Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip - Chuyên đề Toán 10
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho elíp (E): 
= 1 và đường thẳng d: 3x + 4y - 12 = 0. Số giao điểm của đường thẳng d và elip (E) là:
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Bài giải:
Ta có d: 3x + 4y - 12 = 0 nên y = 3 - 
, thay vào phương trình (E):
= 1 ta được: 
⇔ 2x2 - 8x = 0
⇔ 
Vậy d luôn cắt (E) tại hai điểm 2 phân biệt A và B có tọa độ A (0; 3); B (4; 0).
Đáp án: C.
Ví dụ 2: Cho elip (E): 
= 1 và đường thẳng d: x - √ 2y + 2 = 0. Số giao điểm của đường thẳng d và elip (E) là... ?
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Bài giải:
Tọa độ giao điểm của elp (E) và d (nếu có) là nghiệm của hệ:
+ Giải (*) ta được: (√ 2 y - 2)2 + 2y2 = 8
⇔ 2y2 - 4√ 2 y + 4 + 2y2 = 8
⇔ 4y2 - 4√ 2 y - 8 = 0
Phương trình trên có hai nghiệm ⇒ cho ta 2 giá trị x tương ứng.
⇒ Vậy số giao điểm của (E) và d là 2.
Đáp án: C.
Ví dụ 3: Cho Elip 
= 1: . Đường thẳng (d): x = - 4 cắt (E) tại hai điểm M, N. Khi đó... ?
A. MN = 
Bài giải:
Elip (E) có: a2 = 25; b2 = 9 ⇒ c2 = 25 - 9 = 16 nên c = 4
Ta thấy (d): x = - 4 là đường thẳng đi qua tiêu điểm F1 (- 4; 0) của (E).
Do đó MN = 2MF1 = 
Đáp án: C.
Ví dụ 4: Đường thẳng y = kx cắt Elip 
= 1 (a > b > 0) tại 2 điểm
A. đối xứng nhau qua trục Oy.
B. đối xứng nhau qua trục Ox.
C. đối xứng nhau qua gốc toạ độ O.
D. Các khẳng định trên đều sai.
Bài giải:
Vì (E) có tâm đối xứng là gốc tọa độ O và hàm số y = kx là hàm số lẻ nên đồ thị của nó cũng có tâm đối xứng là O (0; 0)
⇒ Đường thẳng y = kx cắt elip tại 2 điểm đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O.
Đáp án: C.
Ví dụ 5: Cho elip: 3x2 + 4y2 – 48 = 0 và đường thẳng d: x - 2y + 4 = 0. Giao điểm của d và Elip là:
A. (0; - 4); (-2; -3)
B. (4; 0); (3; 2)
C. (0; 4); (-2; 3)
D. (-4; 0); (2; 3)
Bài giải:
Xét hệ phương trình:
(*)Giải (*) < => 3 (4y2 – 16y + 16) + 4y2 - 48 = 0
⇔ 12y2 – 48y + 48 + 4y2 - 48 = 0
⇔ 16y2 – 48y = 0
⇔ 
Vậy giao điểm của elip (E) là (- 4; 0) và (2; 3).
Đáp án: D.
Ví dụ 6: Tìm giao điểm của đường thẳng (d): x - y - 3 = 0 và elip
(E): 
= 1.
A. (
; 
)
B. ( 
; )
Bài giải:
Xét hệ phương trình:
(*)Giải (*) ⇔ (y + 3)2 + 4y2 = 4
⇔ y2 + 9y + 9 + 4y2 – 4 = 0
⇔ 5y2 + 9y + 5 = 0 phương trình này vô nghiệm
Vậy đường thẳng d không cắt elip (E).
Đáp án: D.
Ví dụ 7: Tìm giao điểm của đường thẳng d: x + 2y - 5 = 0 và elip
(E): 
= 1.
A. M (
; 
)
; - )
; 
)
; 
)Bài giải:
Xét hệ phương trình: 
(*)
Giải phương trình (*) ⇔ 4 (5 - 2y)2 + 9y2 = 36
⇔ 100 - 80y + 16y2 + 9y2 = 36
⇔ 25y2 – 80y + 64 = 0
⇔ y = ⇒ x =
Vậy đường thẳng d cắt elip (E) tại một điểm là M (; )
Đáp án: A.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Tìm giao điểm (nếu có) của đường thẳng d: x - 2y = 0 và
(E): 
= 1.
A. (2; 1) B. ( - 2; -1) và (-2; 1) C. ( 2; 1) và (-2; -1) D. ( 2; -3) và (2; 1)
Đáp án: C
Xét hệ phương trình:
(*)Giải phương trình (*) ⇔ 4y2 + 4y2 = 8
⇔ 8y2 = 8 ⇔ y2 = 1
⇔ 
Vậy đường thẳng (d) cắt elip (E) tại hai điểm A (2; 1) và B (-2; -1).
Câu 2: Cho elip (E): 16x2 + 25y2 = 100. Tìm các giá trị của b để đường thẳng
(d): y = x + b có điểm chung với elip?
A. 
≤ b ≤
≤ b ≤ 
≤ b ≤ 
Đáp án: A
Đường thẳng (d): y = x + b có điểm chung với elip khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: 
Thay (2) vào (1) ta được:
16x2 + 25 (x + b)2 = 100 ⇔ 16x2 + 25x2 + 50bx + 25b2 – 100 = 0
⇔ 41x2 + 50bx + 25b2 - 100 = 0 (*)
Phương trình (*) có nghiệm ⇔ ∆' ≥ 0
⇔ (25b)2 – 41 (25b2 - 100) ≥0
⇔ - 400b2 + 4100 ≥0
⇔ - ≤ b ≤
Câu 3: Cho elip (E): 4x2 + 9y2 = 36 và M (1; 1). Lập phương trình đường thẳng qua M và cắt elip tại hai điểm A; B sao cho MA = MB?
A. x + 3y - 4 = 0 B. x - y = 0 C. 4x + 9y - 13 = 0 D. 2x - y - 1 = 0
Đáp án: C
+ Phương trình đường thẳng d: qua M (1; 1); hệ số góc k là:
(d): y = k (x - 1) + 1 ⇔ y = kx - k + 1
+ Tọa độ giao điểm của (d) và (E) là nghiệm hệ phương trình:
Thay (2) vào (1): 4x2 + 9 (kx - k + 1)2 = 36
⇔ (4 + 9k2) x2 – 18k (k - 1)x + 9k2 - 18k - 27 = 0 (*)
Để (d) cắt (E) tại hai điểm thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆' ≥ 0.
⇔ [9k (k - 1)]2 – (4 + 9k2) (9k2 – 18k - 27) > 0
⇔ 9k2 (k - 1)2 – (4 + 9k2) (k2 - 2k - 3) > 0
⇔ 32k2 + 8k + 12 > 0 luôn đúng với mọi k.
Vậy phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt và xA + xB = 
(hệ thức Viet)
Theo giả thiết MA = MB ⇔ xA + xB = 2xM
⇔ = 2 nên k = 
+ Thay k = vào (2) ta được: (d): 4x + 9y - 13 = 0
Câu 4: Cho elip 2x2 + 3y2 – 18 = 0 và đường thẳng d: 3x + y - 9 = 0. Giao điểm của d và Elip là:
A. (-2; 9) và (
; 
)
; 
)C. (0; 2) và (
; 
)
; )
Đáp án: D
Xét hệ phương trình:
Giải (*): 2x2 + 3 (81 - 54x + 9x2) – 18 = 0
⇔ 2x2 + 243 - 162x + 27x2 - 18 = 0
⇔ 29x2 - 162x + 225 = 0
⇔ 
Vậy giao điểm của elip (E) là (3; 0) và (; )
Câu 5: Tìm số giao điểm của đường thẳng (d): x - 3y - 3 = 0 và elip
(E): 
= 1 có hoành độ nguyên?
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Đáp án: C
Xét hệ phương trình:
Giải (*) ⇔ 2 (3y + 3)2 + 9y2 = 18 ⇔ 18y2 + 36y + 18 + 9y2 – 18 = 0
⇔ 27y2 + 36y = 0 ⇔ 
Vậy đường thẳng d cắt elip (E) tại hai điểm và hai điểm đó có hoành độ nguyên.
Câu 6: Tìm giao điểm của đường thẳng d: x + y - 10 = 0 và elip
(E): 
= 1.
A. ∅
B. M (- ; - )
C. M (; )
D. M (; 
)
Đáp án: A
Xét hệ phương trình:
Giải phương trình (*) ⇔ (10 - y)2 + 9y2 = 9
⇔ 100 – 20y + y2 + 9y2 = 9
⇔ 10y2 - 20y + 91 = 0 phương trình vô nghiệm.
Vậy đường thẳng d không cắt elip (E).
Câu 7: Đường thẳng d: x - 2y - 2 = 0 cắt elip
(E): 
= 1 tại hai điểm có hoành độ x1; x2. Tính x1 + x2
A. 0
B. 
Đáp án: D
Xét hệ phương trình:
Giải phương trình (*) ⇔ (2y + 2)2 + 2y2 = 4
⇔ 4y2 + 8y + 4 + 2y2 = 4 ⇔ 6y2 + 8y = 0
⇔ 
Vậy đường thẳng (d) cắt elip (E) tại hai điểm A (2; 0) và B (; - ).
⇒ x1 + x2 = 2 + =
Câu 8: Cho elip (E): 4x2 + 25y2 = 100. Tìm các giá trị của b để đường thẳng
(d): y = 2x + b có điểm chung với elip?
A. -2√ 26 ≤ b ≤ 2√ 26
B. -√ 6 ≤ b ≤ √ 6
C. - ≤ b ≤
D. ≤ b ≤
Đáp án: A
Đường thẳng (d): y = 2x + b có điểm chung với elip khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
Thay (2) vào (1) ta được:
4x2 + 25 (2x + b)2 = 100 ⇔ 4x2 + 100x2 + 100bx + 25b2 – 100 = 0
⇔ 104x2 + 100bx + 25b2 - 100 = 0 (*)
Phương trình (*) có nghiệm ⇔ ∆' ≥ 0
⇔ (50b)2 – 104 (25b2 - 100) ≥ 0
⇔ - 100b2 + 10400 ≥ 0
⇔ - 2√ 26 ≤ b ≤ 2√ 26