Lập phương trình đường tròn thỏa mãn điều kiện cho trước - Chuyên đề Toán 10

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục tung tại điểm A (0; - 2) và đi qua điểm B (4; -2) là... ?

A. (x - 2)² + (y + 2)² = 4 B. (x + 2)² + (y - 2)² = 4

C. (x - 3)² + (y - 2)² = 4 D. (x - 3)² + (y + 2)² = 4

Bài giải:

+ Phương trình đường thẳng AB:

⇒ Phương trình (AB): 0 (x - 0) + 1 (y + 2) = 0 hay y + 2 = 0

⇒ Đường thẳng AB vuông góc với trục tung (1)

+ Lại có: đường tròn (C) tiếp xúc trục tung tại điểm A (0; -2) và đi qua điểm B (4; -2) (2)

Từ (1) và (2) => AB là đường kính của đường tròn (C).

⇒ Tâm I của đường tròn là trung điểm AB và có tọa độ: ⇒ I (2; -2)

Bán kính đường tròn là R = IA = = 2

Vậy phương trình đường tròn (C) là: (x - 2)² + (y + 2)² = 4.

Đáp án: A.

Ví dụ 2: Phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A (1; 3); B (3; 1) và có tâm nằm trên đường thẳng d: 2x - y + 7 = 0 là... ?

A. (x - 7)² + (y - 7)² = 102 B. (x + 7)² + (y + 7)² = 164

C. (x - 3)² + (y - 5)² = 25 D. (x + 3)² + (y + 5)² = 25

Bài giải:

Gọi I (a; b) là tâm của đường tròn (C).

Do hai điểm A và B cùng thuộc đường tròn nên: IA = IB ⇔ IA² = IB²

⇔ (a - 1)² + (b - 3)² = (a - 3)² + (b - 1)²

⇔ a² - 2a + 1 + b² - 6b + 9 = a² - 6a + 9 + b² - 2b + 1

⇔ a = b (1)

Mà điểm I (a; b) thuộc đường thẳng d: 2x - y + 7 = 0 nên 2a - b + 7 = 0 (2)

Từ (1) và (2) => ⇒ I (- 7; -7)

⇒ Bán kính đường tròn là R = IA = = √ 164

Vậy phương trình đường tròn (C) là: (x + 7)² + (y + 7)² = 164

Đáp án: B

Ví dụ 3: Phương trình đường tròn (C) có tâm I (6; 2) và tiếp xúc ngoài với đường tròn
(C'): x² + y² - 4x + 2y + 1 = 0 là:

A. x² + y² - 12x - 4y - 9 = 0 B. x² + y² - 6x - 12y + 31 = 0

C. x² + y² + 12x + 4y + 31 = 0 D. x² + y² - 12x - 4y + 31 = 0

Bài giải:

Phương trình đường tròn (C'): x² + y² - 4x + 2y + 1 = 0 có tâm I’ (2; -1) bán kính R’ = 2.

Độ dài đoạn II’ = = 5

Đường tròn (C) tâm I (6; 2) tiếp xúc ngoài với (C’) khi và chỉ khi:

II’ = R + R’ ⇒ R = II’- R’ = 5 - 2 = 3.

Đường tròn (C) có tâm I (6; 2) và bán kính R = 3.

⇒ Phương trình đường tròn là: ( x - 6)² + (y - 2)² = 9

hay x² + y² - 12x - 4y + 31 = 0.

Đáp án: D.

Ví dụ 4: Cho phương trình đường tròn (C) là: (x + 1)² + (y - 3)² = 4 và đường thẳng
d: 3x - 4y + 5 = 0. Phương trình của đường thẳng d’ song song với đường thẳng d và chắn trên (C) một dây cung có độ dài lớn nhất là... ?

A. 4x + 3y + 13 = 0. B. 3x - 4y + 25 = 0.

C. 3x - 4y + 15 = 0. D. 4x + 3y + 20 = 0

Bài giải:

+ Đường tròn (C) có tâm I (- 1; 3) và R = 2.

+ Do đường thẳng d’// d nên d’ có dạng: 3x - 4y + c = 0 (c≠ 5).

+ Để đường thẳng d’chắn trên (C) một dây cung có độ dài lớn nhất khi và chỉ khi đường thẳng d’ đi qua tâm I (-1; 3) của đường tròn

⇒ 3. ( - 1) – 4.3 + c = 0 ⇔ - 15 + c = 0 nên c = 15

Vậy phương trình đường thẳng d’ là: 3x - 4y + 15 = 0.

Đáp án: C.

Ví dụ 5: Đường tròn (x - a)² + (y - b)² = R² cắt đường thẳng x + y - a - b = 0 theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?

A. 2R B. R√ 2 C. D. R

Bài giải:

Ta có: Đường tròn tâm I (a; b), bán kính R.

Vì tâm I (a; b) thuộc đường thẳng x + y - a - b = 0 nên độ dài của dây cung bằng độ dài đường kính bằng 2R.

