Trang chủ > Lớp 11 > Giải BT Toán 11 > Ôn tập chương 3 - Giải BT Toán 11

Ôn tập chương 3 - Giải BT Toán 11

Bài tập (trang 107-108) Bài tập trắc nghiệm (trang 108-109)

Giải bài 1 trang 107 sgk Đại số 11: Khi nào thì cấp số cộng là dãy số tăng, dãy số giảm?

Bài giải:

Cấp số cộng (un) có công sai d.

+ (un) là dãy tăng

⇔ un + 1 > un ∀ n ∈ N

⇔ un + 1 – un > 0 ∀ n ∈ N

⇔ d > 0

+ (un) là dãy giảm

⇔ un + 1 < un ∀ n ∈ N

⇔ un + 1 – un < 0 ∀ n ∈ N

⇔ d < 0

Kiến thức áp dụng:

+ Dãy (u_n) được gọi là dãy tăng ⇔ u_{n + 1} > u_n với mọi n ∈ N*.

+ Dãy (u_n) được gọi là dãy giảm ⇔ u_{n + 1} < u_n với mọi n ∈ N*.

Giải bài 2 trang 107 sgk Đại số 11: Cho cấp số nhân có u1 < 0 và công bội q. Hỏi các số hạng khác sẽ mang dấu gì trong các trường hợp sau:

a. q > 0

b. q < 0

Bài giải:

CSN (un): un = u1. qn – 1, u1 < 0

a. q > 0 ⇒ qn – 1 > 0 ⇒ u1. qn – 1 < 0 (vì u1 < 0)

⇒ un < 0 với mọi n ∈ N*.

Vậy với q > 0 và u1 < 0 thì các số hạng đều mang dấu âm.

b. q < 0.

+ Nếu n chẵn ⇒ n – 1 lẻ ⇒ qn – 1 < 0

⇒ u1. qn – 1 > 0 (vì u1 < 0).

⇒ un > 0.

+ Nếu n lẻ ⇒ n – 1 chẵn ⇒ qn – 1 > 0

⇒ u1. qn – 1 < 0 (Vì u1 < 0).

⇒ un < 0.

Vậy nếu q < 0, u1 < 0 thì các số hạng thứ chẵn dương và các số hạng thứ lẻ âm.

Kiến thức áp dụng:

CSN (u_n) có công bội q; số hạng đầu u₁ thì số hạng thứ n là: u_n = u₁.q^{n – 1}.

Giải bài 3 trang 107 sgk Đại số 11: Cho hai cấp số cộng có cùng số các số hạng. Tổng các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số cộng không? Vì sao? Cho một ví dụ minh họa.

Bài giải:

Giả sử có hai cấp số cộng (un) với công sai d1 và (vn) với công sai d2.

Xét dãy (an) với an = un + vn

Ta có: an + 1 – an = (un + 1 + vn + 1) – (un + vn)

= (un + d1 + vn + d2) – (un + vn)

= d1 + d2 = const

⇒ (an) là cấp số cộng với công sai d1 + d2.

Ví dụ:

CSC (un): 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19; …. có công sai d1 = 3;

CSC (vn): 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16 … có công sai d2 = 2.

⇒ (an): 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; … có công sai d = 5.

Kiến thức áp dụng:

Để chứng minh dãy (a_n) là CSC ta cần chứng minh a_{n + 1} – a_n = d là một hằng số với mọi n ∈ N*.

Giải bài 4 trang 107 sgk Đại số 11: Cho hai cấp số nhân có cùng số các số hạng. Tích các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số nhân không? Vì sao? Cho một ví dụ minh họa.

Bài giải:

Giả sử có hai cấp số nhân (un) với công bội q1 và (vn) với công bội q2.

Xét dãy số (an) với an = un. vn với mọi n ∈ N*.

Ta có:

⇒ (an) là cấp số nhân với công bội q1. q2.

Ví dụ:

+ CSN (un): 2; 4; 8; 16; 32; 64; … có công bội q1 = 2.

+ CSN (vn): -1; 1; -1; 1; -1; 1; … có công bội q2 = -1.

⇒ CSN (an): -2; 4; -8; 16; -32; 64; … có công bội q = -2.

Kiến thức áp dụng:

Để chứng minh (a_n) là một CSN ta cần chứng minh: là một hằng số với mọi n ∈ N*.

Giải bài 5 trang 107 sgk Đại số 11: Chứng minh với mọi n ∈ N*, ta có:

a. 13n – 1 chia hết cho 6

b. 3n3 + 15 chia hết cho 9

Bài giải:

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

a. Đặt un = 13n – 1

+ Với n = 1 thì u1 = 13 – 1 = 12 chia hết 6

+ Giả sử: uk = 13k – 1 chia hết cho 6.

⇒ uk + 1 = 13k + 1 – 1

= 13k+1 + 13k – 13k – 1

= 13k (13 – 1) + 13k – 1

= 12.13k + uk.

Mà 12.13k ⋮ 6; uk ⋮ 6.

⇒ uk + 1 ⋮ 6.

⇒ un ⋮ 6 với mọi n ∈ N.

hay 13n – 1 ⋮ 6 với mọi n ∈ N.

b. Đặt un = 3n3 + 15n

+ Với n = 1 ⇒ u1 = 18 ⋮ 9.

+ Giả sử với n = k ≥ 1 ta có: uk = (3k3 + 15k) ⋮ 9

⇒ uk+1 = 3 (k + 1)3 + 15 (k + 1)

= 3 (k3 + 3k2 + 3k + 1) + 15k + 15

= (3k3 + 15k) + 9k2 + 9k + 18

= (3k3 + 15k) + 9 (k2 + k + 2)

= uk + 9 (k2 + k + 2)

Mà uk ⋮ 9 và 9 (k2 + k + 2) ⋮ 9

⇒ uk + 1 ⋮ 9.

Vậy un = 3n3 + 15n ⋮ 9 ∀n ∈ N*

Kiến thức áp dụng:

+ Chứng minh mệnh đề (P) đúng với mọi số tự nhiên n bằng phương pháp quy nạp ta làm như sau:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 1

Cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1.

⇒ Mệnh đề đúng với mọi n ∈ N.

Giải bài 6 trang 107 sgk Đại số 11: Cho dãy số (un) biết u1 = 2, un+ 1 = 2un – 1 (với n ≥ 1)

a. Viết năm số hạng đầu của dãy.

b. Chứng minh un = 2n-1 + 1 bằng phương pháp quy nạp.

Bài giải:

a. 5 số hạng đầu dãy là:

u1 = 2;

u2 = 2u1 – 1 = 3;

u3 = 2u2 – 1 = 5;

u4 = 2u3 – 1 = 9;

u5 = 2u4 – 1 = 17

b. Chứng minh un = 2n – 1 + 1 (1)

+ Với n = 1 ⇒ u1 = 21 - 1 + 1 = 2 (đúng).

+ Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là uk = 2k-1 + 1 (1)

Ta chứng minh: uk+1 = 2k + 1. Thật vậy, ta có:

⇒ uk+1 = 2. uk – 1 = 2 (2k-1 + 1) – 1 = 2.2k – 1 + 2 – 1 = 2k + 1

⇒ (1) cũng đúng với n = k + 1.

Vậy un = 2n – 1 + 1 với mọi n ∈ N.

Kiến thức áp dụng:

Có ba cách cho một dãy số:

+ Dãy số cho bằng công thức số hạng tổng quát.

Ví dụ: Cho dãy (u_n) với

+ Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi.

Ví dụ: Cho dãy (u_n):

+ Dãy số cho bằng phương pháp mô tả (ít gặp).

Trong một số bài toán ta có thể chuyển từ dãy số dạng truy hồi về dãy số dạng tổng quát.

Giải bài 7 trang 107 sgk Đại số 11: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số (un), biết:

Bài giải:

⇒ un + 1 > un với mọi n ∈ N

⇒ (un) là dãy tăng.

+ Xét tính bị chặn:

(un) là dãy tăng

⇒ u1 = 2 < u2 < u3 < …< un ∀n ∈ N*

⇒ un ≥ 2 ∀n ∈ N*

⇒ (un) bị chặn dưới.

(un) không bị chặn trên.

⇒ un không bị chặn.

Suy ra: Với n chẵn ⇒ n – 1 lẻ ⇒ (-1)n – 1 = -1 ⇒ un < 0

Với n lẻ ⇒ n – 1 chẵn ⇒ (-1)n – 1 = 1 ⇒ un > 0.

⇒ u1 > u2 < u3 > u4 < u5 > u6 …

⇒ (un) không tăng không giảm.

+ Xét tính bị chặn:

Với ∀ n ∈ N:

⇒ -1 ≤ un ≤ 1.

Vậy (un) bị chặn.

+ Xét tính tăng giảm.

Với mọi n ∈ N ta có:

⇒ un + 1 < un với mọi n ∈ N.

⇒ (un) là dãy số giảm.

+ Xét tính bị chặn.

un > 0 với mọi n.

⇒ (un) bị chặn dưới.

un ≤ u1 = √2 - 1 với mọi n

⇒ (un) bị chặn trên.

⇒ (un) bị chặn.

Kiến thức áp dụng:

+ Dãy số (u_n) là dãy số tăng ⇔ ∀ n ∈ N ⇔ ∀ n ∈ N.

+ Dãy số (u_n) bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho u_n > m với ∀ n ∈ N

bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho u_n < M với ∀ n ∈ N.

+ Dãy số (u_n) bị chặn ⇔ (u_n) bị chặn trên và chặn dưới.

Giải bài 8 trang 107 sgk Đại số 11: Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của các cấp số cộng (un), biết:

Bài giải:

Kiến thức áp dụng:

CSC (u_n) có số hạng đầu u₁ và công sai d thì có:

Số hạng tổng quát: u_n = u₁+ (n - 1)d

Tổng của n số hạng đầu tiên:

Giải bài 9 trang 107 sgk Đại số 11: Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của các cấp số nhân (un), biết:

Bài giải:

Dùng công thức: un = u1. qn-1 với n ≥ 2

Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được q = 2 thế vào (1):

(1) ⇔ u1.25 = 192 ⇔ u1 = 6

Vậy u1 = 6 và q = 2

b) Ta có

Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được q = 2 thế vào (1):

(1) ⇔ 2u1 (4 – 1) = 72 ⇔ u1 = 12

Vậy u1 = 12 và q = 2

c) Ta có:

Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được q = 2 thế vào (1):

(1) ⇔ 2u1 (1 + 8 - 4) = 10 ⇔ u1 = 1

Vậy u1 = 1 và q = 2

Kiến thức áp dụng:

CSN (u_n) có số hạng đầu tiên u₁ và công bội q thì có số hạng tổng quát: u_n = u₁.q^{n - 1}

Giải bài 10 trang 108 sgk Đại số 11

Kiến thức áp dụng

+ Cấp số cộng (u_n) có u_n = u₁ + (n – 1).d với u₁ là số hạng đầu tiên và d là công sai.

+ Tổng 4 góc trong một tứ giác bằng 360º.

Bài 11 (trang 108 SGK Đại số 11): Biết rằng ba số x, y, z lập thành một cấp số nhân và ba số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội của cấp số nhân.

Bài giải:

Gọi công bội của CSN x; y; z là q.

⇒ y = x. q; z = x. q².

Lại có: x; 2y; 3z lập thành CSC

⇔ 2y – x = 3z – 2y

⇔ 2. xq – x = 3. xq² – 2. xq

⇔ x (2q – 1) = x. (3q² – 2q)

⇔ x. (3q² – 4q + 1) = 0

+ Nếu x = 0 ⇒ y = z = 0

⇒ q không xác định.

+ Nếu x ≠ 0 ⇒ 3q² – 4q + 1 = 0 ⇔ q = 1 hoặc

Vậy CSN có công bội q = 1 hoặc

Bài 12 (trang 108 SGK Đại số 11): Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của tầng một bằng nữa diện tích đế tháp. Biết diện tích mặt đế tháp là 12.288m². Tính diện tích mặt trên cùng.

Bài giải:

Gọi diện tích đáy tháp là S₀; diện tích mặt trên của tầng 1; tầng 2; tầng 3; … lần lượt là S₁; S₂; S₃; …; S₁₁.

+ Theo giả thiết diện tích của bề mặt trên mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới

Vậy diện tích mặt trên của tầng 11 là 6m².

Giải bài 13 trang 108 sgk Đại số 11: Chứng minh rằng nếu các số a2, b2, c2 lập thành một cấp số cộng (a, b, c ≠ 0) thì các số 1/ (b+c), 1/ (c+a), 1/ (a+b) cũng lập thành một cấp số cộng.

Bài giải:

Kiến thức áp dụng:

(u_n) là CSC

⇔ u_n – u_{n – 1} = u_{n – 1} – u_{n – 2} = u_{n – 2} – u_{n – 3} = … = u₂ – u₁= d.

Bài 14 (trang 108 SGK Đại số 11): Cho dãy số (u_n), biết u_n = 3ⁿ. Hãy chọn phương án đúng:

a. Số hạng u_n+1 bằng:

A. 3ⁿ + 1

B. 3ⁿ + 3.

C. 3ⁿ.3

D. 3 (n+1)

b. Số hạng u_2n bằng:

A. 2.3ⁿ

B. 9ⁿ

C. 3ⁿ + 3

D. 6n

c. Số hạng u_n-1 bằng:

A. 3ⁿ – 1

B. 3ⁿ/3

C. 3ⁿ – 3

D. 3n – 1

d. Số hạng u_2n-1 bằng:

A. 3².3ⁿ – 1

B. 3ⁿ.3^n-1

C. 3²ⁿ – 1

D. 3^{2 (n-1)}

Bài giải:

a. u_n+1 = 3ⁿ⁺¹ = 3ⁿ.3.

Đáp án đúng là: C

b. u_2n = 3²ⁿ = (3²)ⁿ = 9ⁿ.

Đáp án đúng là: B.

c. u_n-1 = 3^n-1 = 3ⁿ.3^-1 = 3ⁿ/3.

Đáp án đúng là: B.

d. u_2n-1 = 3^2n-1 = 3ⁿ.3^{n – 1}

Đáp án đúng là: B.

Bài 15 (trang 108 SGK Đại số 11): Hãy cho biết dãy số (u_n) nào dưới đây là dãy số tăng, nếu biết công thức số hạng tổng quát u_n của nó là:

Bài giải:

Đáp án đúng là: B.

Giải thích:

+ (u_n): có:

u₁; u₃; u₅; … dương

u₂; u₄; u₆; … âm

⇒ dãy số không tăng không giảm.

+ (u_n): (-1)²ⁿ. (5ⁿ + 1) = 5ⁿ + 1.

u_{n + 1} = 5^{n + 1} + 1 > 5ⁿ + 1 = u_n với mọi n ∈ N.

⇒ (u_n) là dãy số tăng.

⇒ (u_n) là dãy số giảm

⇒ (u_n) là dãy giảm.

Bài 16 (trang 109 SGK Đại số 11): Cho cấp số cộng – 2, x, 6, y. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:

A. x = - 6, y = - 2

B. x = 1, y = 7

C. x = 2, y = 8

D. x = 2, y = 10

Bài giải:

Bài 17 (trang 109 SGK Đại số 11): Cho cấp số nhân – 4, x, - 9. Hãy họn kết quả đúng trong kết quả sau:

A. x = 36

B. x = -6,5

C. x = 6

D. x = -36

Bài giải:

Đáp án đúng là: C.

Giải thích:

-4; x; -9 lập thành CSN ⇔ x² = (-4)(-9) ⇔ x² = 36 ⇔ x = 6 hoặc x = -6.

Bài 18 (trang 109 SGK Đại số 11): Cho cấp số cộng (u_n). Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:

Bài giải:

Đáp án đúng là: B.

Giải thích:

Bài 19 (trang 109 SGK Đại số 11): Trong các dãy số cho bởi các công thức truy hồi sau, hãy chọn các dãy số là cấp số nhân:

Bài giải:

Đáp án đúng là: B.

Giải thích:

⇒ (u_n) không phải CSN.

⇒ (u_n) là CSN với công bội q = 3; u₁ = -1.

Đây là CSC với u₁ = -3; công sai d = 1.

+ 7; 77; 777; …; 777…77

Bài trước: Bài 4: Cấp số nhân - Giải BT Toán 11 Bài tiếp: Bài 1: Giới hạn của dãy số - Giải BT Toán 11