Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học - Giải BT Toán 11

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 1 trang 80: Xét hai mệnh đề chứa biến P (n): “3ⁿ < n + 100” và Q (n): "2ⁿ > n" với n ∈ N*.

a) Với n = 1,2,3,4,5 thì P (n), Q (n) đúng hay sai?

b) Với mọi n ∈ N* thì P (n), Q (n) đúng hay sai?

Bài giải:

a) Xét P (n): “3ⁿ < n + 100”:

+ Với n = 1, P (1) trở thành: “3¹ < 1 + 100”. Mệnh đề đúng vì 3¹ = 3 < 1 + 100 = 101.

+ Với n = 2, P (2) trở thành: “3² < 2 + 100”. Mệnh đề đúng vì 3² = 9 < 2 + 100.

+ Với n = 3, P (3) trở thành: “3³ < 3 + 100”. Mệnh đề đúng vì 3³ = 27 < 3 + 100.

+ Với n = 4, P (4) trở thành: “3⁴ < 4 + 100”. Mệnh đề đúng vì 3⁴ = 81 < 4 + 100.

+ Với n = 5, P (5) trở thành: “3⁵ < 5 + 100”. Mệnh đề sai vì 3⁵ = 243 > 5 + 100.

Xét Q (n): “2n > n”.

+ Với n = 1, Q (1) trở thành: “2¹ > 1”. Mệnh đề đúng vì 2¹ = 2 > 1.

+ Với n = 2, Q (2) trở thành: “2² > 2”. Mệnh đề đúng vì 2² = 4 > 2.

+ Với n = 3, Q (3) trở thành: “2³ > 3”. Mệnh đề đúng vì 2³ = 8 > 3.

+ Với n = 4, Q (4) trở thành: “2⁴ > 4”. Mệnh đề đúng vì 2⁴ = 16 > 4.

+ Với n = 5, Q (5) trở thành: “2⁵ > 5”. Mệnh đề đúng vì 2⁵ = 32 > 5.

b)

+ Nhận thấy P (n) không đúng với mọi n ∈ N* (sai với n = 5).

+ Với mọi n ∈ N*, Q (n) luôn đúng.

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 1 trang 81: Chứng minh rằng với n ∈ N^* thì

1 + 2 + 3 + … + n = (n (n+1))/2

Bài giải:

- Khi n = 1, VT = 1;

- Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là:

Ta phải chứng minh rằng đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là:

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

Vậy đẳng thức đúng với mọi n ∈ N*

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 1 trang 82: Cho hai số 3ⁿ và 8n với n ∈ N*.

a) So sánh 3ⁿ và 8n khi n = 1,2,3,4,5.

b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Bài giải:

a)n = 1 ⇒ 3¹ = 3 < 8 = 8.1

n = 2 ⇒ 3² = 9 < 16 = 8.2

n = 3 ⇒ 3³ = 27 > 24 = 8.3

n = 4 ⇒ 3⁴ = 81 > 32 = 8.4

n = 5 ⇒ 3⁵ = 243 > 40 = 8.5

b) Dự đoán kết quả tổng quát: 3ⁿ > 8n với mọi n ≥ 3

- n = 3, bất đẳng thức đúng

- Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 3, nghĩa là:

3^k > 8k

Ta phải chứng minh rằng bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là:

3^{(k + 1)} > 8 (k + 1)

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

3^{(k + 1)} = 3^k.3 > 8k. 3 = 24k = 8k + 16k

k ≥ 3 ⇒ 16k ≥ 16.3 = 48 > 8

Suy ra: 3^{(k + 1)} > 8k + 8 = 8 (k + 1)

Vậy bất đẳng thức đúng với mọi n ≥ 3

Giải bài 1 trang 82 sgk Đại số 11: Chứng minh rằng với n ∈ N*, ta có các đẳng thức:

Bài giải:

a.

+ Với n = 1, ta có:

VT = 3 – 1 = 2

⇒ VT = VP

⇒ (1) đúng với n = 1

+ Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1 nghĩa là:

2 + 5 + 8 + …+ (3k – 1) = k (3k + 1)/2. (*)

Ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là:

Thật vậy:

Ta có:

b) + Với n = 1:

Vậy (2) đúng với n = 1

+ Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là:

Cần chứng minh (2) đúng với n = k + 1, tức là:

Thật vậy, ta có:

c. + Với n = 1:

⇒ (3) đúng với n = 1

+ Giả sử đẳng thức (3) đúng với n = k nghĩa là:

Cần chứng minh (3) đúng khi n = k + 1, tức là:

Thật vậy:

Kiến thức áp dụng:

Giải bài 2 trang 82 sgk Đại số 11: Chứng minh rằng với n ∈ N*

a. n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3.

b. 4n + 15n – 1 chia hết cho 9

c. n3 + 11n chia hết cho 6.

Lời giải:

a. Cách 1: Quy nạp

Đặt An = n3 + 3n2 + 5n

+ Ta có: với n = 1

A1 = 1 + 3 + 5 = 9 chia hết 3

+ giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

Ak = (k3 + 3k2 + 5k) chia hết 3 (giả thiết quy nạp)

Ta chứng minh Ak + 1 chia hết 3

Thật vậy, ta có:

Ak + 1 = (k + 1)3 + 3 (k + 1)2 + 5 (k + 1)

= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5

= (k3 + 3k2 + 5k) + 3k2 + 9k + 9

Theo giả thiết quy nạp: k3 + 3k2 + 5k ⋮ 3

Mà 3k2 + 9k + 9 = 3. (k2 + 3k + 3) ⋮ 3

⇒ Ak + 1 ⋮ 3.

Cách 2: Chứng minh trực tiếp.

