Bài 4: Phép đối xứng tâm - Giải BT Toán 11
Bài 4: Phép đối xứng tâm
Trả lời câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 4 trang 13: Chứng minh rằng M’ = ĐI(M) ⇔ M = ĐI(M')
Bài giải:
M' = ĐI (M) nghĩa là phép biến hình này biến điểm I thành chính nó hoặc biến mỗi điểm M khác I thành M' sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM’
+) M ≡ I ⇒ M' = ĐI(M) ≡ M ≡ I ⇒ M = ĐI(M')
+) M ≠ I ⇒ M' = ĐI(M) thì I là trung điểm của MM’
⇒ M' ≠ I và phép biến hình biến mỗi điểm M' thành M sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng M'M
⇒ M = ĐI (M')
Trả lời câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 4 trang 13: Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Đường thẳng kẻ qua O vuông góc với AB, cắt AB ở E và cắt CD ở F. Hãy chỉ ra các cặp điểm trên hình vẽ đối xứng với nhau qua tâm O.
Bài giải:
- Hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo ⇒ O là trung điểm mỗi đường nên A và C đối xứng nhau qua tâm O
B và D đối xứng nhau qua tâm O
- Xét hai tam giác vuông AEO và CFO có:
OA = OC (do O là trung điểm AC)
∠ (AOE) = ∠ (COF)(hai góc đối đỉnh)
⇒ Δ AEO = Δ CFO (cạnh huyền – góc nhọn kề)
⇒ OE = OF (hai cạnh tương ứng)
Nên O là trung điểm EF
⇒ E và F đối xứng nhau qua tâm O
Trả lời câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 4 trang 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A (- 4; 3). Tìm ảnh của A qua phép đối xứng tâm O.
Bài giải:
A' (a, b) là ảnh của A' qua phép đối xứng tâm O ⇒ a = 4 và b = -3
Trả lời câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 4 trang 14: Chọn hệ tọa độ Oxy, rồi dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm O chứng minh lại tính chất 1.
Bài giải:
Trả lời câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 4 trang 15: Trong các chữ sau, chữ nào là hình có tâm đối xứng?
Bài giải:
Các chữ có tâm đối xứng là: H, N, O, I
Trả lời câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 4 trang 15: Tìm một số hình tứ giác có tâm đối xứng.
Bài giải:
Các tứ giác có tâm đối xứng là: hình vuông, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, …
Giải bài 1 trang 15 sgk Hình học 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A (-1; 3) và đường thẳng d có phương trình x – 2y + 3 = 0. Tìm ảnh của A và d qua phép đối xứng tâm O.
Hướng dẫn. Sử dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm.
Bài giải:
* Ta có: ĐO (A) = A’ nên O là trung điểm của AA’
Áp dụng công thức tính trung điểm ta có:
* Ta tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O.
Do điểm O d nên qua phép đối xứng tâm O biến đường thẳng d thành đường thẳng d’// d
=> Đường thẳng d’ có dạng: x- 2y + m =0
Lấy điểm B (-3; 0)∈ d, ĐO (B) = B’∈ d’
Điểm B’ (3; 0) thuộc d’ nên: 3-2.0+ m = 0 ⇔ m= -3
Vậy phương trình đường thẳng d’: x- 2y – 3= 0
Kiến thức áp dụng:+ M’ = ĐO(M) ⇔ 
+ Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó.
Để tìm đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua tâm A ta làm như sau:
- Lấy 1 điểm B bất kì thuộc d.
- Tìm B’ đối xứng với B qua A.
- d’ là đường thẳng chứa B’, kết hợp với d’ // d viết được phương trình đường thẳng d’.
Giải bài 2 trang 15 sgk Hình học 11: Trong các hình tam giác đều, hình bình hành, ngũ giác đều, lục giác đều, hình nào có tâm, đối xứng?
Bài giải:
• Tam giác đều và ngũ giác dều không có tâm đối xứng.
* Hình bình hành có một tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.
* Hình lục giác đều có một tâm đối xứng, đó là tâm đường tròn ngoại tiếp hình lục giác đều.
+ Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình (H) nếu phép đối xứng tâm I biến hình (H) thành chính nó.
Bài 3 (trang 15 SGK Hình học 11): Tìm một hình có vô số tâm đối xứng.
Bài giải:– Đường thẳng là một hình có vô số tâm đối xứng bởi bất kì điểm nào thuộc đường thẳng cũng đều là tâm đối xứng biến đường thẳng thành chính nó.
