Bài 4 : Hai mặt phẳng vuông góc - Giải BT Toán 11
Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc
Trả lời câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 4 trang 109: Cho hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến d. Chứng minh rằng nếu có một đường thẳng Δ nằm trong (α) và Δ vuông góc với d thì Δ vuông góc với (β)
Bài giải:
Δ nằm trong (α) và Δ vuông góc với d ⇒ Δ cắt d tại A
Từ A, vẽ đường thẳng a thuộc (β) và a ⊥ d
Vì (α) ⊥ (β) nên góc giữa Δ và a là 900 hay Δ ⊥ a
⇒ Δ ⊥ (d, a) hay Δ ⊥ (β)
Trả lời câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 4 trang 109: Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Chứng minh rằng các mặt phẳng (ABC), (ACD), (ADB) cũng đôi một vuông góc với nhau.
Bài giải:
AB ⊥ AC, AB ⊥ AD nên AB ⊥ (AC, AD) hay AB ⊥ (ACD) (theo định lí trang 99)
AB ∈ (ABC) nên (ABC) ⊥ (ACD) (theo định lí 1 trang 108)
AB ∈ (ADB) nên (ADB) ⊥ (ACD)
AD ⊥ AC, AD ⊥ AB nên AD ⊥ (AC, AB) hay AD ⊥ (ABC)
AD ∈ (ADB) nên (ADB) ⊥ (ABC)
Trả lời câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 4 trang 109: Cho hình vuông ABCD. Dựng đoạn AS vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông ABCD.
a) Hãy nêu tên các mặt phẳng lần lượt chứa các đường thẳng SB, SC, SD và vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
b) Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SBD)
Bài giải:
a) SA ⊥ (ABCD), SA ∈ (SAB) ⇒ (SAB) ⊥ (ABCD)
SA ⊥ (ABCD), SA ∈ (SAD) ⇒ (SAD) ⊥ (ABCD)
SA ⊥ (ABCD)⇒ SA ⊥ BD ∈ (ABCD) và BD ⊥ AC (hai đường chéo hình vuông)
⇒ BD ⊥ (SA, AC)⇒ BD ⊥ (SAC) mà BD ∈ (ABCD) nên (SAC) ⊥ (ABCD)
b) BD ⊥ (SAC) mà BD ∈ (SBD) nên (SAC) ⊥ (SBD)
Trả lời câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 4 trang 111: Cho biết mệnh đề nào sau đây là đúng?
a) Hình hộp là hình lăng trụ đứng
b) Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng
c) Hình lăng trụ là hình hộp
d) Có hình lăng trụ không phải là hình hộp
Bài giải:
a) Mệnh đề sai,
b) Mệnh đề đúng,
c) Mệnh đề sai
d) Mệnh đề đúng
Giải thích: Hình hộp là hình lăng trụ tứ giác có đáy là hình bình hành
Trả lời câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 4 trang 111: Sáu mặt của hình hộp chữ nhật có phải là những hình chữ nhật không?
Bài giải:
Sáu mặt của hình hộp chữ nhật là những hình chữ nhật
Trả lời câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 4 trang 112: Chứng minh rằng hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau.
Bài giải:
Xét trường hợp Hình chóp tứ giác đều
Ta có đáy là hình vuông ABCD
Tâm hình vuông ABCD là O (giao điểm 2 đường chéo)
Gọi M là trung điểm BC ⇒ OM // AB hay OM ⊥ BC
Theo định nghĩa hình chóp đều, SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ BC
⇒ BC ⊥ (SO, OM) ⇒ BC⊥ (SOM) ⇒ BC⊥ SM
Tam giác SBC có SM vừa là đường cao vừa là trung tuyến ⇒ SBC cân tại S
Chứng minh tương tự ⇒ Các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau
Trường hợp hình chóp đều khác, chứng minh tương tự
Trả lời câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 4 trang 112: Có tồn tại một hình chóp tứ giác S. ABCD có hai mặt bên (SAB) và (SCD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy hay không?
Bài giải:
Không tồn tại một hình chóp tứ giác S. ABCD có hai mặt bên (SAB) và (SCD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy
Bài 1 (trang 113 SGK Hình học 11): Cho ba mặt phẳng (α), (β), (γ), những mệnh đề nào sau đây đúng?
a) Nếu (α) ⊥ (β) và (α) // (γ) thì (β) ⊥ (γ).
b) Nếu (α) ⊥ (β) và (α) ⊥ (γ) thì (β) // (γ).
Bài giải:a) Mệnh đề trên là Đúng.
Giải thích:
(α) ⊥ (β) ⇒ ∃ đường thẳng d ⊂ (β) và d ⊥ (α).
Mà (α) // (γ)
⇒ d ⊥ (γ)
⇒ (β) ⊥ (γ).
b) Mệnh đề trên là Sai.
Giải thích: Vì hai mặt phẳng (β), (γ) cùng vuông góc với mp (α) có thể song song hoặc cắt nhau.
Giải bài 2 trang 113 sgk Hình học 11: Cho hai mặt phẳng (α), (β) vuông góc với nhau. Người ta lấy trên giao tuyến Δ của hai mặt phẳng đó hai điểm A và B sao cho AB = 8cm. Gọi C là một điểm trên (α) và D là một điểm trên (β) sao cho AC và BD cùng vuông góc với giao tuyến Δ và AC = 6cm, BD = 24cm. Tính độ dài đoạn CD.
Bài giải:
+ Cho hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến đều vuông góc với mặt phẳng còn lại.
Giải bài 3 trang 113 sgk Hình học 11: Trong mặt phẳng (α) cho tam giác ABC vuông ở B. Một đoạn thẳng AD vuông góc với (α) tại A. Chứng minh rằng:
a) (ABD) là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC)
b) Mặt phẳng (ABD) vuông góc với mặt phẳng (BCD)
c) HK // BC với H và K lần lượt là giao điểm của DB và DC với mp (P) đi qua A và vuông góc với DB.
Bài giải:
+ Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β).
- Xác định giao tuyến d của (α) và (β)
- Xác định trên (α) và (β) hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với d.
- Góc giữa (α) và (β) chính là góc giữa hai đường thẳng a và b.
+ Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu có một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng còn lại.
Bài 4 (trang 114 SGK Hình học 11): Cho hai mặt phẳng (α), (β) cắt nhau và một điểm M không thuộc (α) và (β). Chứng minh rằng qua điểm M có một và chỉ một mặt phẳng (P) vuông góc với (α) và (β). Nếu (α) // (β) thì kết quả trên sẽ thay đổi như thế nào?
Bài giải:
Vậy (MHK) chính là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với (α) và (β).
Kết quả: Mặt phẳng (P) cần dựng (tức mp (MHK)) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với Δ.
Vì qua một điểm chỉ có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước nên (P) là duy nhất.
Nếu (α) // (β) thì qua M ta chỉ có thể vẽ một đường thẳng Δ vuông góc với (α) và (β). Bất kì mặt phẳng (P) nào chứa Δ cũng đều vuông góc với (α), (β). Trường hợp này, qua M có vô số mặt phẳng vuông góc với (α), (β).
Giải bài 5 trang 114 sgk Hình học 11:
Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D'. Chứng minh rằng:
a) Mặt phẳng (AB'C'D) vuông góc với (BCD'A')
b) Đường thẳng AC' vuông góc với mặt phẳng (A'BD)
Bài giải:
+ Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu tồn tại một đường thẳng thuộc mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng còn lại.
+ Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) nếu d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong (α).
Giải bài 6 trang 114 sgk Hình học 11:
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a và có SA = SB = SC = a. Chứng minh rằng:
a) Mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD).
b) Tam giác SBD là tam giác vuông.
Bài giải:
+ Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu tồn tại một đường thẳng thuộc mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng còn lại.
+ Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) nếu d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong (α).
+ Tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng một nửa cạnh đó là tam giác vuông.
Giải bài 7 trang 114 sgk Hình học 11:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D'. Có AB = a, BC= b, CC'= c.
a) Chứng minh rằng mặt phẳng (ADC'B') vuông góc với mặt phẳng (ABB'A').
b) Tính độ dài đường chéo AC' theo a, b và c.
Bài giải:
+ Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu tồn tại một đường thẳng thuộc mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng còn lại.
+ Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) nếu d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong (α).
Bài 8 (trang 114 SGK Hình học 11): Tính độ dài đường chéo của một hình lập phương cạnh a.
Bài giải:+ Hình lập phương là hình hộp chữ nhật với a = b = c.
Áp dụng kết quả bài 7b) ta có:
Độ dài đường chéo hình lập phương là:
Giải bài 9 trang 114 sgk Hình học 11: Cho hình hộp tam giác đều S. ABC có SH là đường cao. Chứng minh SA vuông góc với BC và SB vuông góc với AC.
Bài giải:
S. ABC là hình chóp tam giác đều
⇒ ΔABC đều và H là tâm cùa ΔABC.
+ Ta có: AH ⊥ BC
Mà AH là hình chiếu của SA trên (ABC)
⇒ BC ⊥ SA (định lí ba đường vuông góc)
+ Lại có: AC ⊥ BH.
BH là hình chiếu của SB trên (ABC)
⇒ AC ⊥ SB (định lí ba đường vuông góc)
Kiến thức áp dụng:+ Đường thẳng a ⊂ (α); b không nằm trong (α) và không vuông góc với (α).
b’ là hình chiếu của b trên (α).
a ⊥ b ⇔ a ⊥ b’.
+ Hình chóp đa giác đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và chân đường cao trùng với tâm của đa giác.
Giải bài 10 trang 114 sgk Hình học 11: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.
a) Tính độ dài đoạn SO.
b) Gọi M là trung điểm của đoạn SC. Chứng minh hai mặt phẳng (MBD) và (SAC) vuông góc với nhau.
c) Tính độ dài đoạn OM và tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD).
Bài giải:
a) Theo giả thiết, S. ABCD là hình chóp đều và đáy ABCD là hình vuông nên SO ⊥ (ABCD) (tính chất hình chóp đều)
Đáy ABCD là hình vuông cạnh a nên
=> Góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD) là 45o
+ Hình chóp đa giác đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và chân đường cao trùng với tâm của đa giác.
+ Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu tồn tại một đường thẳng thuộc mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng còn lại.
+ Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β).
- Xác định giao tuyến d của (α) và (β)
- Xác định trên (α) và (β) hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với d.
- Góc giữa (α) và (β) chính là góc giưa hai đường thẳng a và b.
Giải bài 11 trang 114 sgk Hình học 11:
Bài giải:
+ Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu tồn tại một đường thẳng thuộc mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng còn lại.
+ Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β).
- Xác định giao tuyến d của (α) và (β)
- Xác định trên (α) và (β) hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với d.
- Góc giữa (α) và (β) chính là góc giưa hai đường thẳng a và b.