Trang chủ > Lớp 11 > Giải BT Toán 11 > Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm - Giải BT Toán 11

Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm - Giải BT Toán 11

Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 1 trang 146: Một đoàn tàu chuyển động khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường s (mét) đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian t (phút). Ở những phút đầu tiên, hàm số đó là s = t².

Hãy tính vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng [t; t_o] với t_o = 3 và t = 2; t = 2,5; t = 2,9; t = 2,99.

Nêu nhận xét về những kết quả thu được khi t càng gần t_o = 3.

Bài giải:

Vận tốc của đoàn tàu là:

Vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng [t; t_o] với:

t càng gần t_o = 3 thì vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng [t; t_o] càng gần 3

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 1 trang 149: Cho hàm số y = x². Hãy tính y' (x_o) bằng định nghĩa.

Bài giải:

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 1 trang 150:

a) Vẽ đồ thị của hàm số f (x) = x²/2.

b) Tính f’ (1).

c) Vẽ đường thẳng đi qua điểm M (1; 1/2) và có hệ số góc bằng f’ (1). Nêu nhận xét về vị trí tương đối của đường thẳng này và đồ thị hàm số đã cho.

Bài giải:

- Giả sử Δ x là số gia của đối số tại x_o = 1. Ta có:

- Đường thẳng có hệ số góc bằng f' (1) = 1 có dạng:

y = 1. x + a hay y = x + a

Mà đường thẳng đó đi qua điểm M (1; 1/2) nên có: 1/2 = 1 + a ⇒ a = 1/2 - 1 = -1/2

⇒ đường thẳng đi qua M và có hệ số góc bằng 1 là: y = x – 1/2

Ta có đồ thị như trên. Đường thẳng y = x – 1/2 tiếp xúc với đồ thị hàm số f (x) tại M

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 1 trang 152: Viết phương trình đường thẳng đi qua M_o(x_o; y_o) và có hệ số góc λ

Bài giải:

y = λ (x – x_o) + y_o hay y = λ x + (–λ x_o + y_o)

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 1 trang 152: Cho hàm số y = -x² + 3x – 2. Tính y’ (2) bằng định nghĩa.

Bài giải:

- Giả sử Δ x là số gia của đối số tại x_o = 2. Ta có:

Δ y = y (2 + Δ x) - y (2)

= - (2 + Δ x)² + 3 (2 + Δ x) - 2 - (-2² + 3.2 - 2)

= - (4 + 4Δ x + (Δ x)²)+ 6 + 3Δ x - 2 = - (Δ x)² - Δ x

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 1 trang 153: Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của các hàm số:

a) f (x) = x² tại điểm x bất kì;

b) g (x) = 1/x tại điểm bất kì x ≠ 0

Bài giải:

a)Giả sử Δ x là số gia của đối số tại x_o bất kỳ. Ta có:

b)Giả sử Δ x là số gia của đối số tại x_o bất kỳ. Ta có:

Giải bài 1 trang 156 sgk Đại Số 11: Tìm số gia của hàm số f (x) = x3, biết rằng:

a. x0 = 1; Δx = 1;

b. x0 = 1; Δx = -0,1;

Bài giải:

a. Δy = f (x0 + Δx) – f (x0) = f (1 + 1) – f (1) = f (2) – f (1) = 23 – 13 = 7

b. Δy = f (x0 + Δx) – f (x0) = f (1 – 0,1) – f (1) = f (0,9) – f (1) = (0,9)3 – 13 = -0,271.

Kiến thức áp dụng:

+ Đại lượng Δ x = x – x₀ được gọi là số gia của đối số tại x₀.

+ Đại lượng Δ y = f (x) – f (x₀) = f (x – Δ x) – f (x₀) được gọi là số gia tương ứng của hàm số.

Giải bài 2 trang 156 sgk Đại Số 11: Tính Δy và của các hàm số sau theo x và Δx:

Bài giải:

Gọi Δ x là số gia của biến số x.

Kiến thức áp dụng:

+ Đại lượng Δ x = x – x₀ được gọi là số gia của đối số tại x₀.

+ Đại lượng Δ y = f (x) – f (x₀) được gọi là số gia tương ứng của hàm số.

Giải bài 3 trang 156 sgk Đại Số 11: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số tại các điểm đã chỉ ra:

Bài giải:

Kiến thức áp dụng:

+ Định nghĩa đạo hàm của hàm số y = f (x) tại x = x₀:

Hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; b) và x₀ ∈ (a; b). Nếu giới hạn tồn tại thì được gọi là đạo hàm của hàm y = f (x) tại x₀.

Giải bài 4 trang 156 sgk Đại Số 11: Chứng minh rằng hàm số:

Bài giải:

⇒ Không tồn tại đạo hàm của f (x) tại x = 0.

Kiến thức áp dụng:

+ Định nghĩa đạo hàm của hàm số y = f (x) tại x = x₀: Hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; b) và x₀ ∈ (a; b). Nếu giới hạn tồn tại thì được gọi là đạo hàm của hàm y = f (x) tại x₀.

Giải bài 5 trang 156 sgk Đại Số 11: Viết phương trình tiếp tuyến đường cong y=x3.

a. Tại điểm (-1; -1);

b. Tại điểm có hoành độ bằng 2;

c. Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.

Bài giải:

Với mọi x0 ∈ R ta có:

a) Tiếp tuyến của y = x3 tại điểm (-1; -1) là:

y = f’ (-1)(x + 1) + y (1)

= 3. (-1)2(x + 1) – 1

= 3. (x + 1) – 1

= 3x + 2.

b) x0 = 2

⇒ y0 = f (2) = 23 = 8;

⇒ f’ (x0) = f’ (2) = 3.22 = 12.

Vậy phương trình tiếp tuyến của y = x3 tại điểm có hoành độ bằng 2 là:

y = 12 (x – 2) + 8 = 12x – 16.

c) k = 3

⇔ f’ (x0) = 3

⇔ 3x02 = 3

⇔ x02 = 1

⇔ x0 = ±1.

+ Với x0 = 1 ⇒ y0 = 13 = 1

⇒ Phương trình tiếp tuyến: y = 3. (x – 1) + 1 = 3x – 2.

+ Với x0 = -1 ⇒ y0 = (-1)3 = -1

⇒ Phương trình tiếp tuyến: y = 3. (x + 1) – 1 = 3x + 2.

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x3 có hệ số góc bằng 3 là y = 3x – 2 và y = 3x + 2.

Kiến thức áp dụng:

+ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f (x) tại điểm M (x₀; y₀) là: y = f’ (x₀). (x – x₀) + y₀ với y₀ = f (x₀).

+ f’ (x₀) chính là hệ số góc của đường thẳng tiếp tuyến.

Giải bài 6 trang 156 sgk Đại Số 11: Viết phương trình tiếp tuyến của hypebol

a) Tại điểm ;

b) Tại điểm có hoành độ bằng -1;

c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng

Bài giải:

Ta có: Với mọi x0 ≠ 0:

b) Tại x0 = -1

⇒ y0 = -1

⇒ f’ (x0) = -1.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm có hoành độ -1 là:

y = -1 (x + 1) – 1 = -x – 2.

⇒ Phương trình tiếp tuyến:

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến của hypebol có hệ số góc bằng

Kiến thức áp dụng

+ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f (x) tại điểm M (x₀; y₀) là:

y = f’ (x₀). (x – x₀) + y₀với y₀ = f (x₀).

+ f’ (x₀) chính là hệ số góc của đường thẳng tiếp tuyến.

Bài 7 (trang 157 SGK Đại số 11): Một vật rơi tự do theo phương trình s = 1/2 gt², trong đó g≈ 9,8m/s² là gia tốc trọng trường.

a. Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t = 5s) đến t + Δ t, trong các trường hợp Δ t=0,1s; Δ t=0,05s; Δ t=0,001s.

b. Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5s.

Bài giải:

a) Vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ t đến t + Δ t là:

b) Vận tốc tức thời tại thời điểm t = 5s chính là vận tốc trung bình trong khoảng thời gian (t; t + Δ t) khi Δ t → 0 là:

Bài trước: Ôn tập chương 4 - Giải BT Toán 11 Bài tiếp: Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm - Giải BT Toán 11