Bài 2: Dãy số - Giải BT Toán 11

với mọi n ∈ N^*.

Bài giải:

Bài 1 (trang 92 SGK Đại số 11): Viết năm số hạng đầu của dãy số có số hạng tổng quát u_n cho bởi công thức:

Bài giải:

Bài 2 (trang 92 SGK Đại số 11): Cho dãy số (u_n), biết u₁ = - 1, u_{n+ 1} = u_n + 3 với n ≥ 1.

a. Viết năm số hạng đầu của dãy số;

b. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: u_n = 3n – 4

Bài giải:

a. u₁ = - 1, u_{n + 1} = u_n + 3 với n > 1

u₁ = - 1;

u₂ = u₁ + 3 = -1 + 3 = 2

u₃ = u₂ + 3 = 2 + 3 = 5

u₄ = u₃ + 3 = 5 + 3 = 8

u₅ = u₄ + 3 = 8 + 3 = 11

b. Chứng minh phương pháp quy nạp: u_n = 3n – 4 (1)

+ Khi n = 1 thì u₁ = 3.1 - 4 = -1, vậy (1) đúng với n = 1.

+ Giả sử công thức (1) đúng với n = k > 1 tức là u_k = 3k – 4.

+ Ta chứng minh (1) đúng với n= k+ 1 tức là chứng minh: u_k+1 = 3 (k+1) - 4

Thật vậy, ta có: u_{k + 1} = u_k + 3 = 3k – 4 + 3 = 3 (k + 1) – 4.

⇒ (1) đúng với n = k + 1

Vậy (1) đúng với ∀ n ∈ N*.

Bài 3 (trang 92 SGK Đại số 11): Dãy số (u_n) cho bởi u₁ = 3, u_n+1 = √ (1+u_n²), n > 1

a. Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b. Dự đoán công thức số hạng tổng quát u_n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp.

Bài giải:

a. Năm số hạng đầu của dãy số

b. Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số:

u_n =√ (n+8) (1)

Rõ ràng (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n = k, nghĩa là u_k = √ (k+8)

⇒ (1) đúng với n = k + 1

⇒ (1) đúng với mọi n ∈ N*.

Giải bài 4 trang 92 sgk Đại số 11: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un), biết:

Bài giải:

a. Với mọi n ∈ N ta có:

⇒ (un) là dãy số giảm.

Với mọi n ∈ N có:

⇒ (un) là dãy số tăng.

c. un = (-1)n. (2n + 1)

Nhận xét: u1 < 0, u2 > 0, u3 < 0, u4 > 0, …

⇒ u1 < u2, u2 > u3, u3 < u4, …

⇒ dãy số (un) không tăng, không giảm.

Xét:

⇒ un + 1 – un < 0 ⇒ un + 1 < un

Vậy (un) là dãy số giảm

Kiến thức áp dụng:

Giải bài 5 trang 92 sgk Đại số 11: Trong các dãy số (un) sau, dãy nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn?

Bài giải:

a. un = 2n2 – 1

+ Với n ∈ N* ta có: n ≥ 1 và n2 ≥ 1

⇒ un = 2n2 – 1 ≥ 2.12 – 1 = 1.

⇒ un ≥ 1

⇒ dãy (un) bị chặn dưới ∀n ∈ N*.

+ (un) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:

un = 2n2 – 1 ≤ M ∀n ∈N*.

Vậy dãy số (un) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.

b. Ta có: ∀ n ≥ 1.

⇒ (un) bị chặn dưới

⇒ (un) bị chặn trên.

Vậy (un) là dãy bị chặn.

+ Ta có: 2n2 – 1 > 0 ∀ n ∈ N*

⇒ ∀ n ∈ N*.

⇒ (un) bị chặn dưới.

+ 2n2 – 1 ≥ 2.1 – 1 = 1

⇒ ∀ n ∈ N*

⇒ (un) bị chặn trên.

Vậy (un) bị chặn.

d. un = sin n + cos n.

Vậy dãy số (un) bị chặn.

Kiến thức áp dụng: