Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm - Giải BT Toán 11
Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm
Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 157: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = x3 tại điểm x tùy ý.
Dự đoán đạo hàm của hàm số y = x100 tại điểm x.
Bài giải:- Giả sử Δ x là số gia của đối số tại xo bất kỳ. Ta có:
- Dự đoán đạo hàm của y = x100 tại điểm x là 100x100
Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 158: Chứng minh khẳng định trong nhận xét trên.
a) Đạo hàm của hàm hằng bằng 0: c’ = 0.
b) Đạo hàm của hàm số y = x bằng 1: x’ = 1.
Bài giải:
a) Hàm hằng ⇒ Δ y = 0
b) Theo định lí 1
y = x hay y = x1 ⇒ y’= (x1)’= 1. x1-1 = 1. xo = 1.1 =1
Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 158: Có thể trả lời ngay được không, nếu yêu cầu tính đạo hàm của hàm số f (x) = √ x tại x = - 3; x = 4?
Bài giải:
+) x = - 3 < 0 nên f (x) không có đạo hàm tại x = - 3
+) x = 4, đạo hàm của f (x) là: 
Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 159: Áp dụng các công thức trong Định lí 3, hãy tính đạo hàm của các hàm số
+) y = 5x3 - 2x5;
+) y = -x3 √ x.
Bài giải:+) Hàm số y = 5x3 - 2x5
Ta có: y' = (5x3 - 2x5)' = (5x3)' - (2x5)'
= (5'. x3 + 5 (x3)')- (2'. x5 + 2. (x5)')
= (0. x3 + 5.3x2)- (0. x5 + 2.5x4)
= (0 + 15x2)- (0 + 10x4)
= 15x2 - 10x4
+) y = -x3 √ x.
Ta có: y' = (-x3√ x)'
= (-x3)'. √ x + (-x3). (√ x)'
= -3x2.√ x - x3. 1/ (2√ x)
Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 160: Hãy chứng minh các công thức trên và lấy ví dụ minh họa.
Bài giải:- Nếu k là một hằng số thì (ku)’ = ku’
Thật vậy, ta có: (ku)' = k'u + ku' = 0. u + ku' = ku'
Do đạo hàm của hàm hằng bằng 0
Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 161:
Hàm số: 
là hàm hợp của hàm số nào?
Hàm số: là hàm hợp của hàm số y = √u với u = x2 + x + 1
Giải bài 1 trang 162 sgk Đại Số 11: Bằng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. y = 7 + x – x2 tại x0 = 1
b. y = x3 – 2x + 1 tại xo = 2.
+ Đạo hàm của hàm số y = f (x) tại x = x0.
Giải bài 2 trang 163 sgk Đại Số 11: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) y’ = (x5 – 4x3 + 2x – 3)’
= (x5)’ – (4x3)’ + (2x)’ – (3)’
= 5x4 – 4.3x2 + 2
= 5x4 – 12x2 + 2.
d) Cách 1: y = 3x5 (8 - 3x2)
= 3x5.8 – 3x5.3x2 = 24x5 – 9x7
⇒ y’ = (24x5 – 9x7)’
= (24x5)' – (9x7)’
= 24.5x4 – 9.7x6
= 120x4 – 63x6.
Cách 2: Áp dụng công thức tính đạo hàm của tích:
⇒ y’ = [(3x5)’]. (8 – 3x2) + 3x5. [(8 – 3x2)’]
= 3.5x4(8 – 3x2) + 3x5. [(8)’ – (3x2)’]
= 15x4(8 – 3x2) + 3x5. (0 – 3.2x)
= 15x4.8 – 15x4.3x2 + 3x5. (-6x)
= 120x4 – 45x6 – 18x6
= 120x4 – 63x6.
+ (xn)’ = n. xn – 1
+ Với u = u (x); v = v (x) là các hàm số có đạo hàm tại x thuộc khoảng xác định ta có:
(u + v)’ = u’ + v’
(u – v)’ = u’ – v’
(k. u)’ = k. u’ (k là hằng số)
(u. v)’ = u’. v + u. v’.
Giải bài 3 trang 163 sgk Đại Số 11: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) Cách 1:
y’ = [(x7 - 5x2)3]'
= [(x7)3 – 3. (x7)2.5x2 + 3. x7. (5x2)2 – (5x2)3]’
= (x21 – 15. x16 + 75x11 – 125x6)’
= (x21)’ – (15x16)’ + (75x11)’ – (125x6)’
= 21x20 – 15.16x15 + 75.11x10 – 125.6x5
= 21x20 – 240x15 + 825x10 – 750x5.
Cách 2:
y’ = [(x7 - 5x2)3]'
= 3. (x7 – 5x2)2. (x7 – 5x2)’ (Đạo hàm của hàm hợp với u = x7 – 5x2; y = u3)
= 3. (x7 – 5x2)2. [(x7)’ – (5x2)’]
= 3. (x7 – 5x2)2(7x6 – 5.2x)
= 3. (x7 – 5x2)2(7x6 – 10x)
b) y’ = [(x2 + 1)(5 – 3x2)]’
= (x2 + 1)’. (5 – 3x2) + (x2 + 1)(5 – 3x2)’ (Đạo hàm của tích)
= [(x2)’ + (1)’](5 – 3x2) + (x2 + 1)[ (5)’ – (3x2)’]
= (2x + 0)(5 – 3x2) + (x2 + 1)(0 – 3.2x)
= 2x. (5 – 3x2) + (x2 + 1). (-6x)
= 2x. 5 – 2x. 3x2 + x2(-6x) + 1 (-6x)
= 10x – 6x3 – 6x3 – 6x
= -12x3 + 4x.
+ (xn)’ = n. xn – 1
+ Với u = u (x); v = v (x) là các hàm số có đạo hàm tại x thuộc khoảng xác định ta có:
(u + v)’ = u’ + v’
(u – v)’ = u’ – v’
(u. v)’ = u’. v + u. v’.
+ Đạo hàm của hàm hợp:
Hàm số y = f (u) với u = g (x) thì hàm số y = f (g (x)) có đạo hàm:
y’ = f’ (u).g’ (x).
Giải bài 4 trang 163 sgk Đại Số 11: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
+ (xn)’ = n. xn – 1
+ Với u = u (x); v = v (x) là các hàm số có đạo hàm tại x thuộc khoảng xác định ta có:
(u + v)’ = u’ + v’
(u – v)’ = u’ – v’
(u. v)’ = u’. v + u. v’.
+ Đạo hàm của hàm hợp:
Hàm số y = f (u) với u = g (x) thì hàm số y = f (g (x)) có đạo hàm: y’ = f’ (u).g’ (x).
Bài 5 (trang 163 SGK Đại số 11): Cho y = x3- 3x2+ 2. Tìm x để:
a. y' > 0
b. y' < 3
Bài giải:y = x3 – 3x2 + 2.
⇒ y’ = (x3 – 3x2 + 2)’
= (x3)’ – (3x2)’ + (2)’
= 3x2 – 3.2x + 0
= 3x2 – 6x.
a) y’ > 0
⇔ 3x2 – 6x > 0
⇔ 3x (x – 2) > 0
⇔ x < 0 hoặc x > 2.
b) y’ < 3
⇔ 3x2 – 6x < 3
⇔ 3x2 – 6x – 3 < 0
⇔ 1- √2 < x < 1 + √2.