Cách nhận dạng, xác định phương trình đường tròn: tìm tâm, bán kính - Chuyên đề Toán 10

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho phương trình x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 (1). Điều kiện để (1) là phương trình của đường tròn là:

A. a² + b² - 4c > 0. B. a²+ b² - c > 0. C. a²+ b² - c² > 0. D. a²+ b² - 2c > 0.

Bài giải:

Ta có: x² + y² - 2ax - 2by + c = 0

< => (x - a)² + (y - b)² = a² + b² - c

Vậy điều kiện để phương trình (1) là phương trình đường tròn là: a² + b² - c > 0.

Đáp án: B.

Ví dụ 2. Để x²+ y²- ax - by + c = 0 là phương trình đường tròn, điều kiện cần và đủ là gì?

A. 2a² + 2b² - c > 0. B. a² + b² - 2c > 0. C. a² + b² - 4c > 0. D. a² + b² + c > 0.

Bài giải:

Ta có: x² + y² - ax - by + c = 0 (1)

Vậy điều kiện để (1) là phương trình đường tròn:

Đáp án: C.

Ví dụ 3. Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?
(I) x² + y² – 4x + 15y - 12 = 0.
(II) x² + y² – 3x + 4y + 20 = 0.
(III) 2x² + 2y² - 4x + 6y + 1 = 0.

A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Chỉ (III). D. Chỉ (I) và (III).

Bài giải:

Ta xét các phương án:

(I) có: a² + b² - c = 4 + + 12 = > 0

(II) có: a² + b² - c = + - 20 = - < 0

(III) tương đương: x²+ y² – 2x - 3y + 0,5 = 0.

phương trình này có: a² + b² - c = 1 + - = > 0

Vậy chỉ (I) và (III) là phương trình đường tròn.

Đáp án: D.

Ví dụ 4. Mệnh đề nào sau đây đúng? (1) Đường tròn (C₁): x² + y² – 2x + 4y - 4 = 0 có tâm I (1; -2) bán kính R = 3. (2) Đường tròn (C₂) x² + y² – 5x + 3y – 0,5 = 0 có tâm
I ( ; - ) bán kính R = 3.

A. Chỉ (1). B. Chỉ (2). C. cả hai D. Không có.

Bài giải:

Ta có: đường tròn (C₁): a = 1, b = -2 ⇒ I (1; -2); R = = 3

Vậy (1) đúng

Đường tròn (C₂): a = 5/2, b = - 3/2 ⇒ I (5/2; - 3/2); R = = 3

Vậy (2) đúng.

Đáp án: C.

Ví dụ 5. Tính bán kính đường đường tròn 3x² + 3y² - 6x + 9y – 9 = 0?

A. 2,5 B. 3 C. 2 D. 4

Bài giải:

Phương trình đã cho tương đương: x² + y² - 2x + 3y - 3 = 0

Suy ra a = 1; b = -1,5 và c = -3 và bán kính R =

Đáp án: A.

Ví dụ 6. Cho đường tròn (C): x² + y² - 4x + 3 = 0. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?

A. tâm I (2; 0) B. bán kính R = 1

C. (C) cắt trục 0x tại 2 điểm. D. (C) cắt trục Oy tại 2 điểm.

Bài giải:

Cho x = 0 ta được: y² + 3 = 0 phương trình vô nghiệm.

Vậy (C) không có điểm chung nào với trục tung.

Đáp án: D.

Ví dụ 7. Cho đường tròn (C): x² + y² + 8x + 6y + 9 = 0. Tìm mệnh đề sai?

A. (C) không đi qua điểm O. B. tâm I (-4; -3).

C. bán kính R = 4. D. (C) đi qua điểm M (-1; 0).

Bài giải:

+ Ta có a = -4; b = -3; c = 9 và a² + b² - c = 16 + 9 - 9 = 16 > 0

=> (C) là đường tròn tâm I (-4; -3) và R = 4

Vậy mệnh đề B và C đúng.

+ Thay O vào (C) ta có: 0² + 0² + 8.0 + 6.0 + 9 = 0 vô lí. => A đúng.

+ Thay M (-1; 0) vào (C) ta có: (-1)² + 0² + 8. (-1) + 6.0 + 9 = 0 (vô lý)=> D sai.

Đáp án: D.

Ví dụ 8. Tìm bán kính đường tròn x² + y² - 10x - 11 = 0?

A. 6 B. 2 C. 4 D. √ 6

Bài giải:

Ta có: Hệ số a = 5; b = 0 và c = -11 nên bán kính là R = = 6

Đáp án: A.

Ví dụ 9: Cho phương trình: x² + y² - 2mx + 4y + 4 = 0. Tìm điều kiện của m để phương trình trên là phương trình đường tròn?

A. m > 1 B. m > 0 C. m ≠ 0 D. m > -1 hoặc m < 2

Bài giải:

Xét phương trình: x²+ y² - 2mx + 4y + 4 = 0 có a = m; b = -2 và c = 4.

Phương trình đã cho là phương trình đường tròn

< => a² + b² - c > 0 hay m² + (-2)² - 4 > 0

⇔ m² > 0 ⇔ m ≠ 0

Đáp án: C.

Ví dụ 10: Cho phương trình: x² + y² - 2mx + 4ny - 4 = 0. Tìm m và n để phương trình trên là phương trình đường tròn tâm I (2; 4)?

A. m = 1; n = -2 B. m = 2; n = -2 C. m = 4; n = -4 D. m = -2; n = 2

Bài giải:

Xét phương trình x² + y² - 2mx + 4ny - 4 = 0 có: a = m; b = -2n và c = -4

Ta có: a²+ b² - c = m² + 4n² + 4 > 0 với mọi m và n.

⇒ Phương trình trên luôn là phương trình đường tròn tâm I (m; -2n).

Để phương trình là phương trình đường tròn tâm I (2; 4) khi và chỉ khi:

Đáp án: B.

Ví dụ 11. Cho phương trình: x² + y² + 2x – my + 1 = 0. Xác định m để phương trình đã cho là phương trình đường tròn có bán kính R = 2?

A. m = ± 8 B. m = 6 C. m = 10 D. m = ± 4

Bài giải:

Phương trình: x² + y² + 2x - my + 1 = 0 có: a = -1; b = m/2 và c = 1

Phương trình trên là phương trình đường tròn

⇔ a² + b²- c > 0

⇔ 1 + - 1 > 0

⇔ > 0 ⇔ m ≠ 0.

Với điều kiện m ≠ 0 thì phương trình trên là phương trình đường tròn có bán kính là:

R =

⇔ (thỏa mãn điều kiện)

Đáp án: A.

Ví dụ 12. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của một đường tròn?

A. 4x² + y² – 10x - 6y - 22 = 0 B. x² + y² - 2x - 8y + 20 = 0

C. x² + 2y² - 4y - 8y + 1 = 0 D. x² + y² - 4x + 6y - 12 = 0

Bài giải:

Xét phương trình dạng: x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 lần lượt tính các hệ số a; b; c. Để phương trình trên là phương trình đường tròn điều kiện là a² + b² - c > 0.

+ Xét phương án D: Có a = 2; b = 3 và c = -12

⇒ a² + b² - c = 4 + 9 + 12 = 25 > 0

⇒ Phương trình x² + y² - 4x + 6y - 12 = 0 là phương trình đường tròn.

+ Các phương trình 4x² + y² - 10x - 6y - 2 = 0 và x² + 2y²- 4x - 8y + 1 = 0 không có dạng đã nêu loại A và C.

+ Phương án x² + y² - 2x - 8y + 20 = 0 không thỏa mãn điều kiện a² + b² - c > 0. (loại)

Đáp án: D.

Ví dụ 13. Cho phương trình: x² + y² + 2mx + 2 (m - 1)y + 2m² = 0 (1). Tìm điều kiện của m để (1) là phương trình đường tròn.

A. m < 1/2 B. m ≤ 1/2 C. m > 1 D. m = 1

Bài giải:

Xét phương trình: x² + y² + 2mx + 2 (m - 1)y + 2m² = 0

⇒ a = -m; b = 1 - m; c = 2m²

Để phương trình trên là phương trình đường tròn thì:

a² + b² - c > 0 ⇔ m² + (1 - m)² - 2m² > 0

⇔ m² + 1 - 2m + m² - 2m² > 0

⇔ 1 - 2m > 0 ⇔ m < 1/2

Đáp án: A.

Ví dụ 14. Cho phương trình: x² + y² - 2mx - 4 (m - 2)y + 6 - m = 0 (1). Xác định điều kiện của m để (1) là phương trình đường tròn.

A. Đúng mọi m B. m ∈ (-∞; 1) ∪ (2; +∞)

C. m ∈ (-∞; 1] ∪ [2; +∞) D. Đáp án khác

Bài giải:

Ta có: x² + y² - 2mx - 4 (m - 2)y + 6 - m = 0 có: a = m; b = 2m - 4; c = 6 - m

Phương trình trên là phương trình đường tròn

⇔ a² + b² - c > 0.

⇔ m² + (2m - 4)² - (6 - m) > 0

⇔ m² + 4m² – 16m + 16 – 6 + m > 0

⇔ 5m² - 15m + 10 > 0 ⇔ m ∈ (-∞; 1) ∪ (2; +∞)

Đáp án: B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Đường tròn 2x² + 2y² - 8x + 4y - 4 = 0 có tâm là điểm nào trong các điểm sau đây?

A. (8; -4) B. ( 4; -2) C. ( -4; 2) D. (2; -1)

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Ta viết lại phương trình đường tròn: x² + y² - 4x + 2y- 4 = 0

Ta có: nên tâm I (2; -1).

Câu 2: Trong các phương trình cho sau đây, phương trình nào là phương trình của một đường tròn?

A. x² + y² + 2x - 4y + 9 = 0 B. x² + y² - 6x + 4y + 13 = 0

C. 2x² + 2y² - 8x - 4y - 6 = 0 D. 5x² + 4y² + x - 4y + 1 = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Ta xét các phương án:

+ Phương án D loại vì không có dạng x² + y² - 2ax - 2by + c = 0

+ Phương án A: có a = -1; b = 2 và c = 9

⇒ a² + b² - c = 1 + 4 - 9 = - 4 < 0

⇒ Phương án A không là phương trình đường tròn.

+ Phương án B: có a = 3; b = -2; c = 13

⇒ a² + b² - c = 9 + 4 - 13 = 0

⇒ loại B.

+ Phương án C:

2x² + 2y² - 8x - 4y - 6 = 0 ⇔ x² + y² - 4x - 2y - 3 = 0

Có a = 2; b = 1; c = -3

⇒ a² + b² - c = 4 + 1 + 3 = 8 > 0

⇒ Đây là phương trình đường tròn

Câu 3: Cho đường cong (C): x² + y² - 8x + 10y + m = 0. Tìm giá trị của m để (C) là đường tròn có bán kính bằng 7?

A. m = 4 B. m = 8 C. m = -8 D. m = -2

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Ta có a = 4; b = - 5 và c = m.

Bán kính đường tròn là: R =

Để bán kính đường tròn là 7 thì: = 7 ⇔ = 7.

⇔ 41 - m = 49 ⇔ m = -8

Câu 4: Phương trình x² + y² - 2 (m + 1)x - 2 (m + 2)y + 6m + 7 = 0 là phương trình đường tròn < =>

A. m < 0 B. m < 1 C. m > 1 D. m < - 1 hoặc m > 1.

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Ta có:

x² + y² - 2 (m + 1)x - 2 (m + 2)y + 6m + 7 = 0 (1)

⇔ x² - 2 (m + 1)x + (m + 1)² + y² - 2 (m + 2)y + (m + 2)² - (m + 1)² - (m + 2)² + 6m + 7 = 0

⇔ [x - (m + 1)]² + [y - (m + 2)]² = 2m² - 2)

Vậy điều kiện để (1) là phương trình đường tròn: 2m² - 2 > 0 ⇔

Câu 5: Xác định m để phương trình x² + y² - 2mx + 4y + 8 = 0 không phải là phương trình đường tròn.

A. m < - 2 hoặc m > 2. B. m > 2 C. -2 ≤ m ≤ 2 D. m < - 2

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Ta có: x² + y² - 2mx - 4y + 8 = 0 (1)

⇔ x² - 2mx + m² + y² - 2.2.y + 2² - m² - 2² + 8 = 0 ⇔ (x - m)² + (y - 2)² = m² - 4

Vậy điều kiện để (1) không phải là phương trình đường tròn:

m² - 4 ≤ 0 ⇔ -2 ≤ m ≤ 2

Câu 6: Cho 2 mệnh đề
(I) (x - a)² + (y - b)² = R² là phương trình đường tròn tâm I (a; b), bán kính R.
(II) x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình đường tròn tâm I (a; b).
Tìm mệnh đề đúng?

A. Chỉ (I). B. Chỉ (II).

C. Cả (I) và (II) đều sai. D. Cả (I) và (II).

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

(I) đúng, (II) sai vì thiếu điều kiện a² + b² - c > 0.

Câu 7: Tìm mệnh đề đúng?
(I) Đường tròn (C₁) có tâm I (1; -2) bán kính R = 3.
(II) Đường tròn (C₂) có tâm bán kính R = 3.

A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. (I) và (II). D. Không có.

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Xét đường tròn (C₁) có: a = 1, b = -2 ⇒ I (1; -2); R = = 3

Vậy (1) đúng

Đường tròn (C₂): a = 5/2 , b = -3/2 ⇒ I (5/2; - 3/2 ); R = = 3

Vậy (2) đúng.

Câu 8: Cho đường tròn (C): x² + y² + 8x + 6y + 9 = 0. Tìm mệnh đề sai?

A. ( C) không đi qua điểm O (0; 0). B. ( C) có tâm I (-4; -3).

C. ( C) có bán kính R = 4. D. ( C) đi qua điểm M (-1; 0).

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Đường tròn (C)có:

a = -4, b = -3 ⇒ I (-4; -3); R = = 4. Vậy B; C đúng.

Thay O (0; 0) vào (C) ta có: 0² + 0² + 8.0 + 6.0 + 9 = 0 ⇔ 9 = 0 (vô lý).

⇒ đường tròn (C) không đi qua điểm O. Vậy A đúng.

Thay M (-1; 0) vào (C) ta có: (-1)² + 0² + 8. (-1) + 6.0 + 9 = 0 ⇔ 2 = 0 (vô lý).

⇒ Đường tròn (C) không đi qua điểm M (-1; 0). Vậy D sai.

Câu 9: Cho đường tròn (C) 2x² + 2y² - 4x + 8y + 1 = 0. Tìm mệnh đề đúng?

A. ( C) không cắt trục Oy. B. ( C) cắt trục Ox tại hai điểm.

C. ( C) có tâm I (2; -4). D. ( C) có bán kính R = √ 19.

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

+ Ta viết lại phương trình đường tròn (C) ⇔ x² + y² - 2x + 4y + 1/2 = 0

⇒ a = 1, b = -2 ⇒ I (1; -2); R =

Vậy C; D sai.

+ Cho x = 0 thì (C): 2y² + 8y + 1 = 0 ⇔ y = hoặc y =

Do đó (C) cắt trục Oy tại hai điểm phân biệt. Vậy A sai

+ Cho y = 0 thì (C): 2y² + 8y + 1 = 0 ⇔ y = hoặc y =

Do đó (C) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt. Vậy B đúng

Câu 10: Tìm bán kính đường tròn x² + y² – 6x - 8y = 0?

A. 10 B. 25 C. 5 D. √ 10.

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Đường tròn x² + y² - 6x - 8y = 0 có a = 3; b = 4 và c = 0

⇒ a² + b² – c = 9 + 16 - 0 = 25 > 0

⇒ Phương trình đã cho là phương trình đường tròn có bán kính là:

R = = 5.

Câu 11: Tính bán kính đường tròn x² + y² – 5y = 0?

A. √ 5 B. 25 C. 5/2 D. 25/2

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Đường tròn có a = 0; b = 5/2 và c = 0.

⇒ Bán kính đường tròn là: R = = 5/2

Câu 12: Tìm tâm đường tròn x² + y² + - √ 3?

A. (0; ) B. (- ; 0) C. (√ 2; √ 3) D. ( ; 0)

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Ta có: nên tâm I (- ; 0).

Câu 13: Tìm tâm đường tròn 2x² + 2y² – 8x + 4y - 1 = 0?

A. (-2; 1) B. (8; -4) C. (-8; 4) D. (2; -1)

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Ta có (C): 2x² + 2y² - 8x + 4y - 1 = 0

⇔ x² + y² - 4x + 2y - = 0

⇒ a = 2; b = - 1 nên tâm đường tròn là I (2; -1).

Câu 14: Cho phương trình: x² + y² - 8mx + 6y + 9 = 0. Xác định điều kiện của m để phương trình trên là phương trình đường tròn?

A. m > 1 B. m > 0 C. m ≠ 0 D. m > -1 hoặc m < 2

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Phương trình x² + y² - 8mx + 6y + 9 = 0 có a = 4m; b = -3 và c = 9.

Để phương trình đã cho là phương trình đường tròn nếu:

a² + b² - c > 0 hay (4m)² + (-3)² - 9 > 0

⇔ 16m² > 0 ⇔ m ≠ 0

Câu 15: Cho phương trình x² + y² - 6mx + 8ny - 1 = 0. Tìm m và n để phương trình trên là phương trình đường tròn tâm I (-6; 8)?

A. m = 1; n = -2 B. m = -2; n = -2 C. m = 4; n = -4 D. m = -2; n = 2

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Phương trình x² + y² - 6mx + 8ny - 1 = 0 có:

a = 3m; b = -4n và c = -1

Ta có: a² + b² - c = 9m² + 16n² + 1 > 0 với mọi m và n.

⇒ Phương trình trên luôn là phương trình đường tròn tâm I (3m; -4n).

Để phương trình là phương trình đường tròn tâm I (2; 4) khi và chỉ khi:

Câu 16: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?

A. x² + y² - x - y + 9 = 0. B. x² + y² - x = 0

C. x² + y² - 2xy – 1 = 0 D. x² - y² - 2x + 3y - 1 = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Loại C vì có số hạng -2xy.

Phương án A: a = b = 1/2 , c = 9

⇒ a² + b² - c < 0 nên không phải phương trình đường tròn.

Phương án D: loại vì có – y².

Phương án B: a = 1/2 , b = 0, c = 0 ⇒ a² + b² - c > 0 nên là phương trình đường tròn.

Câu 17: Cho phương trình x² + y² - 2x + 2my + 10 = 0 (1). Có bao nhiêu giá trị m nguyên dương không vượt quá 10 để (1) là phương trình của đường tròn?

A. Không có. B. 6 C. 7 D. Vô số

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Phương trình: x² + y² - 2x + 2my + 10 = 0 có: a = 1; b = -m và c = 10

Để phương trình trên là phương trình đường tròn khi và chỉ khi:

a² + b² - c > 0 ⇔ 1 + m² - 10 > 0

⇔ m² - 9 > 0 ⇔

⇒ Các giá trị m nguyên dương không vượt quá 10 để (1) là phương trình của đường tròn là: m ∈ {4; 5; 6; 7; …; 10}

Câu 18: Cho phương trình x² + y² - 2 (m + 1)x + 4y - 1 = 0 (1). Với giá trị nào của m để (1) là phương trình đường tròn có bán kính nhỏ nhất?

A. m = 2 B. m = -1 C. m = 1 D. m = -2

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

Phương trình x² + y² - 2 (m + 1)x + 4y - 1 = 0 có hệ số:

a = m + 1; b = - 2 và c = -1

Để (1) là phương trình đường tròn thì: a² + b² - c > 0

⇔ (m + 1)² + 4 + 1 > 0 ⇔ (m + 1)² + 5 > 0 luôn đúng với mọi m vì (m + 1)³ ≥0

Vậy với mọi m (1) luôn là phương trình đường tròn có bán kính:

R =

⇒ R_min khi và chỉ khi (m + 1)² + 5 min

⇔ m + 1 = 0 hay m = -1

Bài trước: Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng - Chuyên đề Toán 10 Bài tiếp: Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính - Chuyên đề Toán 10