Bài tập phương trình quy về phương trình bậc hai - Chuyên đề Toán 10
(1)A. Vô nghiệm
B. Có 2 nghiệm: 
C. Có 2 nghiệm: 
D. Có 4 nghiệm: 
Bài giải:
Đặt t = x2 (t ≥ 0)
Phương trình (1) thành: √ 2. t2 - 2 (√ 2 + √ 3) t + √ 12 = 0 (2)
Xét: Δ ' = 5 + 2√ 6 - 2√ 6 = 5
Ta có:
Suy ra phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt
Như vậy phương trình (1) có 4 nghiệm
Đáp án: D
Câu 2. Tìm số nghiệm của phương trình: -x4 - 2 (√ 2 - 1)x2 + (3 - 2√ 2) = 0 (1)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 0
Bài giải:
Đặt t = x2 (t ≥ 0)
Phương trình (1) < => -t2 - 2 (√ 2 - 1)t + (3 - 2√ 2) = 0 (2)
Xét phương trình (2) có: a. c = (-1)(3 - 2√ 2) < 0
=> Phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu
Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Đáp án: A
Câu 3. Tìm số nghiệm của phương trình: 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + 2 = 0 (1)?
A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. 4 nghiệm
Bài giải:
Nhận xét: x = 0 không là nghiệm của phương trình.
Với x ≠ 0, chia cả 2 vế cho x2
(1) ⇔ 2x2 + 3x - 16 + 3/x + 2/x2 = 0
⇔ 2 (x2 + 1/x2) + 3 (x + 1/x) - 16 = 0 (2)
Đặt y = x + 1/x thì y2 - 2 = x2 + 1/x2
Phương trình (2) < => 2 (y2 - 2) + 3y - 16 = 0 ⇔ 2y2 + 3y - 20 = 0
Phương trình này có 2 nghiệm là: y1 = -4, y2 = 5/2.
Với y1 = -4 => x + 1/x = -4 ⇔ x2 + 4x + 1 = 0
Với y2 = 5/2 => x + 1/x = 5/2 ⇔ 2x2 - 5x + 2 = 0
=> Ta tìm đuợc 4 nghiệm là: x = -2 ± √ 3, x = 1/2, x = 2
Đáp số: D
Câu 4. Tìm số nghiệm của phương trình: 2x4 - 21x3 + 74x2 - 105x + 50 = 0 (1)?
A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. 4 nghiệm
Bài giải:
Nhận xét: x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương trình (1) cho x2 ta được:
Vậy phương trình có 4 nghiệm là x ∈ {1; 2; 5/2; 5}
Đáp án: D
Câu 5. Tìm số nghiệm của phương trình (x + 3)4 + (x - 5)4 = 1312 (1)?
A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. 4 nghiệm
Bài giải:
Đặt x = t + 1 => (1) ⇔ (t + 4)4 + (t - 4)4 = 1312
⇔ t4 + 96t2 - 400 = 0
⇔ t2 = 4 ⇔ t = ±2
Với t = 2 => x = 3
Với t = -2 => x = -1
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm.
Đáp án: B
Câu 6. Tìm số nghiệm của phương trình: (2x-1)(4x+5)(8x+3)(16x-15) = 99x2 (1)?
A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. 4 nghiệm
Bài giải:
Nhận xét: Với x = 0 không là nghiệm của phương trình nên
(1) ⇔ (32x2 + 52x + 15)(32x2 - 46x + 15) - 99x2 = 0
⇔ (36x + 52 + 15/x)(32x - 46 + 15/x) - 99 = 0 (2)
Đặt t = 32x + 15/x.
(2) < => (t + 52)(t - 46) - 99 = 0
⇔ t2 + 6t - 2491 = 0
⇔ t = 47, t = -53
Với t = 47 ⇔ 32x2 - 47x + 15 = 0 ⇔ x = 1, x = 15/32
Với t = -53 ⇔ 32x2 - 53x + 15 = 0 ⇔ x = (53 ± √ 889)/64
Vậy0 phương trình đã cho có 4 nghiệm là: {1,15/32, (53±√ 889)/64}
Đáp án: D
Câu 7. Tìm số nghiệm của phương trình: 10√ (x3 + 1) = 3 (x2 + 2) (1)?
A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. 4 nghiệm
Bài giải:
Điều kiện: x3 + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ -1
Biến đổi phương trình (1) ⇔ 
Đặt: √ (x+1) = a, √ (x2 - x + 1) = b, a ≥ 0, b ≥ 0
=> a2 + b2 = x2 + 2 khi đó phương trình trở thành:
10ab = 3 (a2 + b2)
⇔ 3a2 - 10ab + 3b2 = 0
⇔ (3a-b)(a-3b) = 0
⇔ 
+) Với 3a = b ta có: 3√ (x + 1) = √ (x2 - x + 1)
⇔ 9 (x + 1) = x2 - x + 1
⇔ x2 - 10x - 8 = 0
⇔ x = 5 ± √ 33 (thỏa mãn điều kiện)
+) Với a = 3b ta có: √ (x + 1) = 3√ (x2 - x + 1)
⇔ x + 1 = 9 (x2 - x + 1)
⇔ 9x2 - 10x + 8 = 0 (phương trình vô nghiệm)
Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = 5 ± √ 33
Đáp án: B
Câu 8. Tìm số nghiệm của phương trình: 4x (x - 1) = |2x - 1| + 1 (1)
A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. 4 nghiệm
Bài giải:
Ta có: (1) ⇔ 4x2 - 4x - |2x-1| - 1 = 0 (2)
Đặt t = |2x-1|, t ≥ 0 ⇒ t2 = 4x2 - 4x + 1 ⇒ 4x2 - 4x = t2 - 1
(2) ⇔ t2 - 1 - t - 1 = 0 ⇔ t2 - t - 2 = 0
⇔ 
Vì t ≥ 0 ⇒ t = -1 (loại)
Xét: t = 2 => |2x - 1| = 2
Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = 3/2 và x = -1/2
Đáp án: B
Câu 9. Tìm số nghiệm của phương trình: 
?
A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. 4 nghiệm
Bài giải:
Điều kiện xác định: x ∉ {0; (-1±√ 5)/2}
(1)Đặt t = x - 1/x phương trình (1) < => (t2 + 5)/ (t + 1) = 3
=> Phương trình có 4 nghiệm là x = (1 ± √ 5)/2; x = 1 ± √ 2
Đáp án: D
Câu 10. Cho phương trình ax4 + bx2 + c = 0 (1) (a ≠ 0). Đặt: Δ = b2 - 4ac, S = (-b)/a, P = c/a. Ta có (1) vô nghiệm khi và chỉ khi:
Bài giải:
Đặt t = x2 (t ≥ 0)
Phương trình (1) < => at2 + bt + c = 0 (2)
Phương trình (1) vô nghiệm ⇔ pt (2) vô nghiệm hoặc pt (2) có 2 nghiệm cùng âm.
Câu 11. Cho phương trình: x4 + x2 + m = 0. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Phương trình có nghiệm ⇔ m ≤ 1/4
B. Phương trình có nghiệmm ≤ 0
C. Phương trình vô nghiệm với mọi m
D. Phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ m = -2
Bài giải:
Đặt t = x2 (t ≥ 0)
Phương trình (1) thành t2 + t + m = 0 (2)
Phương trình (1)vô nghiệm
⇔ phương trình (2)vô nghiệm hoặc phương trình (2) có 2 nghiệm âm
Phương trình có nghiệm ⇔ m ≤ 0
Đáp án: B
Câu 12. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để phương trình:
có đúng 4 nghiệm.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Bài giải:
Đặt t = x2/ (x-1)
Phương trình (1) < => t2 + 2t + a = 0 (2)
Để (1) có đúng 4 nghiệm ⇔ pt (2) có 2 nghiệm dương phân biệt
Câu 13. Tìm m để phương trình: (x2 + 1/x2) - 2m (x + 1/x) + 1 + 2m = 0 có nghiệm.
A. -3/4 ≤ m ≤ 3/4
B. m ≥ 3/4
C. m ≤ -3/4
Bài giải:
Điều kiện x ≠ 0
Đặt t = x + 1/x => t ≤ -2 hoặc t ≥ 2.
Phương trình đã cho < => t2 - 2mt - 1 + 2m = 0 (1)
Nhận xét: phương trình (1) luôn có hai nghiệm là t1 = 1; t2 = 2m - 1.
Vậy để phương trình đã cho có nghiệm thì:
Đáp án: D
Câu 14. Xác định k để phương trình: x2 + 4/x2 - 4 (x - 2/x) + k - 1 = 0 có đúng hai nghiệm lớn hơn 1:
A. k < -8 B. -8 < k < 1 C. 0 < k < 1 D. Không tồn tại k
Bài giải:
Ta có: x2 + 4/x2 - 4 (x - 2/x) + k - 1 = 0
⇔ (x - 2/x)2 - 4 (x - 2/x) + k + 3 = 0 (1)
Đặt t = x - 2/x, phương trình (1) trở thành: t2 - 4t + k + 3 = 0 (2)
Nhận xét: Với mỗi nghiệm t của phương trình (2) cho ta hai nghiệm trái dấu của phương trình (1)
Ta có: Δ = 4 - (k + 1) = 1 - k
Từ nhận xét trên, phương trình (1) có đúng hai nghiệm lớn hơn 1 khi và chỉ khi
Đáp án: B
Câu 15. Xác định m để phương trình: (x2 + 2x + 4)2 – 2m (x2 + 2x + 4) + 4m – 1 = 0 có đúng hai nghiệm.
A. 3 < m < 4
B. m < 2 - √ 3 ∨ m > 2 + √ 3
C. 2 + √ 3 < m < 4
Bài giải:
Đặt t = x2 + 2x + 4 = (x+1)2 + 3 ≥ 3, phương trình đã cho tương đương
t2 - 2mt + 4m - 1 = 0 (2)
Nhận xét: Ứng với mỗi nghiệm t > 3 của phương trình (2) cho ta hai nghiệm của phương trình (1). => phương trình (1) có đúng hai nghiệm khi phương trình (2) có đúng một nghiệm t > 3
