Bài tập về nghiệm của phương trình bậc hai - Chuyên đề Toán 10

Câu 1. Số -1 là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau?

A. x² + 4x + 2 = 0

B. 2x² - 5x - 7 = 0

C. -3x² + 5x - 2 = 0

D. x³ - 1 = 0

Bài giải:

Thay x = -1 vào các đáp án đã cho ta được:

- A. Ta có: (-1)² + 4. (-1) + 2 = -1 ≠ 0 (loại)

- B. Ta có 2. (-1)² - 5. (-1) - 7 = 0 (thỏa mãn)

- C. Ta có -3. (-1)² + 5. (-1) - 2 = -10 ≠ 0 (loại)

- D. Ta có (-1)³ - 1 = -2 ≠ 0 (loại).

Đáp án: B

Câu 2. Nghiệm của phương trình x² - 7x + 12 = 0 có thể xem là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số nào sau đây?

A. y = x² và y = -7x + 12

B. y = x² và y = -7x - 12

C. y = x² và y = 7x + 12

D. y = x² và y = 7x - 12

Bài giải:

Ta có: x² - 7x + 12 = 0

⇔ x² = 7x - 12.

Như vậy, nghiệm của phương trình đã cho có thể xem là hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số y = x² và y = 7x - 12.

Đáp án: D

Câu 3. Nếu m ≠ 0 và n ≠ 0 là các nghiệm của phương trình x² + mx + n = 0 thì tổng m + n bằng:

A. -1/2 B. - 1 C. 1/2 D. 1

Bài giải:

Theo hệ thức Viet, ta có:

Câu 4. Cho phương trình: (√ 3 + 1)x² + (2 - √ 5)x + √ 2 - √ 3 = 0. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Phương trình vô nghiệm

B. Phương trình có 2 nghiệm dương

C. Phương trình có 2 nghiệm trái dấu

D. Phương trình có 2 nghiệm âm

Bài giải:

Ta có: P = √ 2 - √ 3 < 0 nên phương trình có 2 nghiệm trái dấu.

Đáp án: C

Câu 5. Hai số 1 - √ 2 và 1 + √ 2 là các nghiệm của phương trình nào?

A. x² – 2x – 1 = 0

B. x² + 2x – 1 = 0

C. x² + 2x + 1 = 0

D. x² – 2x + 1 = 0

Bài giải:

Ta có:

⇒ PT: x² - Sx + P = 0 ⇒ x² - 2x - 1 = 0

Đáp án: A

Câu 6. √ 2 và √ 3 là hai nghiệm của phương trình nào?

A. x² - (√ 2 - √ 3)x - √ 6 = 0

B. x² - (√ 2 + √ 3)x + √ 6 = 0

C. x² + (√ 2 + √ 3)x + √ 6 = 0

D. x² - (√ 2 - √ 3)x - √ 6 = 0

Bài giải:

Ta có:

Đáp án: B

Câu 7. Giả sử phương trình x² - 3x - m = 0 (m là tham số) có hai nghiệm là x₁, x₂. Tính giá trị biểu thức P = x₁²(1 - x₂) + x₂²(1 - x₁) theo m.

A. P = -m + 9

B. P = 5m + 9

C. P = m + 9

D. P = -5m + 9

Bài giải:

Ta có: P = x₁²(1 - x₂) + x₂²(1 - x₁) = x₁² - x₁².x₂ + x₂² - x₂².x₁

= x₁² + x₂² - x₁.x₂(x₁ + x₂) = (x₁ + x₂)² - 2x₁.x₂ - x₁.x₂(x₁ + x₂)

Theo định lý Viet, ta có:

Thay vào P, ta được P = 3² - 2 (-m) - (-m).3 = 5m + 9.

Đáp án: B

Câu 8. Cho hai phương trình x² - 2mx + 1 = 0 và x²- 2x + m = 0. Tồn tại hai giá trị của m để phương trình này có một nghiệm là nghịch đảo của một nghiệm của phương trình kia. Tính tổng S của hai giá trị m đó

A. S = -5/4 B. S = 1 C. S = -1/4 D. S = 1/4

Bài giải:

Gọi x₀ là nghiệm của phương trình: x² - 2mx + 1 = 0. Điều kiện: x₀ ≠ 0

=> 1/x₀ là nghiệm của phương trình: x² - 2x + m = 0

Khi đó, ta có hệ

Lấy (1) - (2), ta được: x₀²(1 - m) - 2x₀(m - 1) = 0

⇔ (m - 1)(x₀² + 2x₀) = 0

⇔

Với x₀ = - 2 thay vào (1), ta được:

(-2)² - 2m. (-2) + 1 = 0

⇔ m = -5/4

Vậy tổng tất cả giá trị của m cần tìm là: m₁ + m₂ = 1 - 5/4 = -1/4

Đáp án: C

Câu 9. Cho phương trình x² + px + q = 0, trong đó p > 0, q > 0. Nếu hiệu các nghiệm của phương trình là 1. Thế thì p bằng:

A. √ (4q + 1) B. √ (4q - 1) C. -√ (4q + 1) D. Đáp số khác

Bài giải:

Gọi x₁, x₂ là nghiệm của x² + px + q = 0.

Theo hệ thức Viet, ta có:

Ta có:

Đáp án: A

Câu 10. Nếu a, b, c, d là các số khác 0, biết c và d là nghiệm của phương trình x² + ax + b = 0 và a, b là nghiệm của phương trình x² + cx + d = 0. Tính: a + b + c + d.

A. -2 B. 0 C. (-1 + √ 5)/2 D. 2

Bài giải:

Vì c, d là hai nghiệm của phương trình: x² + ax + b = 0

=> c + d = -a (1)

Vì a, b là hai nghiệm của phương trình: x² + cx + d = 0

=> a + b = -c (2)

Ta có hệ như sau:

Lại có

Với a = -c thì từ (1) → d = 0 (loại vì mâu thuẫn với giả thiết)

Với a = c thì từ (1) → d = -2c và từ (2) → b = -2c

Ta có

Khi đó S = a + b + c + d = c - 2c + c - 2c = -2c = -2.1 = -2

Đáp án: A

Câu 11. Biết phương trình x² - 4x + m + 1 = 0 có một nghiệm bằng 3. Nghiệm còn lại của phương trình bằng bao nhiêu?

A. -1 B. 1 C. 2 D. 4

Bài giải:

Vì phương trình đã cho có nghiệm bằng 3 nên thay x = 3 vào phương trình, ta được:

9 - 12 + m + 1 = 0

⇔ m = 2

Với m = 2 phương trình trở thành:

x² - 4x + 3 = 0 ⇔

Vậy nghiệm còn lại của phương trình là 1

Đáp án: B

Câu 12. Có mấy giá trị của a để hai phương trình: x² + ax + 1 = 0 và x² – x – a = 0 có một nghiệm chung?

A. 0 B. vô số C. 3 D. 1

Bài giải:

Ta có:

Đáp án: D

Câu 13. Cho phương trình: x² – 2a (x – 1) – 1 = 0. Khi tổng các nghiệm và tổng bình phương các nghiệm của phương trình bằng nhau thì giá trị của tham số a bằng bao nhiêu?

A. a = 1/2 hay a = 1

B. a = –1/2 hay a = –1

C. a = 3/2 hay a = 2

D. a = –3/2 hay a = –2

Bài giải:

Ta có: x² – 2a (x – 1) – 1 = 0 ⇔

Yêu cầu bài toán:

x₁ + x₂ = x₁² + x₂²

⇒ x₁ + x₂ = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂

⇒ 2a = 4a² - 4a + 2

⇒

Đáp án: A

Câu 14. Giả sử x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình: x² + 3x – 10 = 0. Giá trị của tổng 1/x₁ + 1/x₂ là?

A. 10/3 B. – 3/10 C. 3/10 D. – 10/3

Bài giải:

Ta có:

Đáp án: C

Câu 15. Nếu biết các nghiệm của phương trình (1) x² + px + q = 0 là lập phương các nghiệm của phương trình (2) x²+mx+n=0. Khi đó

A. p + q = m³ B. p = m³ + 3mn C. p = m³ - 3mn D. Đáp số khác

Bài giải:

Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là x₁, x₂

Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt là x₃, x₄

Theo bài ra, ta có:

⇔ x₁ + x₂ = x₃³ + x₄³ = (x₃ + x₄) [(x₃ + x₄)² - 3x₃x₄] (*)

Theo hệ thức Viet, ta có , thay vào (*), ta được

- p = - m (m² - 3n)

Vậy p = m (m² - 3n) = m³ - 3mn

Đáp án: C

Câu 16. Gọi x₁, x₂ là 2 nghiệm của phương trình 2x² – 4x – 1 = 0. Tính giá trị của T = |x₁ - x₂|?

A. √ 2 B. 2 C. √ 6 D. 4

Bài giải:

Đáp án: C

Câu 17. Gọi x₁, x₂ là các nghiệm của phương trình x² – 3x – 1 = 0. Ta có tổng x₁² + x₂² bằng:

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11.

Bài giải:

Ta có: x₁ + x₂ = 3; x₁x₂ = -1

⇒ x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = 11

Đáp án: D

Câu 18. Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình x² - mx + m - 1 = 0 (m là tham số). Tìm giá trị nhỏ nhất P_min của biểu thức

A. P_min = -2 B. P_min = -1/2 C. P_min = 0 D. P_min = 1

Bài giải:

Ta có Δ = m² - 4 (m - 1) = (m - 2)² ≥ 0, với mọi m

Do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

Theo hệ thức Viet, ta có

Suy ra: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = m² - 2 (m - 1) = m² - 2m + 2

Khi đó

Vậy P ≥ -1/2, ∀ m ∈ R. Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi m = -2

Đáp án: B

Câu 19. Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình: x² - 2 (m-1)x + 2m² - 3m + 1 = 0 (m là tham số). Tìm giá trị lớn nhất P_max của biểu thức P = |x₁ + x₂ + x₁x₂|?

A. P_max = 1/4 B. P_max = 1 C. P_max = 9/8 D. P_max = 9/16

Bài giải:

Ta có: Δ ' = (m - 1)² - (2m² - 3m + 1) = -m² + m = m (1 - m)

Để phương trình đã cho có hai nghiệm ⇔ Δ ' ≥ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 1. (*)

Theo định lý Viet, ta có

Khi đó

Vì:

Dấu "=" xảy ra < => m = 1/4 thỏa mãn (*)

Đáp án: C

Câu 20. Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình: 2x² + 2mx + m² - 2 = 0 (m là tham số). Tìm giá trị lớn nhất P_max của biểu thức P = |2x₁x₂ + x₁ + x₂ - 4|

A. P_max = 4 B. P_max = 2 C. P_max = 25/4 D. P_max = 9/4

Bài giải:

Ta có Δ ' = m² - 2 (m² - 2) = -m² + 4

Để phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi Δ ' = 4 - m² ≥ 0 ⇔ -2 ≤ m ≤ 2 (*)

Theo định lý Viet, ta có

Khi đó: A = |2x₁x₂ + x₁ + x₂ - 4| = |m² - m - 6| = | (m + 2)(m - 3)| = - (m + 2)(m - 3)

= -m² + m + 6 = - (m - 1/2)² + 25/4 ≤ 25/4 (do -2 ≤ m ≤ 2)

Dấu "=" xảy ra < => m = 1/2 thỏa mãn (*)

Đáp án: C

Bài trước: Dạng 5: Nghiệm của phương trình bậc hai - Chuyên đề Toán 10 Bài tiếp: Dạng 6: Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối - Chuyên đề Toán 10