Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm - Giải BT Toán 11
Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 1 trang 146: Một đoàn tàu chuyển động khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường s (mét) đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian t (phút). Ở những phút đầu tiên, hàm số đó là s = t2.
Hãy tính vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng [t; to] với to = 3 và t = 2; t = 2,5; t = 2,9; t = 2,99.
Nêu nhận xét về những kết quả thu được khi t càng gần to = 3.
Bài giải:Vận tốc của đoàn tàu là: 
Vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng [t; to] với:
t càng gần to = 3 thì vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng [t; to] càng gần 3
Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 1 trang 149: Cho hàm số y = x2. Hãy tính y' (xo) bằng định nghĩa.
Bài giải:
Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 1 trang 150:
a) Vẽ đồ thị của hàm số f (x) = x2/2.
b) Tính f’ (1).
c) Vẽ đường thẳng đi qua điểm M (1; 1/2) và có hệ số góc bằng f’ (1). Nêu nhận xét về vị trí tương đối của đường thẳng này và đồ thị hàm số đã cho.
Bài giải:
- Giả sử Δ x là số gia của đối số tại xo = 1. Ta có:
- Đường thẳng có hệ số góc bằng f' (1) = 1 có dạng:
y = 1. x + a hay y = x + a
Mà đường thẳng đó đi qua điểm M (1; 1/2) nên có: 1/2 = 1 + a ⇒ a = 1/2 - 1 = -1/2
⇒ đường thẳng đi qua M và có hệ số góc bằng 1 là: y = x – 1/2
Ta có đồ thị như trên. Đường thẳng y = x – 1/2 tiếp xúc với đồ thị hàm số f (x) tại M
Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 1 trang 152: Viết phương trình đường thẳng đi qua Mo(xo; yo) và có hệ số góc λ
Bài giải:
y = λ (x – xo) + yo hay y = λ x + (–λ xo + yo)
Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 1 trang 152: Cho hàm số y = -x2 + 3x – 2. Tính y’ (2) bằng định nghĩa.
Bài giải:
- Giả sử Δ x là số gia của đối số tại xo = 2. Ta có:
Δ y = y (2 + Δ x) - y (2)
= - (2 + Δ x)2 + 3 (2 + Δ x) - 2 - (-22 + 3.2 - 2)
= - (4 + 4Δ x + (Δ x)2)+ 6 + 3Δ x - 2 = - (Δ x)2 - Δ x
Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 1 trang 153: Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của các hàm số:
a) f (x) = x2 tại điểm x bất kì;
b) g (x) = 1/x tại điểm bất kì x ≠ 0
Bài giải:a)Giả sử Δ x là số gia của đối số tại xo bất kỳ. Ta có:
b)Giả sử Δ x là số gia của đối số tại xo bất kỳ. Ta có:
Giải bài 1 trang 156 sgk Đại Số 11: Tìm số gia của hàm số f (x) = x3, biết rằng:
a. x0 = 1; Δx = 1;
b. x0 = 1; Δx = -0,1;
a. Δy = f (x0 + Δx) – f (x0) = f (1 + 1) – f (1) = f (2) – f (1) = 23 – 13 = 7
b. Δy = f (x0 + Δx) – f (x0) = f (1 – 0,1) – f (1) = f (0,9) – f (1) = (0,9)3 – 13 = -0,271.
+ Đại lượng Δ x = x – x0 được gọi là số gia của đối số tại x0.
+ Đại lượng Δ y = f (x) – f (x0) = f (x – Δ x) – f (x0) được gọi là số gia tương ứng của hàm số.
Giải bài 2 trang 156 sgk Đại Số 11: Tính Δy và 
của các hàm số sau theo x và Δx:
+ Đại lượng Δ x = x – x0 được gọi là số gia của đối số tại x0.
+ Đại lượng Δ y = f (x) – f (x0) được gọi là số gia tương ứng của hàm số.
Giải bài 3 trang 156 sgk Đại Số 11: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số tại các điểm đã chỉ ra:
+ Định nghĩa đạo hàm của hàm số y = f (x) tại x = x0:
Hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b). Nếu giới hạn 
tồn tại thì được gọi là đạo hàm của hàm y = f (x) tại x0.
Giải bài 4 trang 156 sgk Đại Số 11: Chứng minh rằng hàm số:
+ Định nghĩa đạo hàm của hàm số y = f (x) tại x = x0: Hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b). Nếu giới hạn 
tồn tại thì được gọi là đạo hàm của hàm y = f (x) tại x0.
Giải bài 5 trang 156 sgk Đại Số 11: Viết phương trình tiếp tuyến đường cong y=x3.
a. Tại điểm (-1; -1);
b. Tại điểm có hoành độ bằng 2;
c. Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.
a) Tiếp tuyến của y = x3 tại điểm (-1; -1) là:
y = f’ (-1)(x + 1) + y (1)
= 3. (-1)2(x + 1) – 1
= 3. (x + 1) – 1
= 3x + 2.
b) x0 = 2
⇒ y0 = f (2) = 23 = 8;
⇒ f’ (x0) = f’ (2) = 3.22 = 12.
Vậy phương trình tiếp tuyến của y = x3 tại điểm có hoành độ bằng 2 là:
y = 12 (x – 2) + 8 = 12x – 16.
c) k = 3
⇔ f’ (x0) = 3
⇔ 3x02 = 3
⇔ x02 = 1
⇔ x0 = ±1.
+ Với x0 = 1 ⇒ y0 = 13 = 1
⇒ Phương trình tiếp tuyến: y = 3. (x – 1) + 1 = 3x – 2.
+ Với x0 = -1 ⇒ y0 = (-1)3 = -1
⇒ Phương trình tiếp tuyến: y = 3. (x + 1) – 1 = 3x + 2.
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x3 có hệ số góc bằng 3 là y = 3x – 2 và y = 3x + 2.
+ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f (x) tại điểm M (x0; y0) là: y = f’ (x0). (x – x0) + y0 với y0 = f (x0).
+ f’ (x0) chính là hệ số góc của đường thẳng tiếp tuyến.
Giải bài 6 trang 156 sgk Đại Số 11: Viết phương trình tiếp tuyến của hypebol 
a) Tại điểm 
;
b) Tại điểm có hoành độ bằng -1;
c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 
b) Tại x0 = -1
⇒ y0 = -1
⇒ f’ (x0) = -1.
Vậy phương trình tiếp tuyến của đường cong 
tại điểm có hoành độ -1 là:
y = -1 (x + 1) – 1 = -x – 2.
⇒ Phương trình tiếp tuyến:
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến của hypebol 
có hệ số góc 
bằng 
+ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f (x) tại điểm M (x0; y0) là:
y = f’ (x0). (x – x0) + y0 với y0 = f (x0).
+ f’ (x0) chính là hệ số góc của đường thẳng tiếp tuyến.
Bài 7 (trang 157 SGK Đại số 11): Một vật rơi tự do theo phương trình s = 1/2 gt2, trong đó g≈ 9,8m/s2 là gia tốc trọng trường.
a. Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t = 5s) đến t + Δ t, trong các trường hợp Δ t=0,1s; Δ t=0,05s; Δ t=0,001s.
b. Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5s.
Bài giải:a) Vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ t đến t + Δ t là:
b) Vận tốc tức thời tại thời điểm t = 5s chính là vận tốc trung bình trong khoảng thời gian (t; t + Δ t) khi Δ t → 0 là:
