Trang chủ > Lớp 11 > Giải BT Toán 11 > Bài 2: Giới hạn của hàm số - Giải BT Toán 11

Bài 2: Giới hạn của hàm số - Giải BT Toán 11

Bài 2: Giới hạn của hàm số

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 123: Xét hàm số: Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 123 ảnh 1

1. Cho biến x những giá trị khác 1 lập thành dãy số xn, xn → 1 như trong bảng sau:

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 123 ảnh 2

Khi đó, các giá trị tương ứng của hàm số: f (x1), f (x2), …, f (xn), … cũng lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là f (xn).

a) Chứng minh rằng f (xn) = 2xn = (2n + 2)/n.

b) Tìm giới hạn của dãy số f (xn).

2. Chứng minh rằng với dãy số bất kì xn, xn ≠ 1 và xn → 1, ta luôn có f (xn) → 2.

(Với tính chất thể hiện trong câu 2, ta nói hàm số Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 123 ảnh 1 có giới hạn là 2 khi x dần tới 1).

Bài giải:

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 123 ảnh 1
Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 123 ảnh 2

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 127: Trong biểu thức (1) xác định hàm số y = f (x) ở Ví dụ 4, cần thay 2 bằng số nào để hàm số có giới hạn là -2 khi x → 1?

Bài giải:

Cần thay 2 bằng 7 để hàm số có giới hạn là -2 khi x → 1

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 127: Cho hàm số f (x) = 1/ (x-2) có đồ thị như ở Hình 52

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 127 ảnh 1

Quan sát đồ thị và cho biết:

- Khi biến x dần tới dương vô cực, thì f (x) dần tới giá trị nào.

- Khi biến x dần tới âm vô cực, thì f (x) dần tới giá trị nào.

Bài giải:

- Khi biến x dần tới dương vô cực, thì f (x) dần tới giá trị 0.

- Khi biến x dần tới âm vô cực, thì f (x) dần tới giá trị 0.

Giải bài 1 trang 132 sgk Đại Số 11: Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau:

Bài 2: Giới hạn của hàm số - Giải BT Toán 11 hình ảnh 0

Bài giải:

Bài 2: Giới hạn của hàm số - Giải BT Toán 11 hình ảnh 1

Lấy dãy (xn) bất kì; xn ∈ D; lim xn = 4.

Bài 2: Giới hạn của hàm số - Giải BT Toán 11 hình ảnh 2

b) TXĐ: D = R.

Bài 2: Giới hạn của hàm số - Giải BT Toán 11 hình ảnh 3

Lấy dãy (xn) bất kì thỏa mãn xn → +∞

Bài 2: Giới hạn của hàm số - Giải BT Toán 11 hình ảnh 4

Kiến thức áp dụng:

+ Định nghĩa giới hạn của hàm số y = f (x) tại điểm x = x0

Giải bài 1 trang 132 sgk Đại Số 11 ảnh 1

nếu với dãy (xn) bất kì; xn ∈ K/x0 và xn → x0 ta có f (xn) → L

+ Định nghĩa giới hạn của hàm số y = f (x) tại vô cùng.

Giải bài 1 trang 132 sgk Đại Số 11 ảnh 2
nếu với dãy (xn) bất kì, xn ∈ D và xn → +∞ thì ta có f (xn) → L.

Giải bài 2 trang 132 sgk Đại Số 11: Cho hàm số:

Bài 2: Giới hạn của hàm số - Giải BT Toán 11 hình ảnh 5

và các dãy số (un) với Bài 2 trang 132 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11; (vn) với Bài 2 trang 132 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11

Tính limun, limvn, limf (un), limf (vn).

Từ đó có kết luận gì về giới hạn của hàm số đã cho khi x → 0?

Bài giải:

Bài 2: Giới hạn của hàm số - Giải BT Toán 11 hình ảnh 6

Bài 2: Giới hạn của hàm số - Giải BT Toán 11 hình ảnh 7

Kiến thức áp dụng:
Giải bài 2 trang 132 sgk Đại Số 11 ảnh 1 với mọi số tự nhiên k dương.

Giải bài 3 trang 132 sgk Đại Số 11: Tính các giới hạn sau:

Bài 2: Giới hạn của hàm số - Giải BT Toán 11 hình ảnh 8

Bài giải:

Bài 2: Giới hạn của hàm số - Giải BT Toán 11 hình ảnh 9

Bài 2: Giới hạn của hàm số - Giải BT Toán 11 hình ảnh 10

Bài 2: Giới hạn của hàm số - Giải BT Toán 11 hình ảnh 11

Bài 2: Giới hạn của hàm số - Giải BT Toán 11 hình ảnh 12

Kiến thức áp dụng:

Giải bài 3 trang 132 sgk Đại Số 11 ảnh 1

+ Đối với trường hợp M = 0, L ≠ 0 thì Giải bài 3 trang 132 sgk Đại Số 11 ảnh 2 nếu f (x) và g (x) cùng dấu;

Giải bài 3 trang 132 sgk Đại Số 11 ảnh 3 nếu f (x) và g (x) trái dấu trong khoảng lân cận x0.

+ Đối với trường hợp f (x0) = g (x0) = 0 (L = M = 0)

⇒ phân tích được f (x) = (x – x0)k.q (x); g (x) = (x – x0)h.p (x)

⇒ Rút gọn (x – x0)k hoặc (x – x0)h để đưa về 1 trong 2 trường hợp trên.

Giải bài 4 trang 132 sgk Đại Số 11: Tìm các giới hạn sau:

Bài 2: Giới hạn của hàm số - Giải BT Toán 11 hình ảnh 13

Bài giải:

Bài 2: Giới hạn của hàm số - Giải BT Toán 11 hình ảnh 14

Bài 2: Giới hạn của hàm số - Giải BT Toán 11 hình ảnh 15

Bài 2: Giới hạn của hàm số - Giải BT Toán 11 hình ảnh 16

Kiến thức áp dụng:

Khi Giải bài 4 trang 132 sgk Đại Số 11 ảnh 1 thì ta có:

+ Nếu Giải bài 4 trang 132 sgk Đại Số 11 ảnh 2 và g (x) cùng dấu thì Giải bài 4 trang 132 sgk Đại Số 11 ảnh 3

+ Nếu Giải bài 4 trang 132 sgk Đại Số 11 ảnh 4 và g (x) trái dấu thì Giải bài 4 trang 132 sgk Đại Số 11 ảnh 5

Giải bài 5 trang 133 sgk Đại Số 11: Cho hàm số: Bài 2: Giới hạn của hàm số - Giải BT Toán 11 hình ảnh 17

Bài 5 trang 133 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11

a. Quan sát đồ thị và nêu nhận xét về giá trị hàm số cho khi:

x →- ∞, x →3-,x →-3+

b. Kiểm tra các nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau:

Bài 2: Giới hạn của hàm số - Giải BT Toán 11 hình ảnh 18

Bài giải:

a) Quan sát đồ thị nhận thấy:

f (x) → 0 khi x → -∞

f (x) → -∞ khi x → 3-

f (x) → +∞ khi x → (-3)+.

Bài 2: Giới hạn của hàm số - Giải BT Toán 11 hình ảnh 19

Bài 2: Giới hạn của hàm số - Giải BT Toán 11 hình ảnh 20

Kiến thức áp dụng:
Giải bài 5 trang 133 sgk Đại Số 11 ảnh 1

+ Khi Giải bài 5 trang 133 sgk Đại Số 11 ảnh 2 thì ta có:

+ Nếu Giải bài 5 trang 133 sgk Đại Số 11 ảnh 3 và g (x) cùng dấu thì Giải bài 5 trang 133 sgk Đại Số 11 ảnh 4

+ Nếu Giải bài 5 trang 133 sgk Đại Số 11 ảnh 5 và g (x) trái dấu thì Giải bài 5 trang 133 sgk Đại Số 11 ảnh 6

Giải bài 6 trang 133 sgk Đại Số 11: Tính:

Bài 2: Giới hạn của hàm số - Giải BT Toán 11 hình ảnh 21

Bài giải:

Bài 2: Giới hạn của hàm số - Giải BT Toán 11 hình ảnh 22

Bài 2: Giới hạn của hàm số - Giải BT Toán 11 hình ảnh 23

Bài 2: Giới hạn của hàm số - Giải BT Toán 11 hình ảnh 24

Kiến thức áp dụng

Quy tắc tìm giới hạn của tích f (x).g (x)

Nếu Giải bài 6 trang 133 sgk Đại Số 11 ảnh 1 = L ≠ 0 và Giải bài 6 trang 133 sgk Đại Số 11 ảnh 2 = + ∞ (hoặc -∞) thì Giải bài 6 trang 133 sgk Đại Số 11 ảnh 3 được tính theo quy tắc trong bảng sau:

Bài 2: Giới hạn của hàm số - Giải BT Toán 11 hình ảnh 25

Giải bài 7 trang 133 sgk Đại Số 11: Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f. Gọi d và d' lần lượt là khoảng cách từ một vật thật AB và ảnh A'B' của nó tới quang tâm O của thấu kính (hình dưới).

Bài 7 trang 133 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 2: Giới hạn của hàm số - Giải BT Toán 11 hình ảnh 26

Bài giải:

a) Thấu kính hội tụ có tiêu cự f

Bài 2: Giới hạn của hàm số - Giải BT Toán 11 hình ảnh 27
⇒ Ý nghĩa: Khi đặt vật nằm ngoài tiêu cự và tiến dần đến tiêu điểm thì cho ảnh thật ngược chiều với vật ở vô cùng.
Bài 2: Giới hạn của hàm số - Giải BT Toán 11 hình ảnh 28
⇒ Ý nghĩa: Khi đặt vật nằm trong tiêu cự và tiến dần đến tiêu điểm thì cho ảnh ảo cùng chiều với vật và nằm ở vô cùng.
Bài 2: Giới hạn của hàm số - Giải BT Toán 11 hình ảnh 29
⇒ Ý nghĩa: Khi vật được đặt ở xa vô cùng thì sẽ cho ảnh tại tiêu điểm.
Kiến thức áp dụng:

+ Đối với thấu kính hội tụ ta luôn có công thức liên hệ giữa khoảng cách từ vật, ảnh đến quang tâm và tiêu cự là: Giải bài 7 trang 133 sgk Đại Số 11 ảnh 1

+ Khi Giải bài 7 trang 133 sgk Đại Số 11 ảnh 2 thì ta có:

+ Nếu Giải bài 7 trang 133 sgk Đại Số 11 ảnh 3 và g (x) cùng dấu thì Giải bài 7 trang 133 sgk Đại Số 11 ảnh 4

+ Nếu Giải bài 7 trang 133 sgk Đại Số 11 ảnh 5 và g (x) trái dấu thì Giải bài 7 trang 133 sgk Đại Số 11 ảnh 6