Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản - Giải BT Toán 11

Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 18: Tìm một giá trị của x sao cho:

2sinx – 1 = 0.

2sinx – 1 = 0

⇒ sin x = 1/2

⇒ một giá trị của x sao cho 2sinx – 1 = 0 là x = π /6

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 19: Có giá trị nào của x thỏa mãn phương trình sinx = -2 không?

Không có giá trị nào của x thỏa mãn phương trình sinx = -2

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 21: Giải các phương trình sau:

a) sinx = 1/3;

b) sin (x + 45^o) = - √ 2/2.

a) sin⁡x = 1/3 khi x = arcsin 1/3.

Vậy phương trình sin⁡x = 1/3 có các nghiệm là:

x = arcsin 1/3 + k2π, k ∈ Z và x = π - arcsin 1/3 + k2π, k ∈ Z

b)-√ 2/2 = sin⁡ (-45^o) nên sin⁡ (x + 45^o) = (-√ 2)/2 ⇔ sin⁡ (x+45^o) = sin⁡ (-45^o)

Khi đó, x + 45^o = -45^o + k360^o, k ∈ Z ⇒ x = -45^o - 45^o + k360^o, k ∈ Z

và x + 45^o = 180^o - (-45^o) + k360^o, k ∈ Z ⇒ x = 180^o - (-45^o) - 45^o + k360^o,k ∈ Z

Vậy: x = -90^o + k360^o, k ∈ Z và x = 180^o + k360^o, k ∈ Z

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 23: Giải các phương trình sau:

a) cosx = (-1)/2;

b) cosx = 2/3;

c) cos (x + 30^o) = √ 3/2.

a) -1/2 = cos 2π /3 nên cos ⁡x = (-1)/2 ⇔ cos ⁡x = cos 2π /3

⇔ x = ± 2π /3 + k2π, k ∈ Z

b) cos ⁡x = 2/3 ⇒ x = ± arccos 2/3 + k2π, k ∈ Z

c) √ 3/2 = cos30^o nên cos⁡ (x + 30^o)= √ 3/2

⇔ cos⁡ (x + 30^o) = cos 30^o

⇔ x + 30^o = ± 30^o + k360^o, k ∈ Z

⇔ x = k360^o, k ∈ Z và x = -60^o + k360^o, k ∈ Z

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 24: Giải các phương trình sau:

a) tanx = 1;

b) tanx = -1;

c) tanx = 0.

Bài giải:

a) tan⁡ x = 1

⇔ tan⁡ x = tan⁡ π /4

⇔ x = π /4 + kπ, k ∈ Z

b) tan⁡ x = -1

⇔ tan⁡ x = tan⁡ (-π)/4

⇔ x = (-π)/4 + kπ, k ∈ Z

c) tan⁡ x = 0

⇔ tan⁡ x = tan⁡0

⇔ x = kπ, k ∈ Z

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 26: Giải các phương trình sau:

a) cotx = 1;

b) cotx = -1;

c) cotx = 0.

a)cot⁡ x = 1 ⇔ cot⁡ x = cot⁡ π /4 ⇔ x = π /4 + kπ, k ∈ Z

b)cot⁡ x = -1 ⇔ cot⁡ x = cot⁡ (-π)/4 ⇔ x = (-π)/4 + kπ, k ∈ Z

c)cot⁡ x = 0 ⇔ cot⁡ x = cot⁡ π /2 ⇔ x = π /2 + kπ, k ∈ Z

Giải bài 1 trang 28 sgk Đại số 11: Giải các phương trình sau:

+ Phương trình sin x = sin α có các nghiệm

+ Số thực α thỏa mãn thì ta viết α = arcsin a.

Khi đó phương trình sin x = a có nghiệm

Giải bài 2 trang 28 sgk Đại số 11: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin 3x và y = sin x bằng nhau?

