = {(4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6)} ⇒ n (A) = 6

B = {(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,5)}

Kiến thức áp dụng

Giải bài 2 trang 74 sgk Đại số 11: Có 4 tấm bìa được đánh số từ 1 đến 4. Rút ngẫu nhiên 3 tấm.

a. Hãy mô tả không gian mẫu.

b. Xác định các biến cố sau:

A: "Tổng các số trên 3 tấm bìa bằng 8"

B: "Các số trên 3 tấm bìa là ba số tự nhiên liên tiếp"

c. Tính P (A), P (B).

Bài giải:

a. Không gian mẫu gồm 4 phần tử:

Ω = {(1,2,3); (1,2,4); (2,3,4); (1,3,4)} ⇒ n (Ω)=4

b. Các biến cố:

+ A = {1,3,4} ⇒ n (A) = 1

+ B = {(1,2,3), (2,3,4)} ⇒ n (B) = 2

Kiến thức áp dụng:

Giải bài 3 trang 74 sgk Đại số 11: Một người chọn ngẫu nhiên hai chiếc giày từ bốn đôi giày cỡ khác nhau. Tính xác suất để hai chiếc chọn được tạo thành một đôi.

Bài giải:

Không gian mẫu là kết quả của việc chọn ngẫu nhiên 2 chiếc giày trong số 8 chiếc giày.

A: “ Chọn được 2 chiếc tạo thành một đôi”

⇒ n (A) = 4 (Vì có 4 đôi).

Kiến thức áp dụng:

Bài 4 (trang 74 SGK Đại số 11): Gieo một con súc sắc cân đối và đồng nhất. giả sử con súc sắc xuất hiện mặt b chấm. Xét phương trình x² + bx + 2 = 0. Tính xác suất sao cho:

a. Phương trình có nghiệm

b. Phương trình vô nghiệm

c. Phương tring có nghiệm nguyên.

Bài giải:

Không gian mẫu khi gieo con súc sắc cân đối và đồng chất:

Ω = {1,2,3,4,5,6}

⇒ n (Ω) = 6

Đặt A: "con súc sắc xuất hiện mặt b chấm";

Xét: x² + bx + 2 = 0 (1)

Δ = b² – 8

a. Phương trình (1) có nghiệm

⇔ Δ ≥ 0 ⇔ b ≥ 2√ 2

⇒ b ∈ {3; 4; 5; 6}.

⇒ A = {3,4,5,6}

⇒ n (A) = 4

b. (1) vô nghiệm

⇔ Δ < 0 ⇔ b ≤ 2√ 2

⇒ b ∈ {1; 2}

⇒ A = {1,2}

⇒ n (A) = 2

c. phương trình (1) có nghiệm

⇔ b ∈ {3; 4; 5; 6}.

Thử các giá trị của b ta thấy chỉ có b = 3 phương trình cho nghiệm nguyên.

⇒ A = {3}

⇒ n (A) = 1

Bài 5 (trang 74 SGK Đại số 11): Từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con, rút ngẫu nhiên cùng một lúc bốn con. Tính xác suất sao cho:

a. Cả bốn con đều là át.

b. Được ít nhất là một con át.

c. Được hai con át và hai con K

Bài giải:

Không gian mẫu là kết quả của việc chọn ngẫu nhiên 4 con trong số 52 con

a. Đặt A: « Cả 4 con lấy ra đều là át »

⇒ n (A) = 1

b. + B: « Không có con át nào trong 4 con khi lấy ra »

⇒ B là kết quả của việc chọn ngẫu nhiên 4 con trong số 48 con còn lại

c. C: “Rút được 2 con át và 2 con K”.

Bài 6 (trang 74 SGK Đại số 11): Hai bạn nam và hai bạn nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp thành hai dãy đối diện nhau. Tính xác suất sao cho:

a. Nam, nữ ngồi đối diện nhau.

b. Nữ ngồi đối diện nhau.

Bài giải:

a) Không gian mẫu là kết quả của việc sắp xếp bốn bạn vào 4 vị trí

⇒n (Ω) = 4! = 24.

Gọi A: “ Sắp xếp nam, nữ ngồi đối diện nhau”.

=> Biến cố đối A− : “ Nam ngồi đối diện nam, nữ ngồi đối diện nữ”

+ Ta tính P (A−):

Có 4 chỗ để cho bạn nữ thứ nhất chọn.

Có 1 cách chọn cho bạn nữ thứ hai (đối diện với bạn nữ thứ nhất).

Sau khi hai bạn nữ đã được chọn (ngồi đối diện nhau) thì còn lại 2 chỗ đối diện nhau để xếp 2 bạn nam và có 2! Cách xếp 2 bạn nam này.

Theo quy tắc nhân có: 4.1.2! = 8 cách xếp chỗ sao cho nam ngồi đối diện nam, nữ ngồi đối diện nữ

Do đó,

Suy ra, xác suất biến cố A là:

b) Theo phần trên xác suất để nữ ngồi đối diện nhau (khi đó hai nam cũng ngồi đối diện nhau) là:

Bài 7 (trang 75 SGK Đại số 11): Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 6 quả trắng, 4 quả đen. Hộp thứ hai chứa 4 quả trắng, 6 quả đen. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả. Kí hiệu:

A là biến cố: "Qủa lấy từ hộp thứ nhất trắng"

B là biến cố: "Qủa lấy từ hộp thứ hai trắng"

a. Xem xét A và B có độc lập không?

b. Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra cùng màu.

c. Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra khác màu.

Bài giải:

a) Không gian mẫu là kết quả của việc lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu ở hộp thứ nhất và một quả cầu ở hộp thứ hai

+ Có 10 cách lấy 1 quả cầu bất kì ở hộp 1 và có 10 cách lấy 1 quả cầu bất kì ở hộp 2. Nên số phần tử của không gian mẫu là;

⇒ n (Ω) = 10.10 = 100.

A: “ Quả cầu lấy từ hộp thứ nhất trắng”

⇒ Có 6 cách lấy quả cầu màu trắng ở hộp A và 10 cách lấy quả cầu ở hộp B

⇒ n (A) = 6.10 = 60.

B: “Quả cầu lấy từ hộp thứ hai trắng”

⇒ Có 4 cách lấy quả cầu màu trắng ở hộp B và 10 cách lấy quả cầu ở hộp A

⇒ n (B) = 4.10 = 40.

A. B: “Cả hai quả cầu lấy ra đều trắng”

⇒ Có 6 cách lấy quả cầu màu trắng ở hộp A và 4 cách lấy quả cầu màu trắng ở hộp B

⇒ n (A. B) = 6.4 = 24.

hay P (A. B) = P (A).P (B)

⇒ A và B là biến cố độc lập.

b) Gọi C: “Hai quả cầu lấy ra cùng màu”.

Ta có: A− : “Quả cầu lấy ra từ hộp thứ nhất màu đen”

B− : “ Quả cầu lấy ra từ hộp thứ hai màu đen”

⇒A−. B−: “Cả hai quả cầu lấy ra đều màu đen”

Nhận thấy A. B và A−. B− xung khắc (Vì không thể cùng lúc xảy ra hai trường hợp 2 quả cầu lấy ra cùng trắng và cùng đen)

Và C= (A. B)∪ (A−. B−)

c) C− : “Hai quả cầu lấy ra khác màu”

⇒ P (C− )=1-P (C)=1-0,48=0,52

Bài trước: Bài 4: Phép thử và biến cố - Giải BT Toán 11 Bài tiếp: Ôn tập chương 2 - Giải BT Toán 11