Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng - Giải BT Toán 11

Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Trả lời câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 1 trang 45: Hãy vẽ thêm một vài hình biểu diễn của hình chóp tam giác.

Bài giải:

Trả lời câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 1 trang 47: Vì sao người thợ mộc kiểm tra độ phẳng mặt bàn bằng cách rê thước trên mặt bàn? (h. 2.11).

Bài giải:

Theo tính chất 3, nếu đường thẳng là 1 cạnh của thước có 2 điểm phân biệt thuộc mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đó thuộc mặt phẳng bàn.

Khi đó, nếu rê thước mà có 1 điểm thuộc cạnh thước nhưng không thuộc mặt bàn thì bàn đó chưa phẳng và ngược lại.

Trả lời câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 1 trang 47: Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc phần kéo dài của đoạn thẳng BC (h. 2.12). Hãy cho biết M có thuộc mặt phẳng (ABC) không và đường thẳng AM có nằm trong mặt phẳng (ABC) không?

Bài giải:

M ∈ BC mà BC ∈ (ABC) nên M ∈ (ABC)

Vì A ∈ (ABC) và M ∈ (ABC) nên mọi điểm thuộc AM đều thuộc (ABC) hay AM ⊂ (ABC)

Trả lời câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 1 trang 48: Trong mặt phẳng (P), cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (P). Hãy chỉ ra một điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) khác điểm S (h. 2.15).

Bài giải:

Trong mặt phẳng (ABCD) gọi AC giao BD tại I

Một điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) khác điểm S là điểm I

I ∈ AC ⊂ (SAC)

I ∈ BD ⊂ (SBD)

Trả lời câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 1 trang 48: Hình 2.16 đúng hay sai? Tại sao?

Bài giải:

Sai Vì theo tính chất 2, có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Theo hình vẽ lại có: ba điểm không thẳng hàng M, L, K vừa thuộc (ABC), vừa thuộc (P) ⇒ vô lý

Trả lời câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 1 trang 52: Kể tên các mặt bên, cạnh bên, cạnh đáy của hình chóp ở hình 2.24.

Bài giải:

- Hình chóp tam giác:

Các mặt bên: (SAB), (SBC), (SAC)

Các cạnh bên: SA, SB, SC

Các cạnh đáy: AB, AC, BC

- Hình chóp tứ giác:

Các mặt bên: (SAB), (SBC), (SCD), (SAD)

Các cạnh bên: SA, SB, SC, SD

Các cạnh đáy: AB, BC, CD, DA

Giải bài 1 trang 53 sgk Hình học 11:

Kiến thức áp dụng

Bài 2 (trang 53 SGK Hình học 11): Gọi M là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (α). Chứng minh M là điểm chung của (α) với bất kì mặt phẳng nào chứa d.

Bài giải:

Giả sử có mặt phẳng (β) bất kì chứa đường thẳng d.

M là điểm chung của d và (α) nên:

M ∈ (α) (1)

và M ∈ d, mà d ⊂ (β) ⇒ M ∈ (β) (2).

Từ (1) và (2) suy ra M là điểm chung của (α) và (β).

Giải bài 3 trang 53 sgk Hình học 11

Kiến thức áp dụng

Giải bài 4 trang 53 sgk Hình học 11

Kiến thức áp dụng

Giải bài 5 trang 53 sgk Hình học 11

Kiến thức áp dụng

Bài 6 (trang 54 SGK Hình học 11): Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD.

a) Tìm giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP).

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ACD).

Bài giải:

a) Ta có:

⇒ NP và CD không song song với nhau.

Gọi giao điểm NP và CD là I.

I ∈ NP ⇒ I ∈ (MNP).

Mà I ∈ CD

Vậy I ∈ CD ∩ (MNP)

b) Trong mặt phẳng (ACD) thì AD và MI cắt nhau tại điểm J:

J ∈ AD ⇒ J ∈ (ACD)

J ∈ MI ⇒ J ∈ (MNP)

Vậy J là một điểm chung của hai mặt phẳng (ACD) và (MNP).

Ta đã có M là một điểm chung của hai mặt phẳng (ACD) và (MNP).

Vậy MJ = (ACD) ∩ (MNP).