Đáp án: A.

Ví dụ 6. Đường tròn (C) đi qua hai điểm A (2; -3); B (1; -2) và có tâm I thuộc trục hoành có phương trình là:

A. ( x + 2)² + y² = 10 B. ( x - 4)² + y² = 13

C. (x + 4)² + y² = 16 D. (x + 2)² + y² = 12

Bài giải:

Gọi I (a; 0) là tâm đường tròn (I thuộc trục hoành).

Do đường tròn đi qua hai điểm A và B nên: IA = IB

⇔ IA² = IB² ⇔ (a - 2)² + (0 + 3)² = (a - 1)² + (0 + 2)²

⇔ a² - 4a + 4 + 9 = a² - 2a + 1 + 4

⇔ - 2a = - 8 ⇔ a = 4.

⇒ Vậy tâm I (4; 0) và bán kính R = IA = = √ 13

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: ( x - 4)² + y² = 13

Đáp án: B.

Ví dụ 7. Phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A (1; 1); B (3; 5) và có tâm I thuộc trục tung là... ?

A. x² + y² - 8y + 6 = 0 B. x² + (y - 4)² = 10

C. x² + (y + 4)² = 6 D. x² + y² + 4y + 6 = 0

Bài giải:

Gọi I (0; a) là tâm đường tròn (C) (I thuộc trục tung).

Do đường tròn đi qua hai điểm A và B nên: IA = IB

⇔ IA² = IB²

⇔ (1 - 0)² + (1 - a)² = (3 - 0)² + (5 - a)²

⇔ 1 + 1 - 2a + a² = 9 + 25 - 10a + a²

⇔ 8a = 32

⇔ a = 4

⇒ Tâm đường tròn có tọa độ là I (0; 4) và bán kính R = IA = √ 10.

Vậy đường tròn cần tìm là: x² + (y - 4)² = 10

Bài giải: B.

Ví dụ 8. Đường tròn (C) có tâm I thuộc đường thẳng d: x + 3y - 5 = 0, bán kính R = 2√ 2 và tiếp xúc với đường thẳng ∆: x - y - 1 = 0. Phương trình của đường tròn (C) là... ?

A. (x + 1)² + (y - 2)² = 8 hoặc (x - 5)² + y² = 8.

B. (x + 1)² + (y - 2)² = 8 hoặc (x + 5)² + y² = 8.

C. (x - 1)² + (y + 2)² = 8 hoặc (x - 5)² + y² = 8.

Bài giải:

Do điểm I thuộc đường thẳng d nên tọa độ điểm I (5 - 3a; a).

Do đường tròn tiếp xúc với đường thẳng ∆ nên d (I; ∆) = R

⇔ = 2√ 2

⇔ |4 - 4a| = 4

⇔

⇒ Vậy có hai đường tròn thỏa mãn là: (x - 5)² + y² = 8 và (x + 1)² + (y - 2)² = 8

Đáp án: A.

Ví dụ 9. Đường tròn (C) có tâm I thuộc đường thẳng d: x + 2y - 2 = 0, bán kính R = 5 và tiếp xúc với đường thẳng ∆: 3x - 4y - 11 = 0. Biết tâm I có hoành độ dương. Xác định phương trình của đường tròn (C)?

A. (x + 8)² + (y - 3)² = 25.

B. ( x - 2)² + (y + 2)² = 25 hoặc (x + 8)² + (y - 3)² = 25.

C. (x + 2)² + (y - 2)² = 25 hoặc (x - 8)² + (y + 3)² = 25.

D. (x - 8)² + (y + 3)² = 25.

Bài giải:

Do tâm I của đường tròn thuộc đường thẳng d nên tọa độ điểm I (2 - 2a; a) với a < 1 (vì tâm I có hoành độ dương).

Do đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng ∆ nên d (I; ∆) = R

⇔ = 5

⇔ |-5 - 10a| = 25

⇔

+) Với a = -3 thì tâm I (8; - 3). Khi đó phương trình đường tròn là:

(x - 8)² + (y + 3)² = 25.

Đáp án: D.

Ví dụ 10. Đường tròn (C) đi qua hai điểm A (-1; 1); B (3; 3) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: 3x - 4y + 8 = 0. Lập phương trình đường tròn (C), biết tâm của (C) có hoành độ nhỏ hơn 5.

A. (x - 3)² + (y + 2)² = 25 B. (x + 3)² + (y - 2)² = 5

C. (x + 5)² + (y + 2)² = 5 D. (x - 5)² + (y - 2)² = 25.

Bài giải:

+ Phương trình đường thẳng AB:

⇒ Phương trình AB: 1 (x + 1) – 2 (y - 1) = 0 hay x - 2y + 3 = 0.

+ Do hai điển A, B thuộc đường tròn nên IA = IB trong đó I là tâm đường tròn

⇒ I thuộc đường trung trực d của AB.