Có: n3 + 3n2 + 5n

= n. (n2 + 3n + 5)

= n. (n2 + 3n + 2 + 3)

= n. (n2 + 3n + 2) + 3n

= n. (n + 1)(n + 2) + 3n.

Mà: n (n + 1)(n + 2) ⋮ 3 (tích của ba số tự nhiên liên tiếp)

3n ⋮ 3

⇒ n3 + 3n2 + 5n = n (n + 1)(n + 2) + 3n ⋮ 3.

Vậy n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3 với mọi ∀n ∈ N*

b. 4n + 15n – 1 chia hết cho 9

Đặt An = 4n + 15n – 1

với n = 1 ⇒ A1 = 4 + 15 – 1 = 18 chia hết 9

+ giả sử đúng với n = k ≥ 1 nghĩa là:

Ak = (4k + 15k – 1) chia hết 9 (giả thiết quy nạp)

Ta cần chứng minh: Ak + 1 chia hết 9

Thật vậy, ta có:

Ak + 1 = 4k+1 + 15 (k + 1) – 1

= 4.4k + 15k + 15 – 1

= 4. (4k + 15k – 1) – 45k+ 4+ 15 – 1

= 4. (4k +15k- 1) – 45k + 18

= 4. Ak + (- 45k + 18)

Ta có: Ak⋮ 9 và (- 45k+ 18) = 9 (- 5k + 2)⋮ 9

Nên Ak + 1 ⋮ 9

Vậy 4n + 15n – 1 chia hết cho 9 ∀n ∈ N*

c. Cách 1: Chứng minh quy nạp.

Đặt Un = n3 + 11n

+ Với n = 1 ⇒ U1 = 12 chia hết 6

+ giả sử đúng với n = k ≥ 1 ta có:

Uk = (k3 + 11k) chia hết 6 (giả thiết quy nạp)

Ta cần chứng minh: Uk + 1 = (k + 1)3 + 11 (k + 1) chia hết 6

Thật vậy ta có:

Uk+1 = (k + 1)3 + 11 (k +1)

= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 11k + 11

= (k3 + 11k) + 3k2 + 3k + 12

= Uk + 3 (k2 + k + 4)

Mà: Uk ⋮ 6 (giả thiết quy nạp)

3. (k2 + k + 4) ⋮ 6. (Vì k2 + k + 4 = k (k + 1) + 4 ⋮2)

⇒ Uk + 1 ⋮ 6.

Vậy n3 + 11n chia hết cho 6 ∀n ∈ N*.

Cách 2: Chứng minh trực tiếp.

Có: n3 + 11n

= n3 – n + 12n

= n (n2 – 1) + 12n

= n (n – 1)(n + 1) + 12n.

Vì n (n – 1)(n + 1) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất 1 thừa số chia hết cho 2 và 1 thừa số chia hết cho 3

⇒ n (n – 1)(n + 1) ⋮ 6.

Lại có: 12n ⋮ 6

⇒ n3 + 11n = n (n – 1)(n + 1) + 12n ⋮ 6.

Kiến thức áp dụng:

Giải bài 3 trang 82 sgk Đại số 11: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức:

a. 3n > 3n + 1

b. 2n+1 > 2n + 3

Lời giải:

a. Chứng minh: 3n > 3n + 1 (1)

+ Với n = 2 thì (1) ⇔ 9 > 7 (luôn đúng).

+ Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 2, tức là 3k > 3k + 1.

Ta chứng minh đúng với n= k+1 tức là chứng minh: 3k+ 1 > 3 (k+1) + 1

Thật vậy, ta có:

3k + 1 = 3.3k > 3. (3k + 1) (Vì 3k > 3k + 1 theo giả sử)

= 9k + 3

= 3k + 3 + 6k

= 3. (k + 1) + 6k

> 3 (k + 1) + 1. ( vì k ≥ 2 nên 6k ≥ 12> 1)

⇒ (1) đúng với n = k + 1.

Vậy 3n > 3n + 1 đúng với mọi n ≥ 2.

b. 2n + 1 > 2n + 3 (2)

+ Với n = 2 thì (2) ⇔ 8 > 7 (luôn đúng).

+ Giả sử (2) đúng khi n = k ≥ 2, nghĩa là 2k+1 > 2k + 3.

Ta chứng minh đúng với n= k+ 1 tức là chứng minh: 2k+2 > 2 (k+ 1)+ 3

Thật vậy, ta có:

2k + 2 = 2.2k + 1

> 2. (2k + 3) = 4k + 6 = 2k + 2 + 2k + 4.

> 2k + 2 + 3 = 2. (k + 1) + 3 (Vì 2k + 4 > 3 với mọi k ≥ 2)

⇒ (2) đúng với n = k + 1.

Vậy 2n + 1 > 2n + 3 với mọi n ≥ 2.

Kiến thức áp dụng:

Giải bài 4 trang 83 sgk Đại số 11:

a. Tính S1, S2, S3

b. Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh bằng quy nạp.

Bài giải:

b. Dự đoán:

Ta chứng minh đẳng thức (1) bằng quy nạp

+ Với n = 1 thì (1) đúng.

+ Giả sử (1) đúng với n = k, tức là

Khi đó:

⇒ (1) đúng với n = k + 1, do đó đúng với mọi n ∈ N*

Kiến thức áp dụng:

Bài 5 (trang 83 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là n (n-3)/2

Bài giải:

Chọn 2 điểm bất kì trong số các đỉnh của một đa giác ta được 1 đoạn thẳng (cạnh hoặc đường chéo)

⇒ Số đoạn thẳng của đa giác bằng:

⇒ số đường chéo của đa giác lồi có n cạnh là:

Bài trước: Ôn tập chương 2 - Giải BT Toán 11 Bài tiếp: Bài 2: Dãy số - Giải BT Toán 11