Bài 7 (trang 54 SGK Hình học 11): Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AD và BC.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD).

b) Gọi M và N là hai điểm lần lượt lấy trên hai đoạn thẳng AB và AC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (DMN).

Bài giải:

a) Tìm giao tuyến của mp (IBC) và mp (KAD).

Ta có:

K ∈ BC ⇒ K ∈ (IBC) ⇒ K ∈ (IBC) ∩ (KAD)

I ∈ AD ⇒ I ∈ (KAD) ⇒ I ∈ (IBC) ∩ (KAD)

Vậy KI = (IBC) ∩ (KAD)

b) Trong mp (ABD) gọi BI ∩ DM = P

⇒ P ∈ (IBC) ∩ (DMN)

Trong mặt phẳng (ACD) gọi CI ∩ DN = Q

⇒ Q ∈ (IBC) ∩ (DMN)

Vậy (IBC) ∩ (DMN) = PQ.

Bài 8 (trang 54 SGK Hình học 11): Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, trên cạnh AD lấy điểm P không trùng với trung điểm của AD.

a) Gọi E là giao điểm của đường thẳng MP và đường thẳng BD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (PMN) và (BCD).

b) Tìm giao điểm của hai mặt phẳng (PMN) và BC.

Bài giải:

a) Trong mp (ABD): MP không song song với BD nên MP ∩ BD = E.

E ∈ MP ⇒ E ∈ (PMN)

E ∈ BD ⇒ E ∈ (BCD)

⇒ E ∈ (PMN) ∩ (BCD)

Dễ dàng nhận thấy N ∈ (PMN) ∩ (BCD)

⇒ EN = (PMN) ∩ (BCD)

b) Trong mp (BCD): gọi giao điểm EN và BC là F.

F ∈ EN, mà EN ⊂ (PMN) ⇒ F ∈ (PMN)

⇒ F = (PMN) ∩ BC.

Giải bài 9 trang 54 sgk Hình học 11

Kiến thức áp dụng

Bài 10 (trang 54 SGK Hình học 11): Cho hình chóp S. ABCD có AB và CD không song song. Gọi M là một điểm thuộc miền trong của tam giác SCD.

a) Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mp (SBM).

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC).

c) Tìm giao điểm I của đường thẳng BM và mặt phẳng (SAC).

d) Tìm giao điểm P của SC và mặt phẳng (ABM), từ đó suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (ABM).

Bài giải:

a) SM, CD cùng thuộc (SCD) và không song song.

Gọi N là giao điểm của SM và CD.

⇒ N ∈ CD và N ∈ SM

Mà SM ⊂ (SMB)

⇒ N ∈ (SMB)

⇒ N = (SMB) ∩ CD.

b) N ∈ CD ⊂ (ABCD)

⇒ BN ⊂ (ABCD)

⇒ AC; BN cùng nằm trong (ABCD) và không song song

Gọi giao điểm của AC và BN là H.

+ H ∈ AC ⊂ (SAC)

+ H ∈ BN ⊂ (SBM)

⇒ H ∈ (SAC) ∩ (SBM)

Dễ dàng nhận thấy giao điểm thứ hai của (SAC) và (SBM) là S

⇒ (SAC) ∩ (SBM) = SH.

c) Trong mp (SBM), gọi giao điểm của BM và SH là I, ta có:

I ∈ BM

I ∈ SH ⊂ (SAC).

⇒ I = BM ∩ (SAC).

d) Trong mp (SAC), gọi giao điểm của AI và SC là P.

+ P ∈ AI, mà AI ⊂ (AMB) ⇒ P ∈ (AMB)

⇒ P = (AMB) ∩ SC.

Lại có P ∈ SC, mà SC ⊂ (SCD) ⇒ P ∈ (SCD).

⇒ P ∈ (AMB) ∩ (SCD).

Lại có: M ∈ (SCD) (gt)

⇒ M ∈ (MAB) ∩ (SCD)

Vậy giao điểm của (MAB) và (SCD) là đường thẳng MP.

Bài trước: Câu hỏi trắc nghiệm chương 1 - Giải BT Toán 11 Bài tiếp: Bài 2: Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song - Giải BT Toán 11