Trang chủ > Lớp 11 > Giải BT Toán 11 > Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm - Giải BT Toán 11

Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm - Giải BT Toán 11

Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 157: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = x3 tại điểm x tùy ý.

Dự đoán đạo hàm của hàm số y = x100 tại điểm x.

Bài giải:

- Giả sử Δ x là số gia của đối số tại xo bất kỳ. Ta có:

- Dự đoán đạo hàm của y = x100 tại điểm x là 100x100

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 158: Chứng minh khẳng định trong nhận xét trên.

a) Đạo hàm của hàm hằng bằng 0: c’ = 0.

b) Đạo hàm của hàm số y = x bằng 1: x’ = 1.

Bài giải:

a) Hàm hằng ⇒ Δ y = 0

b) Theo định lí 1

y = x hay y = x1 ⇒ y’= (x1)’= 1. x1-1 = 1. xo = 1.1 =1

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 158: Có thể trả lời ngay được không, nếu yêu cầu tính đạo hàm của hàm số f (x) = √ x tại x = - 3; x = 4?

Bài giải:

+) x = - 3 < 0 nên f (x) không có đạo hàm tại x = - 3

+) x = 4, đạo hàm của f (x) là:

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 159: Áp dụng các công thức trong Định lí 3, hãy tính đạo hàm của các hàm số

+) y = 5x3 - 2x5;

+) y = -x3 √ x.

Bài giải:

+) Hàm số y = 5x3 - 2x5

Ta có: y' = (5x3 - 2x5)' = (5x3)' - (2x5)'

= (5'. x3 + 5 (x3)')- (2'. x5 + 2. (x5)')

= (0. x3 + 5.3x2)- (0. x5 + 2.5x4)

= (0 + 15x2)- (0 + 10x4)

= 15x2 - 10x4

+) y = -x3 √ x.

Ta có: y' = (-x3√ x)'

= (-x3)'. √ x + (-x3). (√ x)'

= -3x2.√ x - x3. 1/ (2√ x)

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 160: Hãy chứng minh các công thức trên và lấy ví dụ minh họa.

Bài giải:

- Nếu k là một hằng số thì (ku)’ = ku’

Thật vậy, ta có: (ku)' = k'u + ku' = 0. u + ku' = ku'

Do đạo hàm của hàm hằng bằng 0

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 161:

Hàm số: là hàm hợp của hàm số nào?

Bài giải:

Hàm số: là hàm hợp của hàm số y = √u với u = x2 + x + 1

Giải bài 1 trang 162 sgk Đại Số 11: Bằng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a. y = 7 + x – x2 tại x0 = 1

b. y = x3 – 2x + 1 tại xo = 2.

Bài giải:
Cách 1: Áp dụng công thức:
Cách 2: Áp dụng công thức:
Kiến thức áp dụng:

+ Đạo hàm của hàm số y = f (x) tại x = x0.

Giải bài 2 trang 163 sgk Đại Số 11: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

Bài giải:

a) y’ = (x5 – 4x3 + 2x – 3)’

= (x5)’ – (4x3)’ + (2x)’ – (3)’

= 5x4 – 4.3x2 + 2

= 5x4 – 12x2 + 2.

d) Cách 1: y = 3x5 (8 - 3x2)

= 3x5.8 – 3x5.3x2 = 24x5 – 9x7

⇒ y’ = (24x5 – 9x7)’

= (24x5)' – (9x7)’

= 24.5x4 – 9.7x6

= 120x4 – 63x6.

Cách 2: Áp dụng công thức tính đạo hàm của tích:

⇒ y’ = [(3x5)’]. (8 – 3x2) + 3x5. [(8 – 3x2)’]

= 3.5x4(8 – 3x2) + 3x5. [(8)’ – (3x2)’]

= 15x4(8 – 3x2) + 3x5. (0 – 3.2x)

= 15x4.8 – 15x4.3x2 + 3x5. (-6x)

= 120x4 – 45x6 – 18x6

= 120x4 – 63x6.

