Bài 3: Cấp số cộng - Giải BT Toán 11
Bài 3: Cấp số cộng
Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 3 trang 93: Biết bốn số hạng đầu của một dãy số là -1,3,7,11.
Từ đó hãy chỉ ra một quy luật rồi viết tiếp năm số hạng của dãy theo quy luật đó.
Bài giải:
Quy luật: kể từ số thứ 2, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với 4. Năm số hạng tiếp của dãy theo quy luật đó: 15; 19; 23; 27; 31
Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 3 trang 93: Cho (un) là một cấp số cộng có sáu số hạng với u1 = (-1)/3, d = 3. Viết dạng khai triển của nó.
Bài giải:
Dạng khai triển của cấp số cộng đó là:
Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 3 trang 94: Mai và Hùng chơi trò xếp các que diêm thành hình tháp trên mặt sân. Cách xếp được thể hiện trên Hình 42.
Hỏi: Nếu tháp có 100 tầng thì cần bao nhiêu que diêm để xếp tầng đế của tháp?
Bài giải:Xây 1 tầng cần 2 que diêm để xếp tầng đế
Xây 2 tầng cần 4 que diêm để xếp tầng đế (4 = 2 + 1.2)
Xây 3 tầng cần 6 que diêm để xếp tầng đế (6 = 2 + 2.2)
Xây 100 tầng cần 200 que diêm để xếp tầng đế (200 = 2 + 99.2)
Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 3 trang 96: Cấp số cộng gồm tám số hạng -1,3,7,11,15,19,23,27 được viết vào bảng sau:
| -1 | 3 | 7 | 11 | 15 | 19 | 23 | 27 |
a) Hãy chép lại bảng trên và viết các số hàn của cấp số đó vào dòng thứ hai theo thứ tự ngược lại. Nêu nhận xét về tổng của các số hạng ở mỗi cột.
b) Tính tổng các số hạng của cấp số cộng.
Bài giải:a)
| -1 | 3 | 7 | 11 | 15 | 19 | 23 | 27 |
| 27 | 23 | 19 | 15 | 11 | 7 | 3 | - 1 |
Nhận xét: Tổng của các số hạng ở mỗi cột bằng nhau và bằng 26
b) Tổng các số hạng của cấp số cộng là: 26.8/2 = 104
Giải bài 1 trang 97 sgk Đại số 11: Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của nó.
Bài giải:
a. Vì un = 5 – 2n nên u1 = 5 – 2 = 3
Xét hiệu sau:
un+1 – un = [5 – 2 (n + 1)] – (5 - 2n) = 5 – 2n – 2 – 5 + 2n = -2
⇒ un+1 = un – 2
Vậy (un) là cấp số cộng với công sai d = - 2
c. un = 3n ⇒ u1 = 3
giả sử n ≥ 1, xét hiệu sau:
un+1 – un = 3n+1 – 3n = 3n. 3 – 3n = (3 - 1).3n = 2.3n
và un – un-1 = 3n – 3n-1 = 3.3n-1 - 3n-1 = (3- 1).3n-1 = 2.3n-1
⇒ un+1 – un ≠ un – un– 1 (vì 3n ≠ 3n-1, ∀ n)
⇒ (un) không phải là cấp số cộng.
+ Dãy (un) là cấp số cộng ⇔ un + 1 - un = d với mọi n ∈ N (d là hằng số).
+ Hằng số d được gọi là công sai.
Giải bài 2 trang 97 sgk Đại số 11: Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết:
Bài giải:
a) Ta có: u3 = u1 + 2d;
u5 = u1 + 4d;
u6 = u1 + 5d
Theo đề bài ta có:
b. Ta có: u7 = u1 + 6d; u3 = u1 + 2d; u2 = u1 + d
Do đó theo đề bài ta có:
Cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1; công sai d thì có số hạng thứ n:
un = u1 + (n – 1).d
Giải bài 3 trang 97 sgk Đại số 11: Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng u1, d, n, un, Sn.
a. Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng đó. Cần phải biết ít nhất mấy đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại?
b. Lập bảng theo mẫu sau và điền vào số thích hợp vào ô trống:
Bài giải:
a. Mối liên hệ giữa các công thức:
Dựa vào các công thức trên thấy cần phải biết ít nhất 3 đại lượng để tìm được các đại lượng còn lại.
b. Ta có bảng:
Giải thích:
+ Với u1 = -2; un = 55; n = 20
+ Với d = -4; n = 15; Sn = 120
+ Với un = 17; n = 12; Sn = 72
+ Với u1 = 2; d = -5; Sn = -205.
⇒ un = u10 = u1 + 9d = -43.
+ Cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1; công sai d thì:
Bài 4 (trang 98 SGK Đại số 11): Mặt sàn tầng một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 21 bậc, mỗi bậc cao 18cm.
a. Viết công thức để tìm độ cao của một bậc tùy ý so với mặt sân.
b. Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân.
Bài giải:a. Mỗi bậc thang cao 18cm = 0,18m.
⇒ n bậc thang cao 0,18. n (m)
Vì mặt bằng sàn cao hơn mặt sân 0,5m nên công thức tính độ cao của bậc n so với mặt sân sẽ là:
hn = (0,5 + 0,18n) (m)
b. Độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân ứng với n = 21 là:
h21 = 0,5 + 0,18.21 = 4,28 (m)
Giải bài 5 trang 98 sgk Đại số 11
Kiến thức áp dụng+ Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng (un) có số hạng đầu tiên u1 và công sai d là: