Lập phương trình Elip đi qua 2 điểm hoặc qua 1 điểm thỏa mãn điều kiện - Chuyên đề Toán 10
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Elip đi qua các điểm M (0; 3) và N (3; -12/5) có phương trình chính tắc là:
A. 
= 1
B. 
= 1
C. 
= 1
D. 
= 1
Bài giải:
Gọi phương trình chính tắc của Elip là 
= 1 (a > b > 0).
Elip đi qua điểm M (0; 3) suy ra: 
= 1
⇔ 
= 1
⇔ b2 = 9 (1)
Elip đi qua điểm N có tọa độ N (3; 
) => 
= 1 (2)
Thay (1) vào (2) ta được: 
= 1
⇔ 
= 1 ⇔ a2 = 25
Vậy phương trình cần tìm là: 
= 1
Đáp án: B
Ví dụ 2: Tìm phương trình chính tắc của Elip có tiêu cự bằng 6 và đi qua điểm A (0; 5).
A. 
= 1
B. 
= 1
C. 
= 1
D. Đáp án khác
Bài giải:
Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng = 1 (a > b > 0).
Ta có tiêu cự bằng 6 nên: 2c = 6 ⇒ c = 3 và a2 - b2 = c2 = 9 (1)
Do điểm A (0; 5) thuộc (E) nên:
= 1
⇔ 
= 1 ⇔ b2 = 25 mà b> 0 nên b= 5.
Thay vào (1) ta được: a2 – 25 = 9 ⇔ a2 = 34
⇒ Phương trình chính tắc của elip (E): 
= 1
Đáp án: D
Ví dụ 3: Tìm phương trình chính tắc của Elip có trục lớn gấp đôi trục bé và đi qua điểm
A. 
= 1 B. 
= 1
C. 
= 1 D. 
= 1
Bài giải:
Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng = 1 (a > b > 0).
Theo đề ra: Trục lớn gấp đôi trục bé nên: 2a = 2. ( 2b)
⇔ a = 2b ⇔ a2 = 4b2
Điểm (2; -2) thuộc Elip: 
= 1
⇔ 
= 1
Ta được hệ: 
⇒ 
⇒ Phương trình elip (E): 
= 1
Đáp án: D
Ví dụ 4: Phương trình chính tắc của Elip có một tiêu điểm F1(-√ 3; 0) và đi qua M (1; 
) là:
A. 
= 1 B. 
= 1
C. 
= 1 D. = 1
Bài giải:
Do elip có một tiêu điểm là F1 (- √ 3; 0) nên c = √ 3
Phương trình chính tắc của elip có dạng:
(E): = 1 (a > b > 0)
⇒ c = 
= √ 3
⇒ a2 - b2 = 3 (1)
M (1; ) ∈
(E) ⇒ 
= 1
⇔ 4b2 + 3a2 = 4a2 b2 (2)
Giải hệ (1) và (2)
⇔ 
⇔ 
⇔ 
Vậy phương trình elip là: 
= 1
Đáp án: C
Ví dụ 5: Phương trình chính tắc của elip có hai tiêu điểm F1 (- 2; 0); F2 (2; 0) và đi qua điểm M (2; 3) là
A. 
= 1 B. 
= 1
C. 
= 1 D. Tất cả sai
Bài giải:
+ Gọi phương trình chính tắc của elip cần tìm: = 1 (a > b > 0).
+ Ta có elip có hai tiêu điểm F1 (- 2; 0); F2 (2; 0) nên c = 2
⇒ a2 - b2 = c2 = 4 ⇒ a2 = b2 + 4 (1)
+ Do elip đi qua điểm M (2; 3) nên:
= 1 (2)
+ Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
+ Giải phương trình (*) ⇔ 4b2 + 9 (b2 + 4) = b2 (b2 + 4)
⇔ 4b2 + 9b2 + 36 = b4 + 4b2
⇔ b4 – 9b2 - 36 = 0
⇔ b2 = 12
⇒ a2 = b2 + 4 = 16
⇒ Phương trình chính tắc của elip (E): 
= 1
Đáp án: A
Ví dụ 6: Lập phương trình chính tắc của elip có tâm O; hai trục đối xứng là hai trục toạ độ và qua hai điểm 
, 
A. 
= 1 B. 
= 1
C. 
= 1 D. 
= 1
Bài giải:
Gọi phương trình chính tắc elip cần tìm là = 1 (a > b > 0).
Do elip đi qua , nên ta có hệ:
⇔ 
Vậy elip cần tìm là 
= 1
Đáp án: C
Ví dụ 7: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó có chiều rộng hình chữ nhật cơ sở là 8 và đi qua A (5; 0)?
A. 
= 1 B. 
= 1
C. 
= 1 D. 
= 1
Bài giải:
Gọi phương trình chính tắc của elip = 1 (a > b > 0).
Do chiều rộng hình chữ nhật cơ sở là 8 nên 2b = 8 ⇔ b = 4
Do elip đi qua điểm A (5; 0) nên: 
= 1
⇔ a2 = 25
Phương trình chính tắc của elip: 
= 1
Đáp án: B
Ví dụ 8: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm A (6; 0) và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng 1/2.
A. 
= 1 B. 
= 1
C. 
= 1 D. 
= 1
Bài giải:
Gọi phương trình chính tắc của Elip là: = 1 (a > b > 0).
Elip đi qua điểm A (6; 0) suy ra: 
=1
⇔ 
= 1 ⇔ a2 = 36 mà a > 0 nên a = 6.
Tỉ số của tiêu cực với độ dài trục lớn bằng 1/2 suy ra:
= 
= 
⇒ c = 
= 
= 3
⇒ b2 = a2 – c2 = 62 – 32= 27
Vậy phương trình cần tìm là (E): 
= 1
Đáp án: A
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm A (2; 1) và có tiêu cự bằng 2√ 3?
A. 
= 1 B. 
= 1
C. 
= 1 D. 
= 1
Đáp án: D
Trả lời:
Giả sử elip có phương trình tổng quát là IMG_4 = 1 (a > b > 0).
Do elip có tiêu cự là 2√ 3 nên 2c= 2√ 3 ⇔ c= √ 3.
Do (E) đi qua điểm A (2; 1) và có tiêu cự bằng nên ta có
IMG_75 ⇔ IMG_76
⇔ IMG_77 ⇔ IMG_78 ⇒ IMG_79
Vậy phương trình (E): IMG_80 = 1
Câu 2: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm A (6; 0) và có tâm sai bằng 1/2
A. 
= 1 B. 
= 1
C. 
= 1 D. 
= 1
Đáp án: B
Trả lời:
Giả sử elip có phương trình tổng quát là IMG_4 = 1 (a > b > 0).
Do (E) đi qua điểm A (6; 0) và có tâm sai bằng 1/2 nên ta có:
IMG_85 ⇔ IMG_86
⇔ IMG_87 ⇔ IMG_88 ⇒ (E): IMG_89 = 1
Câu 3: Lập phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 8 và đi qua M (√ 15; -1)
A. 
= 1 B. 
= 1
C. 
= 1 D. 
= 1
Đáp án: A
Trả lời:
Giả sử elip có phương trình tổng quát là IMG_4 = 1 (a > b > 0).
Do (E) có tiêu cự bằng 8 và đi qua M (√ 15; -1) nên:
IMG_94 ⇔ IMG_95
⇔ IMG_96 ⇔ IMG_97 ⇒ IMG_98
⇔ IMG_99 ⇒ IMG_100
⇒ Phương trình chính tắc của elip (E): IMG_101 = 1
Câu 4: Tìm phương trình chính tắc của elip, biết elip có chiều dài hình chữ nhật cơ sở bằng 4√ 5 và đi qua điểm M (0; -1)?
A. 
= 1 B. 
= 1
C. 
= 1 D. 
= 1
Đáp án: D
Trả lời:
Gọi phương trình chính tắc của Elip là: IMG_4 = 1 (a > b > 0).
Elip có chiều dài hình chữ nhật cơ sở bằng 4√ 5 suy ra:
2a= 4 √ 5 nên a= 2√ 5 và a2= 20
Elip đi qua điểm M (0; -1) suy ra: IMG_106 = 1 (2)
⇒ IMG_107 = 1 ⇒ b2 = 1
Vậy phương trình cần tìm là: IMG_108 = 1
Câu 5: Elip qua điểm M (2; 5/3) và có một tiêu điểm F (2; 0). Phương trình chính tắc của elip là:
A. 
= 1 B. 
= 1
C. 
= 1 D. 
= 1
Đáp án: A
Trả lời:
Gọi phương trình chính tắc của Elip là: IMG_4 = 1 (a > b > 0).
Elip có một tiêu điểm là F (2; 0) suy ra c= 2 và c2= 4 ⇔ a2- b2 = 4 (1).
Elip đi qua điểm M (2; IMG_109 ) suy ra IMG_114 = 1 (2).
Từ (1) suy ra a2= b2 + 4 thay vào (2) ta được:
IMG_115= 1
⇔ 36b2 + 25 (b2 +4) = 9b2 (b2 + 4)
⇔ 36b2 + 25b2 + 100 = 9b4 + 36b2
⇔ 9b4 – 25b2 – 100 = 0
⇔ b2 = 5 nên a2 = b2 + 4 = 9
Vậy phương trình cần tìm là (E): IMG_116 = 1
Câu 6: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm N (2; -5/3) và tỉ số của tiêu cự với độ dài
A. 
= 1 B. 
= 1
C. 
= 1 D. 
= 1
Đáp án: B
Trả lời:
Gọi phương trình chính tắc của Elip là: IMG_4 = 1 (a > b > 0).
Elip đi qua điểm N (2; IMG_117) suy ra: IMG_114 = 1 (1)
Tỉ số của tiêu cực với độ dài trục lớn bằng IMG_122 suy ra:
IMG_66 = IMG_67 = IMG_123 ⇒ c = IMG_124
⇒ c2= IMG_125.
Kết hợp với điều kiện b2 = a2 – c2 ta được:
b2 = a2 - IMG_125 = IMG_126 hay 9b2 = 5a2 (2)
Thay (2) vào (1) ta được:
IMG_127 = 1 ⇔ IMG_128 = 1
⇔ a2= 9 ⇔ b2 = 5
Vậy phương trình cần tìm là (E): IMG_129 = 1
Câu 7: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm A (2; √ 3) và tỉ số của độ dài trục lớn với tiêu cự bằng 
.
A. 
= 1 B. 
= 1
C. 
= 1 D. 
= 1
Đáp án: A
Trả lời:
Gọi phương trình chính tắc của Elip là: IMG_4 = 1 (a > b > 0).
Elip đi qua điểm A (2; √ 3) suy ra: IMG_135 =1 (1)
Tỉ số của độ dài trục lớn với tiêu cự bằng IMG_130 suy ra:
IMG_66 = IMG_67 = IMG_130 ⇒ c = IMG_136 và c2 = IMG_137
Kết hợp với điều kiện b2 = a2 - c2 ta được:
b2 = a2 - IMG_138 = IMG_139 nên a2= 4b2 (2).
Thay (2) vào (1) ta được: IMG_140 = 1 ⇔ b2 = 4
⇒ a2 = 4b2 = 16
Vậy phương trình cần tìm là: IMG_141 = 1
Câu 8: . Lập phương trình chính tắc của elip, biết elip đi qua hai điểm A (7; 0) và B (0; 3).
A. 
= 1 B. 
= 1
C. 
= 1 D. 
= 1
Đáp án: D
Trả lời:
Gọi phương trình chính tắc của Elip là: IMG_4 = 1 (a > b > 0).
Elip đi qua điểm A (7; 0) suy ra: IMG_146 = 1
⇔ IMG_147 = 1 ⇔ a2= 49.
Elip đi qua điểm B (0; 3) suy ra: IMG_148 = 1
⇔ IMG_149 = 1 ⇔ b2 = 9
Vậy phương trình cần tìm là: IMG_150 = 1
Câu 9: Elip đi qua các điểm A (0; 1) và N (1; 
) có phương trình chính tắc là:
A. 
= 1 B. 
= 1
C. 
= 1 D. 
= 1
Đáp án: C
Gọi phương trình chính tắc của Elip là: = 1 (a > b > 0).
Elip đi qua điểm A (0; 1) suy ra: 
= 1
⇔ 
=1 ⇔ b2 = 1 (1)
Elip đi qua điểm N (1; IMG_151) suy ra: 
= 1 (2)
Thay (1) vào (2) ta được: 
= 1
⇔ 
= 
⇔ a2= 4
Vậy phương trình cần tìm là (E): 
= 1