Kiến thức áp dụng:

+ (xn)’ = n. xn – 1

+ Với u = u (x); v = v (x) là các hàm số có đạo hàm tại x thuộc khoảng xác định ta có:

(u + v)’ = u’ + v’

(u – v)’ = u’ – v’

(k. u)’ = k. u’ (k là hằng số)

(u. v)’ = u’. v + u. v’.

Giải bài 3 trang 163 sgk Đại Số 11: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

Bài giải:

a) Cách 1:

y’ = [(x7 - 5x2)3]'

= [(x7)3 – 3. (x7)2.5x2 + 3. x7. (5x2)2 – (5x2)3]’

= (x21 – 15. x16 + 75x11 – 125x6)’

= (x21)’ – (15x16)’ + (75x11)’ – (125x6)’

= 21x20 – 15.16x15 + 75.11x10 – 125.6x5

= 21x20 – 240x15 + 825x10 – 750x5.

Cách 2:

y’ = [(x7 - 5x2)3]'

= 3. (x7 – 5x2)2. (x7 – 5x2)’ (Đạo hàm của hàm hợp với u = x7 – 5x2; y = u3)

= 3. (x7 – 5x2)2. [(x7)’ – (5x2)’]

= 3. (x7 – 5x2)2(7x6 – 5.2x)

= 3. (x7 – 5x2)2(7x6 – 10x)

b) y’ = [(x2 + 1)(5 – 3x2)]’

= (x2 + 1)’. (5 – 3x2) + (x2 + 1)(5 – 3x2)’ (Đạo hàm của tích)

= [(x2)’ + (1)’](5 – 3x2) + (x2 + 1)[ (5)’ – (3x2)’]

= (2x + 0)(5 – 3x2) + (x2 + 1)(0 – 3.2x)

= 2x. (5 – 3x2) + (x2 + 1). (-6x)

= 2x. 5 – 2x. 3x2 + x2(-6x) + 1 (-6x)

= 10x – 6x3 – 6x3 – 6x

= -12x3 + 4x.

Kiến thức áp dụng:

+ (xn)’ = n. xn – 1

+ Với u = u (x); v = v (x) là các hàm số có đạo hàm tại x thuộc khoảng xác định ta có:

(u + v)’ = u’ + v’

(u – v)’ = u’ – v’

(u. v)’ = u’. v + u. v’.

+ Đạo hàm của hàm hợp:

Hàm số y = f (u) với u = g (x) thì hàm số y = f (g (x)) có đạo hàm:

y’ = f’ (u).g’ (x).

Giải bài 4 trang 163 sgk Đại Số 11: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

Bài giải:

Kiến thức áp dụng:

+ (xn)’ = n. xn – 1

+ Với u = u (x); v = v (x) là các hàm số có đạo hàm tại x thuộc khoảng xác định ta có:

(u + v)’ = u’ + v’

(u – v)’ = u’ – v’

(u. v)’ = u’. v + u. v’.

+ Đạo hàm của hàm hợp:

Hàm số y = f (u) với u = g (x) thì hàm số y = f (g (x)) có đạo hàm: y’ = f’ (u).g’ (x).

Bài 5 (trang 163 SGK Đại số 11): Cho y = x3- 3x2+ 2. Tìm x để:

a. y' > 0

b. y' < 3

Bài giải:

y = x3 – 3x2 + 2.

⇒ y’ = (x3 – 3x2 + 2)’

= (x3)’ – (3x2)’ + (2)’

= 3x2 – 3.2x + 0

= 3x2 – 6x.

a) y’ > 0

⇔ 3x2 – 6x > 0

⇔ 3x (x – 2) > 0

⇔ x < 0 hoặc x > 2.

b) y’ < 3

⇔ 3x2 – 6x < 3

⇔ 3x2 – 6x – 3 < 0

⇔ 1- √2 < x < 1 + √2.