Vậy với

+ Phương trình sin x = sin α có các nghiệm

Giải bài 3 trang 28 sgk Đại số 11: Giải các phương trình sau:

Vậy phương trình có họ nghiệm:

Vậy phương trình có hai họ nghiệm:

Vậy phương trình có 4 họ nghiệm:

+ Phương trình cos x = cos α có các nghiệm

+ Số thực α thỏa mãn

thì ta viết α = arccos a.

Khi đó phương trình cos x = a có nghiệm x = ± α + k2π (k ∈ Z).

Giải bài 4 trang 29 sgk Đại số 11: Giải phương trình

+ Xét k chẵn. Đặt k = 2n

Vậy phương trình có họ nghiệm:

Kiến thức áp dụng:

+ Phương trình cos x = cos α có các nghiệm x = ± α + k2π, k ∈ Z

+ Phương trình cos x = 0 có nghiệm

Giải bài 5 trang 29 sgk Đại số 11: Giải các phương trình sau:

Bài giải:

a. (Điều kiện: x – 15º ≠ 90º + k. 180º với ∀ k ∈ Z)

⇔ x – 15º = 30º + k180º, k ∈ Z

⇔ x = 45º + k. 180º, k ∈ Z

Vậy phương trình có họ nghiệm x = 45º + k. 180º (k ∈ Z).

b. Điều kiện: 3x - 1 ≠ kπ ∀ k ∈ Z

Mọi giá trị thuộc họ nghiệm đều thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy phương trình có họ nghiệm:

* Chú ý: Nếu các bạn sử dụng máy tính, kết quả cho được là thay vì

Học sinh sử dụng kết quả nào cũng đúng vì và hơn kém nhau π = 1 chu kì của hàm tan.

c. cos2x. tanx = 0 (Điều kiện xác định: ).

Vậy phương trình có hai họ nghiệm (k ∈ Z).

d. sin3x. cotx = 0 (Điều kiện xác định: x ≠ kπ ∀ k ∈ Z).

Kết hợp với điều kiện ta được

Vậy phương trình có các họ nghiệm

Kiến thức áp dụng

+ Điều kiện xác định của hàm số y = tan x là

Điều kiện xác định của hàm số y = cot x là x ≠ k. π.

+ Phương trình sin x = 0 và tan x = 0 đều có họ nghiệm

Phương trình cos x = 0 và cot x = 0 đều có họ nghiệm

+ Để gộp hoặc tách hoặc loại các họ nghiệm, ta nên biểu diễn các họ nghiệm trên đường tròn lượng giác.

Ví dụ ở kết quả phần d, các nghiệm được biểu diễn bởi các điểm từ A₁ đến A₈ trên đường tròn lượng giác như hình dưới.

Với điều kiện x ≠ k. π nên các điểm A₁ và A₄ bị loại.

Vậy họ nghiệm chỉ còn lại các điểm A₂; A₃; A₅; A₆; A₇; A₈ và ta viết được dưới kết quả

Giải bài 6 trang 29 sgk Đại số 11: Với giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = tan (π/4 - x) và y = tan 2x bằng nhau?

Kết hợp với điều kiện xác định suy ra

Vậy với

Kiến thức áp dụng:

+ Phương trình tan x = tan α có họ nghiệm x = α + k. π

Giải bài 7 trang 29 sgk Đại số 11: Giải các phương trình sau:

a. sin3x - cos5x = 0;

b. tan3x. tanx = 1

Bài giải:

a. sin3x - cos5x = 0

Vậy phương trình có hai họ nghiệm (k ∈ Z).

b. tan3x. tanx = 1 (Điều kiện: )

Các nghiệm thuộc họ nghiệm trên đều thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình có họ nghiệm (k ∈ Z).

Kiến thức áp dụng:

+ Với mọi α ∈ R ta có:

+ Phương trình sin x = sin α có họ nghiệm

+ Phương trình tan x = tan α có họ nghiệm x = α + k. π (k ∈ Z).

Bài trước: Bài 1: Hàm số lượng giác - Giải BT Toán 11 Bài tiếp: Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp - Giải BT Toán 11