Bài 3 : Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng - Giải BT Toán 11
Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Trả lời câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 3 trang 100: Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với một mặt phẳng (α), người ta phải làm như thế nào?
Bài giải:
Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với một mặt phẳng (α), người ta phải chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (α)
Trả lời câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 3 trang 100: Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Một đường thẳng d vuông góc với a và b. Khi đó đường thẳng d có vuông góc với mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng song song a và b không?
Bài giải:
Không vì trái với định lí (a // b thì a và b không cắt nhau)
Bài 1 (trang 104 SGK Hình học 11): Cho mặt phẳng (α) và hai đường thẳng a, b. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) Nếu a // (α), b ⊥ (α) thì a ⊥ b.
b) Nếu a // (α), b ⊥ a thì b ⊥ (α).
c) Nếu a // (α), b // (α) thì b // a.
d) Nếu a ⊥ (α), b ⊥ a thì b ⊥ (α).
Bài giải:a) Đúng
b) Sai
c) Sai
d) Sai
Giải thích:
a) Dựa vào tính chất 3a).
b) Ví dụ: a // (α); b ⊥ a nhưng b // (α).
c) Ví dụ: a // (α); b // (α) nhưng a ∩ b.
d) a ⊥ (α) và b ⊥ a thì b có thể nằm trong mp (α).
Giải bài 2 trang 104 sgk Hình học 11: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung đáy BC. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.
a) Chứng minh rằng BC vuông góc với mặt phẳng (ADI)
b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI, chứng minh rằng AH vuông góc với mặt phẳng (BCD).
Bài giải:
a) Tam giác ABC cân tại A có AI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao:
AI ⊥ BC
+) Tương tự, tam giác BCD cân tại D có DI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao:
DI ⊥ BC
+) Ta có:
+ Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong (P).
Giải bài 3 trang 104 sgk Hình học 11: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O và có SA = SB = SC = SD. Chứng minh rằng:
a) Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
b) Đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng (SBD) và đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC).
Bài giải:
+ Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong (P).
Giải bài 4 trang 105 sgk Hình học 11: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB và OC đôi một vuông góc. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O tới mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:
Bài giải:
a) Ta có:
Do H là chân đường vuông góc hạ từ O tới mặt phẳng (ABC) nên:
OH ⊥ (ABC) ⇒ OH ⊥ BC (2)
Mà OA; OH ⊂ (OAH); OA ∩ OH = O (3)
Từ (1); (2) và (3) ⇒ BC ⊥ (OAH)
⇒ BC ⊥ AH
Chứng minh tương tự ta có: AC ⊥ BH
⇒ H là trực tâm ΔABC.
b) Gọi M = AH ∩ BC.
+) BC ⊥ (OAH) ⇒ BC ⊥ OM.
ΔOBC vuông tại O có đường cao OM
+) OA ⊥ (OBC) ⇒ OA ⊥ OM ⇒ ΔOAM vuông tại O.
OH ⊥ (ABC) ⇒ OH ⊥ AM.
+ Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong (P).
+ Hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của tam giác thì sẽ vuông góc với cạnh còn lại của tam giác đó.
Giải bài 5 trang 105 sgk Hình học 11:
Trên mặt phẳng (α) cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng (α) sao cho SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng:
a) SO ⊥ (α)
b) Nếu trong mặt phẳng (SAB) kẻ SH vuông góc với AB tại H thì AB vuông góc với mặt phẳng (SOH).
Bài giải:
a)
+ Do ABCD là hình bình hành có tâm O- giao điểm hai đường chéo
=> O là trung điểm AC và BD (tính chất hình bình hành)
* Xét tam giác SAC có SA= SC nên tam giác SAC cân tại S
Lại có SO là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao: SO ⊥ AC
+ Tương tự, tam giác SBD cân tại S có SO là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao:
b) SO ⊥ (α) ⇒ SO ⊥ AB.
Lại có: SH ⊥ AB;
SO, SH ⊂ (SOH) và SO ∩ SH
⇒ AB ⊥ (SOH).
Kiến thức áp dụng:+ Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong (P).
Giải bài 6 trang 105 sgk Hình học 11:
Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thoi ABCD và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi I và K là hai điểm lần lượt lấy trên hai cạnh SB và SD sao cho SI/SB = SK/SD. Chứng minh:
a) BD ⊥ SC
b) IK ⊥mp (SAC)
Bài giải:
+ Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong (P).
+ Đường thẳng a ⊂ (α); b không nằm trong (α) và không vuông góc với (α).
b’ là hình chiếu của b trên (α).
+ Một mặt phẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.
Giải bài 7 trang 105 sgk Hình học 11: Cho tứ diện SABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại B. Trong mp (SAB), kẻ AM vuông góc với SB tại M. Trên cạnh SC lấy điểm N sao cho SM/SB = SN/SC.
Chứng minh rằng:
a) BC ⊥ (SAB), AM ⊥ (SBC)
b) SB ⊥ AN
Bài giải:
+ Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong (P).
Bài 8 (trang 105 SGK Hình học 11): Cho điểm S không thuộc mặt phẳng (α) có hình chiếu trên (α) là điểm H. Với điểm M bất kì trên (α) và không trùng với H, ta gọi SM là đường xiên và đoạn HM là hình chiếu của đường xiên đó.
Chứng minh rằng:
a) Hai đường xiên bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu của chúng bằng nhau;
b) Với hai đường xiên cho trước, đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn và ngược lại, đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.
Bài giải:Giả sử ta có hai đường xiên SM, SN và các hình chiếu HM, HN của chúng trên mp (α).
Vì SH ⊥ mp (α)
⇒ SH ⊥ HM và SH ⊥ HN
⇒ Δ SHN và Δ SHM vuông tại H.
Áp dụng định lí Py-ta- go vào hai tam giác vuông này ta có:
⇒ SM2 = SH2 + HM2;
và SN2 = SH2 + HN2.
a) SM = SN ⇔ SM2 = SN2 ⇔ HM2 = HN2 ⇔ HM = HN.
b) SM > SN ⇔ SM2 > SN2 ⇔ HM2 > HN2 ⇔ HM > HN.