Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm (đường tròn ngoại tiếp tam giác) - Chuyên đề Toán 10
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tâm của đường tròn qua 3 điểm A (2; 1); B (2; 5) và C (-2; 1) thuộc đường thẳng có phương trình?
A. x - y + 3 = 0. B. x + y - 3 = 0 C. x - y - 3 = 0 D. x + y + 3 = 0
Bài giải:
Phương trình đường tròn (C) có dạng: x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0 (a2 + b2 – c > 0)
Vậy tâm đường tròn I có tọa độ (0; 3).
Lần lượt thay tọa độ I vào các phương trình đường thẳng thì chỉ có đường thẳng
x - y + 3 = 0 thỏa mãn.
Đáp án: A.
Ví dụ 2. Xác định tọa độ tâm đường tròn đi qua 3 điểm A (0; 4); B (2; 4) và C (4; 0)
A. (0; 0) B. (1; 0) C. (3; 2) D. (1; 1)
Bài giải:
Phương trình đường tròn (C) có dạng: x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0 (a2 + b2 –c > 0)
3 điểm A; B; C thuộc (C) nên 
Vậy tọa độ tâm đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C là: I (1; 1)
Đáp án: D.
Ví dụ 3. Xác định bán kính đường tròn đi qua 3 điểm A (0; 4); B (3; 4); C (3; 0).
A. 5 B. 3 C. √ 6,25 D. √ 8
Bài giải:
Phương trình đường tròn (C) có dạng: x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0 (a2 + b2 – c > 0)
3 điểm A; B; C thuộc (C) nên suy ra:
Vậy bán kính R = 
= √ 6,25.
Đáp án: C.
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC có tộ độ 3 đỉnh như sau: A (-2; 4); B (5; 5) và C (6; -2). Tìm phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?
A. x2 + y2 - 2x - y + 20 = 0 B. (x - 2)2 + (y - 1)2 = 20
C. x2 + y2 - 4x - 2y + 20 = 0 D. x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0
Bài giải:
Gọi phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là (C): x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 (a2 + b2 - c > 0)
Do ba điểm A; B và C thuộc đường tròn nên suy ra:
Vậy phương trình đường tròn (C) cần tìm là: x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0
Đáp án: D.
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC có tọa độ 3 đỉnh như sau: A (1; -2); B (-3; 0); C (2; -2). Biết tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C). Tìm bán kính đường tròn đó?
A. 5
B. 6
C. 
D. √ 37
Bài giải:
Gọi phương trình của tam giác nội tiếp đường tròn (C) là: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 (a2 + b2 - c > 0)
Ba điểm A; B và C thuộc đường tròn nên suy ra:
Vậy bán kính đường tròn (C) là R = 
Đáp án: C.
Ví dụ 6: Tâm của đường tròn qua 3 điểm A (2; 1); B (2; 5); C (-2; 1) thuộc đường thẳng có phương trình... ?
A. x - y + 3 = 0 B. x - y - 3 = 0 C. x + 2y - 3 = 0 D. x + y + 3 = 0
Bài giải:
Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (a2 + b2 + c > 0). Tâm I (a; b). Có:
Lần lượt thế tọa độ I vào các phương trình trong các đáp án để kiểm tra => Điểm I thuộc đường thẳng x - y - 3 = 0
Đáp án: B.
Ví du 7: Cho tam giác ABC, các đỉnh có tọa độ A (2; 1); B (3; 4) và C (-1; 2). Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm OI?
A. 
B. 2√ 2 C. √ 10 D. 
Bài giải:
Ta có: 
(1; 3) và 
(-3; 1)
⇒ 
= 1. (-3) + 3.1 = 0
⇒ AB vuông góc AC nên tam giác ABC vuông tại A.
Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền BC.
+ Tọa độ tâm I - trung điểm của BC là: 
⇒ Khoảng cách OI = 
= √ 10
Đáp án: C.
Ví dụ 8: Cho biết đường tròn nào dưới đây đi qua 2 điểm A (1; 0); B (3; 4)?
A. x2 + y2 + 8x - 2y - 9 = 0 B. x2 + y2 - 3x - 16 = 0
C. x2 + y2 - x + y = 0 D. x2 + y2 - 4x - 4y + 3 = 0
Bài giải:
Thay tọa độ hai điểm A và B vào các phương án, có:
+) Điểm B (3; 4) không thuộc đường tròn A.
+) Điểm A (1; 0) không thuộc đường tròn B.
+) Điểm B (3; 4) không thuộc đường tròn C.
+) Điểm A; B cùng thuộc đường tròn D.
Đáp án: D.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Gọi I (a; b) tâm đường tròn đi qua 3 điểm A (1; 2); B (0; 4) và C (- 2; -1).
Tính a + b
A. -2 B. 0 C. 2 D. 4
Đáp án: B
Gọi phương trình đường tròn (C) cần tìm có dạng:
x2 + y2 - 2ax – 2by + c= 0 (a2 + b2 - c > 0)
Do A, B, C thuộc đường tròn nên:
Vậy tâm đường tròn là I (1; 1) và a + b = 0
Câu 2: Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm A (-2; 4); B (1; 0) và C (2; - 3)
A. 
B. 
C. √ 10
D. 5/2
Đáp án: B
Gọi phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm A; B và C là:
x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (a2 + b2 - c > 0)
Do A; B và C thuộc đường tròn (C) nên:
Vậy bán kính đường tròn (C): = 
=
Câu 3: Xác định tọa độ tâm đường tròn đi qua 3 điểm A (0; 5); B (3; 4) và C (-4; 3).
A. (-6; -2) B. (-1; -1) C. (3; 1) D. (0; 0)
Đáp án: D
Gọi đường tròn đi qua 3 điểm A, B và C là
( C): x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (a2 + b2 - c > 0)
Do ba điểm A, B và C thuộc (C) nên
Vậy tâm của đường tròn (C) là I (0; 0).
Câu 4: Tính bán kính đường tròn đi qua 3 điểm A (0; 0); B (0; 6); C (8; 0).
A. 6 B. 5 C. 10 D. √ 5
Đáp án: B
Gọi đường tròn đi qua 3 điểm A, B và C là:
( C): x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0 (a2 + b2 - c > 0)
Do 3 điểm đó thuộc (C) nên
⇒ bán kính R = 
= 5
Câu 5: Đường tròn đi qua 3 điểm O (0; 0); A (a; 0) và B (0; b) có phương trình là
A. x2 + y2 - 2ax - by = 0 B. x2 + y2 - ax - by + xy = 0
C. x2 + y2 - ax - by = 0 D. x2 + y2 - ay + by = 0
Đáp án: C
Ta có: 
(a; 0); 
(0; b) ⇒ 
= a. 0 + 0. b = 0
⇒ Hai đường thẳng OA và OB vuông góc với nhau.
⇒ tam giác OAB vuông tại O nên tâm I của đường tròn đi qua 3 điểm O; A; B là trung điểm
I (
; 
) và bán kính R = 
Phương trình đường tròn đi qua 3 điểm O; A; B là
Câu 6: Đường tròn đi qua 3 điểm A (11; 8); B (13; 8); C (14; 7) có bán kính R bằng
A. 2 B. 1 C. √ 5 D. √ 2
Đáp án: C
Gọi phương trình đường tròn cần tìm có dạng:
x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (với a2 + b2 - c > 0).
Đường tròn đi qua 3 điểm A (11; 8); B (13; 8) và C (14; 7) nên ta có:
Ta có R = = √ 5
Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A: B và C có bán kính là R = √ 5.
Câu 7: Đường tròn đi qua 3 điểm A (1; 2); B (-2; 3); C (4; 1) có tâm I có tọa độ là
A. (0; -1)
B. (0; 0) C. Không có đường tròn đi qua 3 điểm đã cho.
D. (3; 
)
Đáp án: C
Ta có: 
(3; -1), 
(6; -2) ⇒ = 2
⇒ 3 điểm A, B và C thẳng hàng.
Vậy không có đường tròn qua 3 điểm A, B và C.
Câu 8: Cho tam giác ABC có A (2; 1); B (5; 5) và C (1; 8). Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính OI?
A. B. 
C. 
D. 
Đáp án: C
Ta có: ( 3; 4) và (-4; 3)
⇒ 
= 3. (-4) + 4.3 = 0
⇒ AB vuông góc BC nên tam giác ABC vuông tại B.
⇒ Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền AC.
+ Tọa độ tâm I- trung điểm của AC là: 
⇒ Khoảng cách OI = 