Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp - Giải BT Toán 11

Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 3 trang 29: Giải các phương trình trong ví dụ 1.

a) 2sinx – 3 = 0 là phương trình bậc nhất đối với sinx.

b) √ 3 tanx + 1 = 0 là phương trình bậc nhất đố với tanx.

a) 2sinx – 3 = 0 ⇔ sin⁡ x = 3/2, vô nghiệm vì |sin⁡x| ≤ 1

b)√ 3tan⁡x + 1 = 0 ⇔ tan⁡x = (-√ 3)/3 ⇔ x = (-π)/6 + kπ, k ∈ Z

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 3 trang 31: Giải các phương trình sau:

a) 3cos²x – 5cosx + 2 = 0;

b) 3tan²x - 2√ 3 tanx + 3 = 0.

a)3cos²x - 5 cos⁡ x + 2 = 0

Đặt cos⁡ x = t với điều kiện -1 ≤ t ≤ 1 (*),

ta được phương trình bậc hai theo t:

3t² - 5t + 2 = 0 (1)

Δ = (-5)² - 4.3.2 = 1

Phương trình (1)có hai nghiệm là:

Ta có:

cos⁡x = 1 ⇔ cos⁡x = cos⁡0

⇔ x = k2π, k ∈ Z

cos⁡x = 2/3 ⇔ x = ± arccos⁡ 2/3 + k2π, k ∈ Z

b) 3tan² x - 2√ 3 tan⁡x + 3 = 0

Đặt tan⁡x = t

ta được phương trình bậc hai theo t:

3t² - 2√ 3 t + 3 = 0 (1)

Δ = (-2√ 3)² - 4.3.3 = -24 < 0

Vậy Phương trình (1) vô nghiệm, nên không có x thỏa mãn đề bài

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 3 trang 32: Hãy nhắc lại:

a) Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản;

b) Công thức cộng;

c) Công thức nhân đôi;

d) Công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích.

a) Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản:

sin²α + cos²α = 1

1 + tan²α = 1/ (cos²α); α ≠ π /2 + kπ, k ∈ Z

1 + cot²α = 1/ (sin²α); α ≠ kπ, k ∈ Z

tan⁡α. cot⁡α = 1; α ≠ kπ /2, k ∈ Z

b) Công thức cộng:

cos⁡ (a - b) = cos⁡a cos⁡b + sin⁡a sin⁡b

cos⁡ (a + b) = cos⁡a cos⁡b - sin⁡a sin⁡b

sin⁡ (a - b) = sin⁡a cos⁡b - cos⁡a sin⁡b

sin (a + b) = sina. cosb + cosa. sinb

c) Công thức nhân đôi:

sin⁡2α = 2 sin⁡α cos⁡α

cos⁡2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α

d) Công thức biến đổi tích thành tổng:

cos⁡ a cos⁡b = 1/2 [cos⁡ (a - b) + cos⁡ (a + b)]

sin⁡a sin⁡b = 1/2 [cos⁡ (a - b) - cos⁡ (a + b)]

sin⁡a cos⁡b = 1/2 [sin⁡ (a - b) + sin⁡ (a + b)]

Công thức biến đổi tổng thành tích:

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 3 trang 34: Giải phương trình 3cos² 6x + 8sin3x cos3x – 4 = 0.

3cos² 6x + 8sin⁡3x cos⁡3x - 4 = 0

⇔ 3 (1-sin²6x)+ 4sin⁡6x - 4 = 0

⇔ -3sin²6x + 4sin⁡6x - 1 = 0

Đặt sin⁡6x = t với điều kiện -1 ≤ t ≤ 1 (*),

Ta được phương trình bậc hai theo t:

-3t² + 4t - 1 = 0 (1)

Δ = 4² - 4. (-1). (-3) = 4

Phương trình (1) có hai nghiệm là:

(thỏa mãn (*)

Ta có:

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 3 trang 35: Dựa vào các công thức cộng đã học:

sin (a + b) = sina cosb + sinb cosa;

sin (a – b) = sina cosb - sinb cosa;

cos (a + b) = cosa cosb – sina sinb;

cos (a – b) = cosa cosb + sina sinb;

và kết quả cos π /4 = sinπ /4 = √ 2/2, hãy chứng minh rằng:

a) sinx + cosx = √ 2 cos (x - π /4);

b) sin x – cosx = √ 2 sin (x - π /4).

a) √ 2 cos (x - π/4)

= √ 2. (cosx. cos π/4 + sinx. sin π/4)

= √ 2. (√ 2/2. cosx + √ 2/2. sinx)

= √ 2. √ 2/2. cosx + √ 2. √ 2/2. sinx

= cosx + sinx (đpcm)

b) √ 2. sin (x - π/4)

= √ 2. (sinx. cos π/4 - sin π/4. cosx)

= √ 2. (√ 2/2. sinx - √ 2/2. cosx)

= √ 2. √ 2/2. sinx - √ 2. √ 2/2. cosx

= sinx – cosx (đpcm).

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 3 trang 36: Giải phương trình: √3 sin3x – cos3x = √2.

Giải bài 1 trang 36 sgk Đại số 11: Giải phương trình: sin2x – sin x = 0

Bài giải:

Vậy phương trình có tập nghiệm

Kiến thức áp dụng:

+ Phương trình sin x = sin α có họ nghiệm (k ∈ Z).

Đặc biệt:

sin x = 0

⇔ x = k. π (k ∈ Z).

sin x = 1

⇔ (k ∈ Z).

Giải bài 2 trang 36 sgk Đại số 11: Giải các phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cos x + 1 = 0

b) 2sin 2x + √2. sin4x = 0.

