Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng - Chuyên đề Toán 10

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho 2 đường thẳng d: x + 2y + 3 = 0 và d’: 2x + y + 3 = 0. Cho biết phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi d và d’?

A. x + y = 0 và x – y + 4 = 0.

B. x - y + 4 = 0 và x + y - 2 = 0.

C. x + y + 2 = 0 và x - y = 0

D. x + y + 1 = 0 và x - y - 3 = 0.

Bài giải:

Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi d và d’ là:

Vậy phương trình các đường phân giác tạo bởi d và d’ là:

x - y = 0 và x + y + 2 = 0

Đáp án: C.

Ví dụ 2. Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của các góc hợp bởi 2 đường thẳng ∆₁: x + 2y - 3 = 0 và ∆₂: 2x – y + 3 = 0.

A. x + 3y - 2 = 0 và x = 3y. B. 3x = - y và x - 3y - 6 = 0.

C. 3x + y = 0 và –x + 3y - 6 = 0. D. Đáp án khác

Bài giải:

Gọi điểm M có tọa độ (x; y) là điểm thuộc đường phân giác tạo bởi 2 đường thẳng đã cho.

⇒ d (M, Δ₁) = d (M, Δ₂) ⇒

⇒ x + 2y - 3 = ± (2x - y + 3) ⇒

Đáp án: C.

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có pt đoạn thẳng AB là: 2x - y + 4 = 0; AC: x - 2y - 6 = 0 và hai điểm B; C thuộc Ox. Phương trình phân giác ngoài của góc BAC là:

A. 3x - 3y - 2 = 0 B. x + y + 10 = 0 C. 3x + 3y + 2 = 0 D. x + y - 2 = 0

Bài giải:

Do 2 điểm B và C thuộc Ox nên tọa độ 2 điểm đó là: B (-2; 0) và C (6; 0).

Gọi M (x; y) thuộc đường phân giác của góc BAC

Ta có: d (M, AB) = d (M, AC) ⇔

⇔ |2x - y + 4| = |x - 2y - 6|

⇔

+ Xét vị trí 2 điểm B và C đối với đường thẳng x + y + 10 = 0.

Ta có: (-2 + 0 + 10). (6 + 0 + 10) > 0 nên hai điểm B và C nằm cùng phía so với đường thẳng x + y + 10 = 0.

=> Đường thẳng x + y + 10 = 0 là đường phân giác ngoài của góc BAC.

Đáp án: B.

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, tam giác ABC có A (0; 2), B (1; 2) và C (3; 6). Phương trình đường phân giác trong của góc A là:

A. 2x + y - 2 = 0 B. x - 2y + 4 = 0 C. 2x + y - 4 = 0 D. Đáp án khác

Bài giải:

+ Ta viết phương trình đường thẳng AB và AC:

Đường thẳng AB:

⇒ (AB): 0 (x - 0) + 1 (y - 2) = 0 hay y - 2 = 0

Đường thẳng AC:

⇒ (AC): 4 (x - 0) – 3 (y - 2) = 0 hay 4x - 3y + 6 = 0

=> Các đường phân giác góc A là:

⇔ |4x - 3y + 6| = 5|y - 2|

Đặt f (x; y) = x - 2y + 4

⇒ f (B).f (C) = (1 - 2.2 + 4) (3 - 2.6 + 4) = -5 < 0

⇒ B và C nằm khác phía so với đường thẳng: x - 2y + 4 = 0.

=> Đường phân giác trong góc A là: x - 2y + 4 = 0

Đáp án: B.

Ví dụ 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, tam giác ABC có: A (1; 5); B (-4; -5) và C (4; -1). Phương trình đường phân giác ngoài của góc A là?

