Dạng 9: Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai - Chuyên đề Toán 10

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình 2x⁴ - 5x³ + 6x² - 5x + 2 = 0

Bài giải:

Ta thấy: x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương trình cho x² ta được:

2 (x² + 1/x²) - 5 (x + 1/x) + 6 = 0

Đặt t = x + 1/x

⇒ x² + 1/x² = (x + 1/x)² - 2 = t² - 2

Ta có phương trình: 2 (t² - 2) - 5t + 6 = 0

⇔ 2t² - 5t + 2 = 0 ⇔

+ t = 2 ⇒ x + 1/x = 2 ⇔ x² - 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1

+ t = 1/2 ⇒ x + 1/x = 1/2 ⇔ 2x² - x + 2 = 0 (vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1

Bài 2: Giải phương trình x (x + 1)(x + 2)(x + 3) = 24

Bài giải:

Phương rình tương đương với (x² + 3x)(x² + 3x + 2) = 24

Đặt t = x² + 3x, phương trình trở thành

t (t+2) = 24 ⇔ t² + 2t - 24 = 0 ⇔

+ t = -6 ⇒ x² + 3x = -6 ⇔ x² + 3x + 6 = 0 (Phương trình vô nghiệm)

+ t = 4 ⇒ x² + 3x = 4 ⇔ x² + 3x - 4 = 0 ⇔

Vậy phương rình có nghiệm là x = -4 và x = 1

Bài 3: Giải phương trình 4 (x+5)(x+6)(x+10)(x+12) = 3x²

Bài giải:

Phương trình tương đương với 4 (x² + 17x + 60)(x² + 16x + 60) = 3x² (*)

Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình.

Xét x ≠ 0, chia hai vế cho x² ta có

(*)⇔ 4 (x + 17 + 60/x)(x + 16 + 60/x) = 3

Đặt y = x + 16 + 60/x phương trình trở thành

4 (y+1)y = 3 ⇔ 4y² + 4y - 3 = 0 ⇔

Với y = 1/2 ta có x + 16 + 60/x = 1/2 ⇔ 2x² + 31x + 120 = 0

⇔

Với y = -3/2 ta có x + 16 + 60/x = -3/2 ⇔ 2x² + 35x + 120 = 0

⇔

Vậy phương trình có nghiệm là x = -8, x = -15/2 và

Bài 4: Giải phương trình (x+1)⁴ + (x+3)⁴ = 2

Bài giải:

Đặt x = t - 2 phương trình trở thành (t-1)⁴ + (t+1)⁴ = 2 ⇔ t⁴ + 6t² = 0 ⇔ t²(t² + 6) = 0 ⇔ t = 0

Suy ra x = -2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -2

Bài 5: Giải phương trình:

Bài giải:

Điều kiện: x ≠ 2; x ≠ 3

Đặt u = (x+1)/ (x-2); v = (x-2)/ (x-3) ta được u² + uv = 12v²

⇔ (u - 3v)(u + 4v) = 0 ⇔ u = 3v; u = -4v

+) u = 3v ⇔ (x+1)/ (x-2) = 3 (x-2)/ (x-3) ⇔ x² + 4x + 3 = 3x² - 12x + 12

⇔ 2x² - 16x + 9 = 0 ⇔ x = (8 ± √ 46)/2

+) u = -4v ⇔ (x+1)/ (x-2) = -4 (x-2)/ (x-3) ⇔ x² + 4x + 3 = -4x² + 16x - 16

⇔ 5x² - 12x + 19 = 0 (Vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = (8 ± √ 46)/2

Bài trước: Bài tập phương trình chứa ẩn dưới dấu căn - Chuyên đề Toán 10 Bài tiếp: Bài tập phương trình quy về phương trình bậc hai - Chuyên đề Toán 10