Bài 3: Hàm số liên tục - Giải BT Toán 11
Bài 3: Hàm số liên tục
Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 3 trang 135:
Cho hai hàm số f (x) = x2 và có: 
a) Tính giá trị của mỗi hàm số tại x = 1 và so sánh với giới hạn (nếu có) của hàm số đó khi x → 1;
b) Nêu nhận xét về đồ thị của mỗi hàm số tại điểm có hoành độ x = 1.
Bài giải:
g (1) = -12 + 1 = -1 + 1 = 0
b) Đồ thị hàm số f (x) liên tục tại x = 1
Đồ thị hàm số g (x) gián đoạn tại x = 1
Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 3 trang 138: Trong biểu thức xác định h (x) cho ở Ví dụ 2, cần thay số 5 bởi số nào để được một hàm số mới liên tục trên tập số thực R?
Bài giải:
Cần thay số 5 bởi số 2 để được một hàm số mới liên tục trên tập số thực R
Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 3 trang 138: Giả sử hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b] với f (a) và f (b) trái dấu nhau.
Hỏi đồ thị của hàm số có cắt trục hoành tại điểm thuộc khoảng (a; b) không?
⦁ Bạn Hưng trả lời rằng: “Đồ thị của hàm số y = f (x) phải cắt trục hoành Ox tại một điểm duy nhất nằm trong khoảng (a; b)”.
⦁ Bạn Lan khẳng định: “Đồ thị của hàm số y = f (x) phải cắt trục hoành Ox ít nhất tại một điểm nằm khoảng (a; b)”.
⦁ Bạn Tuấn thì cho rằng: “Đồ thị của hàm số y = f (x) có thể không cắt trục hoành trong khoảng (a; b), chẳng hạn như đường parabol ở hình (h. 58).
Câu trả lời của bạn nào đúng, vì sao?
Bài giải:
- Bạn Lan nói đúng vì: f (a) và f (b) trái dấu nên tồn tại ít nhất 1 giá trị x sao cho f (x) = 0, do đó đồ thị hàm số y = f (x) cắt trục hoành tại ít nhất 1 điểm
- Bạn Hưng nói sai vì: Có thể có 2 giá trị x sao cho f (x) = 0
- Đường parabol trên hình 58 là đồ thị hàm số y2 = x ⇒ đồ thị hàm số
y = f (x) sẽ là 1 nửa nằm trên hoặc 1 nửa nằm dưới trục hoành
Khi đó f (a) và f (b) cùng dấu, mâu thuẫn với điều kiện f (a) và f (b) trái dấu
Ví dụ của Tuấn là sai
Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 3 trang 139: Hãy tìm hai số a và b thỏa mãn 1 < a < b < 2, sao cho phương trình trong Ví dụ 3 ở trên có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a; b).
Bài giải:Ta có:
y = f (x) là hàm số đa thức liên tục trên R.
Do đó f (x)liên tục trên 
Từ đó suy ra, phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm xo ∈ (0; 2)
Giải bài 1 trang 140 sgk Đại Số 11: Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f (x)=x3+2x-1 tại x0=3.
+ Hàm số f (x) liên tục tại x0 nếu 
Giải bài 2 trang 141 sgk Đại Số 11:
a) Xét tính liên tục của hàm số y = g (x) tại x0 = 2, biết:
b. Trong biểu thức g (x) ở trên, cần thay số 5 bởi số nào đó để hàm số liên tục tại x0=2.
⇒ g (x) không liên tục tại x = 2.
b) Để g (x) liên tục tại x = 2
Vậy để hàm số liên tục tại x = 2 thì cần thay 5 bằng 12.
+ Hàm số f (x) liên tục tại x0 nếu 
Giải bài 3 trang 141 sgk Đại Số 11: Cho hàm số:
b. Khẳng định nhận xét trên bằng 1 chứng minh.
Quan sát đồ thị nhận thấy:
+ f (x) liên tục trên các khoảng (-∞; -1) và (-1; ∞).
+ f (x) không liên tục tại x = -1.
⇒ không tồn tại giới hạn của f (x) tại x = -1.
⇒ Hàm số không liên tục tại x = -1.
+ Hàm số f (x) liên tục tại x0 nếu 
Giải bài 4 trang 141 sgk Đại Số 11: Cho các hàm số: 
+ Hàm phân thức hữu tỉ và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.
Giải bài 5 trang 141 sgk Đại Số 11: Ý kiến sau đúng hay sai?
"Nếu hàm số y = f (x) liên tục tại điểm x0 và hàm số y = g (x) không liên tục tại x0, thì y = f (x) + g (x) là một hàm số không liên tục tại x0".
Ý kiến trên là đúng.
Giải thích: Vì giả sử ngược lại hàm số y = h (x) = f (x) + g (x) là hàm số liên tục tại x0. Khi đó, hàm số g (x) = h (x) – f (x) là hiệu của hai hàm số liên tục tại x0 nên hàm số g (x) là hàm số liên tục x0 (định lí về hàm số liên tục)
=> Mâu thuẫn với giả thiết là hàm số g (x) không liên tục tại x0.
Hai hàm số f (x) và h (x) liên tục tại x0 thì các hàm số f (x) ± h (x); f (x).h (x) cũng liên tục tại x0.
Giải bài 6 trang 141 sgk Đại Số 11: Chứng minh rằng phương trình:
a. 2x3 – 6x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm.
b. cos x = x có nghiệm
a. Đặt f (x) = 2x3 – 6x + 1
TXĐ: D = R
f (x) là hàm đa thức nên liên tục trên R.
Ta có: f (-2) = 2. (-2)3 – 6 (-2) + 1 = - 3 < 0
f (0) = 1 > 0
f (1) = 2.13 – 6.1 + 1 = -3 < 0.
⇒ f (-2).f (0) < 0 và f (0).f (1) < 0
⇒ f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-2; 0) và ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1)
⇒ phương trình f (x) = 0 có ít nhất hai nghiệm.
b. Xét hàm số g (x) = x – cos x liên tục trên R.
do đó liên tục trên đoạn [-π; π] ta có:
g (-π) = -π – cos (-π) = -π + 1 < 0
g (π) = π – cos π = π – (-1) = π + 1 > 0
⇒ g (-π). g (π) < 0
⇒ phương trình x – cos x = 0 có nghiệm trong (-π; π) tức là cos x = x có nghiệm.
Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và f (a).f (b) < 0 thì tồn tại ít nhất 1 điểm c ∈ (a; b) sao cho f (c) = 0.