A. y + 5 = 0 B. y - 5 = 0 C. x + 1 = 0 D. x - 1 = 0

Bài giải:

* Viết phương trình đường thẳng AB và AC:

+) Đường thẳng AB:

⇒ (AB): 2 (x - 1) – 1. ( y - 5) = 0 hay 2x - y + 3 = 0

+) Đường thẳng AC:

⇒ (AC): 2 (x - 1) + 1 (y - 5) = 0 hay 2x + y - 7 = 0

=> Các đường phân giác góc A là:

⇔ |2x - y + 3| = |2x + y - 7|

⇔

Đặt f (x; y) = y - 5

⇒ f (B).f (C) = (-5 - 5). (-1 - 5) = 60 > 0

⇒ B và C nằm cùng phía so với đường thẳng: y - 5 = 0.

=> Đường phân giác ngoài góc A là: y - 5 = 0

Đáp án: B.

Ví dụ 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho 2 đường thẳng d₁: 3x - 4y - 3 = 0 và d₂: 12x + 5y - 12 = 0. Phương trình đường phân giác góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng d₁ và d₂ là?

A. 3x + 11y - 3 = 0 B. 11x - 3y - 11 = 0 C. 3x - 11y - 3 =0 D. 11x + 3y - 11 = 0

Bài giải:

Các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng d₁ và d₂ là:

⇔ 13|3x - 4y - 3| = 5|12x + 5y - 12|.

Gọi I là giao điểm của d₁ và d₂; tọa độ I là nghiệm hệ:

+ Gọi đường thẳng d: 3x + 11y - 3 = 0. Lấy điểm M (-10; 3) thuộc đường thẳng d.

Gọi H là hình chiếu của M lên d₁.

Ta có: IM =

và MH = d (M; d₁) = = 9

Suy ra:

Vậy d: 3x + 11y - 3 = 0 là đường phân giác góc tù nên đường phân giác góc nhọn là: 11x - 3y - 11 = 0.

Đáp án: B.

Ví dụ 7. Cho đường thẳng d: 3x + 4y – 5 = 0 và 2 điểm A (1; 3); B (2; m). Xác định m để A và B nằm cùng phía đối với d?

A. m < 0 B. m > - 1/4

C. m > 1 D. m = - 1/4

Bài giải:

Hai điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng d khi và chỉ khi:

( 3 + 12 - 5)( 6 + 4m - 5) < 0 hay m > - 1/4

Đáp án: B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh AB: x + y - 1 = 0; AC: 7x - y + 2 = 0 và BC: 10x + y - 19 = 0. Viết phương trình đường phân giác trong góc A của tam giác ABC.

A. 12x + 4y - 3 = 0 B. 2x + 6y + 7 = 0 C. 12x + 6y - 7 = 0 D. 2x - 6y +7 = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

+ AB và BC giao nhau tại B nên tọa độ của B là nghiệm hệ:

⇒ B (2; -1)

+ AC và BC cắt nhau tại C nên tọa độ C là nghiệm hệ:

⇒ C (1; 9)

+ Phương trình các đường phân giác góc A là:

Đặt f₁( x; y) = 2x - 6y + 7 ta có f₁(B). f₁( C) < 0

=> B và C nằm khác phía so với d₁ và cùng phía so với d₂.

Vậy phương trình đường phân giác trong góc A là: 2x - 6y + 7 = 0

Câu 2: Cho tam giác ABC có: A (-2; -1); B (-1; 3) và C (6; 1).Viết phương trình đường phân giác ngoài góc A của tam giác ABC.

A. x - y + 1 = 0 B. 5x + 3y + 9 = 0 C. 3x + 3y - 5 = 0 D. x + y + 3 = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

+ Phương trình đường thẳng AB:

⇒ Phương trình AB: 4 (x + 2) – 1 (y + 1) = 0 hay 4x - y + 7 = 0

+ Phương trình đường thẳng AC:

⇒ Phương trình AC: 1 (x + 2) - 4 (y + 1) = 0 hay x - 4y – 2 = 0

+ Phương trình các đường phân giác góc A là:

Đặt f₁( x; y) = x + y + 3 ta có: f₁(B).f₁(C) > 0

Suy ra B và C nằm cùng phía so với d₁ và khác phía so với d₂.