Bài giải:

a. 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (1)

đặt t = cosx, điều kiện –1 ≤ t ≤ 1

(1) trở thành 2t2 – 3t + 1 = 0

(thỏa mãn điều kiện).

+ t = 1 ⇒ cos x = 1 ⇔ x = k. 2π (k ∈ Z)

Vậy phương trình có tập nghiệm

Vậy phương trình có tập nghiệm (k ∈ Z)

Kiến thức áp dụng:

+ sin2a = 2. sina. cosa.

Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11: Giải các phương trình sau:

Bài giải:

).

Vậy phương trình có họ nghiệm x = k4π (k ∈ Z)

b. 8cos2x + 2sinx – 7 = 0 (1)

⇔ 8 (1 – sin2x) + 2sinx – 7 = 0

⇔ 8sin2x - 2sinx – 1 = 0 (Phương trình bậc hai với ẩn sin x)

Vậy phương trình có tập nghiệm { + k2π; + k2π; arcsin + k2π; π - arcsin + k2π (k ∈ Z).

c. Điều kiện:

2tan2x + 3tanx + 1 = 0 (Phương trình bậc 2 với ẩn tan x).

Vậy phương trình có tập nghiệm { + kπ; arctan + kπ} (k ∈ Z)

d. Điều kiện

tanx – 2. cotx + 1 = 0

Vậy phương trình có tập nghiệm { + kπ; arctan (-2) + kπ} (k ∈ Z)

Kiến thức áp dụng:

+ sin²α = 1 - cos²α với mọi α ∈ R.

+ với mọi α thỏa mãn điều kiện xác định.

Giải bài 4 trang 37 sgk Đại số 11: Giải các phương trình sau:

a. 2sin2 x + sinx. cosx – 3cos2 x = 0

b. 3sin2 x – 4 sinx. cosx + 5 cos2 x =2

c. sin2 x + sin2x - 2 cos2 x = 1/2

d. 2cos2x - 3√3sin2x - 4sin2x = -4

Bài giải:

a) 2sin2x + sinx. cosx – 3cos2x = 0 (1)

+ Xét cos x = 0 ⇒ sin2x = 1 – cos2x = 1

Phương trình (1) trở thành: 2 = 0 (loại)

+ Xét cos x ≠ 0, chia cả hai vế của (1) cho cos2x ta được:

Vậy phương trình có tập nghiệm (k ∈ Z)

b) 3sin2x – 4sinx. cosx + 5cos2x = 2

⇔ 3sin2x – 4sinx. cosx + 5cos2x = 2 (sin2x + cos2x)

⇔ sin2x – 4sinx. cosx + 3 cos2x = 0 (1)

+ Xét cosx = 0 ⇒ sin2x = 1.

Phương trình (1) trở thành 1 = 0 (Vô lý).

+ Xét cos x ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho cos2x ta được:

Vậy phương trình có tập nghiệm (k ∈ Z)

+ Xét cos x = 0 ⇒ sin2x = 1 – cos2x = 1

(1) trở thành 1 = 0 (Vô lý).

+ Xét cos x ≠ 0, chia cả hai vế cho cos2x ta được:

Vậy phương trình có tập nghiệm (k ∈ Z)

Vậy phương trình có tập nghiệm (k ∈ Z)

Kiến thức áp dụng:

Phương trình a. sin²x + b. sinx. cosx + c. cos²x = 0 được gọi là phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sin và cos.

Phương pháp giải:

+ Xét cos x = 0.

+ Xét cos x ≠ 0, chia cả hai vế của phương trình cho cos²x ta thu được phương trình bậc 2 với ẩn tan x rồi giải phương trình.

Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11: Giải các phương trình sau:

Bài giải:

Vậy phương trình có tập nghiệm (k ∈ Z)

Ta có: nên tồn tại α thỏa mãn

(1) trở thành: cos α. sin3x – sin α. cos 3x = 1

Vậy phương trình có họ nghiệm (k ∈ Z) với α thỏa mãn

Vậy phương trình có tập nghiệm (k ∈ Z)

Vì

(*) ⇔ cos α. cos 2x + sin α. sin 2x = 1

Vậy phương trình có họ nghiệm (k ∈ Z) với α thỏa mãn Kiến thức áp dụng:

+ Phương trình bậc nhất đối với sin và cos có dạng:

a. sin x + b. cos x = c (a ≠ 0; b ≠ 0)

+ Cách giải: Chia cả hai vế cho ta được:

Vì nên tồn tại α thỏa mãn

Khi đó phương trình trở thành:

(Phương trình quen thuộc).

+) sin (a ± b) = sina. sinb ± cos a. cos b

+) cos (a ± b) = cos a. cos b ∓ sin a. sin b.

Giải bài 6 trang 37 sgk Đại số 11: Giải các phương trình sau:

a. tan (2x + 1).tan (3x – 1) = 1

b. tanx + tan (x+π/4) = 1

Bài giải:

a. Điều kiện

Vậy phương trình có họ nghiệm (k ∈ Z).

b. Điều kiện:

⇔ tan x. (1 - tanx) + tanx + 1 = 1 – tan x.

⇔ tan x - tan2x + 2. tan x = 0

⇔ tan2x - 3tanx = 0

⇔ tanx (tanx - 3) = 0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: {arctan 3+kπ; k ∈ Z}

Kiến thức áp dụng:

+) với mọi α làm cho biểu thức có nghĩa.

+)

Bài trước: Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản - Giải BT Toán 11 Bài tiếp: Ôn tập chương 1 - Giải BT Toán 11