Bài 1: Giới hạn của dãy số - Giải BT Toán 11

Bài 1: Giới hạn của dãy số

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 1 trang 112: Cho dãy số (u_n) với u_n = 1/n.

Biểu diễn (u_n) dưới dạng khai triển:

Biểu diễn (u_n) trên trục số (h. 46):

a) Nhận xét xem khoảng cách từ u_n tới 0 thay đổi như thế nào khi n trở nên rất lớn.

b) Bắt đầu từ số hạng u_n nào của dãy số thì khoảng cách từ u_n đến 0 nhỏ hơn 0,01? 0,001?

a) Khoảng cách từ u_n tới 0 trở nên rất nhỏ (gần bằng 0) khi n trở nên rất lớn

b) Bắt đầu từ số hạng u₁₀₀ của dãy số thì khoảng cách từ u_n đến 0 nhỏ hơn 0,01

Bắt đầu từ số hạng u₁₀₀₀ của dãy số thì khoảng cách từ u_n đến 0 nhỏ hơn 0,001

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 1 trang 117: Có nhiều tờ giấy chồng nhau, mỗi tờ có bề dày là 0,1 mm. Ta xếp chồng liên tiếp tờ này lên tờ khác (h. 48). Giả sử có thể thực hiện việc xếp giấy như vậy một cách vô hạn.

Gọi u₁ là bề dày của một tờ giấy, u₂ là bề dày của một xếp giấy gồm hai tờ, u₃ là bề dày của một xếp giấy gồm ba tờ, …, u_n là bề dày của một xếp giấy gồm n tờ. Tiếp tục như vậy t được dãy số vô hạn (u_n).

Bảng sau đây cho biết bề dày (tính theo mm) của một số chồng giấy.

a) Quan sát bảng trên và nhận xét về giá trị của u_n khi n tăng lên vô hạn.

b) Với n như thế nào thì ta đạt được những chồng giấy có về dày lớn hơn khoảng cách từ Trái Đất tới Mặt Trăng? (Cho biết khoảng cách này ở một thời điểm xác định là 384000 km hay 384.10⁹ mm)

a) Giá trị của u_n rất lớn khi n tăng lên vô hạn

b) Cần n > 384.10¹⁰ tờ giấy để đạt được những chồng giấy có về dày lớn hơn khoảng cách từ Trái Đất tới Mặt Trăng

Giải bài 1 trang 121 sgk Đại Số 11: Có 1kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng cứ sau một khoảng thời gian T = 24000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe con người (T được gọi chu kỳ bán rã).

a. Sau 1 chu kì bán rã:

Sau 2 chu kì bán rã:

Sau 3 chu kì bán rã:

Kiến thức áp dụng:

Giải bài 2 trang 121 sgk Đại Số 11: Biết dãy số u_n thỏa mãn

Bài giải:

Đặt vn = un – 1.

Lấy số dương d > 0 bé tùy ý

⇒ luôn tồn tại

⇒

⇒ Theo định nghĩa ta có:

Kiến thức áp dụng:

Định nghĩa: nếu |u_n| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Giải bài 3 trang 121 sgk Đại Số 11: Tìm các giới hạn sau:

Bài giải:

Kiến thức áp dụng:

+ với mọi k nguyên dương

lim qⁿ = 0 với |q| < 1.

+ Nếu lim u_n = a và lim v_n = b thì:

lim (u_n ± v_n) = a ± b

lim (u_n.v_n) = a. b

Nếu u_n ≥ 0 với mọi n và lim u_n = a thì a ≥ 0 và

Giải bài 4 trang 122 sgk Đại Số 11: Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột mickey quyết định tô màu một miếng bài hình vuông cạnh bằng 1, nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1,2,3, …, n, …, trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó. (hình dưới). Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể diễn ra vô hạn.

a. Gọi un là diện tích hình vuông màu xám thứ n. Tính u1, u2, u3 và un

b. Tính lim Sn với Sn = u1 + u2 + u3 +…+ un

Bài giải:

a. Gọi độ dài cạnh hình vuông là a thì diện tích hình vuông là: S = a2

Cạnh hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó

⇒ Diện tích hình vuông kế tiếp bằng một phần tư diện tích hình vuông trước đó.

Hình vuông đầu tiên có độ dài cạnh là 1/2 ( là hình vuông nhỏ được đánh số 1) nên có diện tích là:

Từ đó, ta có:

Kiến thức áp dụng:

+ CSN (u_n) có số hạng đầu u₁; công bội q thì có tổng n số hạng đầu tiên là:

+ lim q_n = 0 với |q| < 1.  

Giải bài 5 trang 122 sgk Đại Số 11: Tính tổng:

Bài giải:

Dãy

Tổng của cấp số nhân đó là: Kiến thức áp dụng:

CSN vô hạn (u_n) có công bội q với |q| < 1 được gọi là CSN lùi vô hạn và có tổng:

Giải bài 6 trang 122 sgk Đại Số 11: Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 1,020 202… (chu kì là 02). Hãy viết a dưới dạng một phân số:

Bài giải:

Ta có: a= 1,02020202... ( chu kì 2)

= 1 + 0,02+ 0,0002+ 0,000002 +.....

Là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là:

Kiến thức áp dụng:

CSN vô hạn (u_n) có công bội q với |q| < 1 được gọi là CSN lùi vô hạn và có tổng:

Giải bài 7 trang 122 sgk Đại Số 11: Tính các giới hạn sau:

Bài giải:

Kiến thức áp dụng:

+ Nếu lim u_n = +∞ và lim v_n = a thì

Giải bài 8 trang 122 sgk Đại Số 11: Cho hai dãy số (un) và (vn). Biết lim un = 3, lim vn = + ∞. Tính các giới hạn:

Bài giải:

Kiến thức áp dụng:

+ Nếu lim u_n = a và lim v_n = b thì:

lim (u_n ± v_n) = a ± b

lim (u_n.v_n) = a. b

Bài trước: Ôn tập chương 3 - Giải BT Toán 11 Bài tiếp: Bài 2: Giới hạn của hàm số - Giải BT Toán 11