Vậy phương trình đường phân giác ngoài góc A là: x + y + 3 = 0.

Câu 3: Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của các góc hợp bởi đường thẳng
∆: x + y = 0 và trục hoành Ox.

A. (1 + √ 2)x + y = 0; x - (1 - √ 2)y = 0. B. (1 + √ 2)x + y = 0; x + (1 - √ 2)y = 0.

C. (1 + √ 2)x - y = 0; x + (1 - √ 2)y = 0. D. Tất cả sai

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Gọi M (x; y) là điểm thuộc đường phân giác

Theo đầu bài ta có: d (M; ∆) = d (M; Ox)

⇒

⇔ |x + y| = √ 2|y|

⇔

Câu 4: Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của các góc hợp bởi 2 đường thẳng ∆₁: x + 2y - 3 = 0 và ∆₂: 2x - y + 3 = 0.

A. 3x + y = 0 và x - 3y = 0. B. 3x + y = 0 và x + 3y - 6 = 0.

C. 3x + y = 0 và – x + 3y - 6 = 0. D. 3x + y + 6 = 0 và x - 3y - 6 = 0.

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Gọi M (x; y) là điểm thuộc đường phân giác

⇒ d (M; ∆₁) = d (M; ∆₂) ⇒

⇒ x + 2y - 3 = ± (2x - y + 3) ⇒

Câu 5: Cho hai đường thẳng d: x + 2y + 3 = 0 và d’: 2x + y + 3 = 0. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi d và d’ là?

A. x + y = 0; x - y + 2 = 0 B. x - y = 0; x + y + 2 = 0

C. x + y + 2 = 0; x - y = 0 D. x + y - 2 = 0; x - y - 1 = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Ta có: M (x; y) thuộc đường phân giác khi và chỉ khi:

d (M; d) = d (M; d') ⇔

⇔ |x + 2y + 3| = |2x + y + 3| ⇔

Câu 6: Cho tam giác ABC có A (1; -2); B (2; 2) và C (5; -3). Viết phương trình đường phân giác trong xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC?

A. 5x + 3y + 1 = 0 B. 3x + 2y + 1 = 0 C. x + y + 1 = 0 D. 5x + 2y - 1 = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

+Ta có: AB =

AC =

⇒ AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

⇒ Đường phân giác trong xuất phát từ A đồng thời là đường trung tuyến.

+ Gọi M là trung điểm BC; tọa độ M:

+ Đường thẳng AM:

⇒ Phương trình AM: 5 (x - 1) + 3 (y + 2) = 0 hay 5x + 3y + 1 = 0

Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (2; -1); B (-1; 3) và C (4; -1). Phương trình đường phân giác ngoài của góc A là:

A. y + 5 = 0 B. x + 2y = 0 C. x + 1 = 0 D. 2x - y - 5 = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

+ Ta viết phương trình đường thẳng AB và AC:

Đường thẳng AB:

⇒ (AB): 4 (x - 2) + 3 (y + 1) = 0 hay 4x + 3y - 5 = 0

Đường thẳng AC:

⇒ (AC): 0 (x - 2) + 1 (y + 1) = 0 hay y + 1 = 0

Suy ra các đường phân giác góc A là:

⇔ |4x + 3y - 5| = 5|y + 1|

⇔

Đặt f (x; y) = 2x - y - 5

⇒ f (B).f (C) = (- 2 - 3 - 5). (2.4 + 1 - 5) = -40 < 0

⇒ B và C nằm khác phía so với đường thẳng 2x - y - 5 = 0

suy ra đường phân giác ngoài góc A là x + 2y = 0

Bài tiếp: Cách nhận dạng, xác định phương trình đường tròn: tìm tâm, bán kính - Chuyên đề Toán 10