+ Phương trình đường trung trực d của AB là:

⇒ (d): 4 (x - 1) + 2 (y - 2) = 0 hay (d): 2x + y - 4 = 0.

Do tâm I thuộc đường thẳng d nên I (a; 4 - 2a) với a < 5

+ Mà đường tròn tiếp xúc với đường thẳng ∆ nên R = IA = d (I; ∆)

⇔

⇔ 5 = |11a - 8|

⇔ 25 (a² + 2a + 1 + 9 - 12a + 4a²) = 121a² - 176a + 64

⇔ 25 (5a² - 10a + 10) – 121a² + 176a - 64 = 0

⇔ 125a² - 250a + 250 - 121a² + 176a - 64 = 0

⇔ 4a² - 74a + 186 = 0

⇔

Với a = 3 thì tâm I (3; -2) và bán kính R = IA = 5

Vậy phương trình đường tròn là: ( x - 3)² + (y + 2)² = 25

Đáp án: A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Đường tròn (C): x² + y² + 4x - 6y + 5 = 0. Tìm phương trình đường thẳng d đi qua điểm A (3; 2) và cắt (C) theo một dây cung dài nhất là... ?

A. x + y - 5 = 0 B. x - 5y + 7 = 0. C. x + 5y - 13 = 0. D. x - 2y + 5 = 0.

Câu 2: Cho đường tròn (C): x² + y² + 4x - 6y + 5 = 0. Phương trình đường thẳng d đi qua A (0; 2) và cắt (C) theo một dây cung ngắn nhất là... ?

A. 2x - y + 2 = 0 B. x + y - 1 = 0 C. x - y - 1 = 0 D. x - y + 1 = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

+ Đường tròn (C) tâm I (-2; 3) và bán kính R = = √ 8

IA = = √ 5 < R

⇒ Điểm A nằm trong đường tròn (C).

+ Giả sử đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm M và N.

Gọi H là trung điểm của MN thì IH vuông MN (quan hệ đường kính và dây trong đường tròn).

Dây cung MN ngắn nhất ⇔ IH lớn nhất ⇔ H trùng A.

Đường thẳng d ≡ MN:

Vậy d có phương trình: 2 (x - 0) – 1 (y - 2) = 0 hay 2x - y + 2 = 0

Câu 3: Cho đường tròn (C): x² + y² + 6x - 2y + 5 = 0 và đường thẳng d đi qua điểm
A (-4; 2), cắt (C) tại hai điểm M; N sao cho A là trung điểm của MN. Lập phương trình của đường thẳng d?

A. x - y + 6 = 0. B. 7x - 3y + 34 = 0. C. 7x - 3y + 30 = 0. D. 7x - y + 35 = 0.

Câu 4: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A (- 2; 1); B (3; 5) và điểm M thỏa mãn

= 90⁰

A. x² + y² - x - 6y - 1 = 0 B. x² + y² + x + 6y - 1 = 0

C. x² + y² + 5x - 4y + 11 = 0 D. x² + y² - 5x + 4y - 11 = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Do đường tròn (C) cần tìm đi qua hai điểm A; B và M thỏa mãn IMG_23 = 90⁰ nên M nằm trên đường tròn đường kính AB.

Bài toán trở thành viết phương trình đường tròn đường kính AB.

Gọi I là tâm đường tròn thì I là trung điểm của AB nên tọa độ điểm I:

⇒ I (1/2; 3) và bán kính R = 1/2 AB = 1/2 = 1/2 √ 41 nên đường tròn (C) có phương trình.

(x - 1/2 )² + (y - 3)² = 41/4

⇔ x² + y² - x - 6y - 1 = 0

Câu 5: Đường tròn (C) đi qua hai điểm A (- 1; 2); B (- 2; 3) và có tâm I thuộc đường thẳng ∆: 3x - y + 10 = 0. Phương trình của đường tròn (C) là:

A. (x + 3)² + (y - 1)² = 5 B. (x - 2)² + (y - 3)² = 10

C. ( x - 4)² + (y - 1)² = 16 D. ( x + 1)² + (y - 13)² = 25

Câu 6: Đường tròn (C) có tâm I thuộc đường thẳng d: x + 3y + 8 = 0, đi qua điểm
A (- 2; 1) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: 3x - 4y + 10 = 0. Phương trình của đường tròn (C) là:

A. (x - 2)² + (y + 2)² = 25 B. (x + 5)² + (y + 1)² = 16.

C. (x + 2)² + (y + 2)² = 9 D. (x - 1)² + (y + 3)² = 25.

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

+ Dễ thấy điểm A thuộc ∆. Mà đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn nên tâm I của đường tròn nằm trên đường thẳng (a) qua A vuông góc với ∆.

+ Đường thẳng (a):

⇒ Phương trình đường thẳng (a): 4 (x + 2) + 3 (y - 1) = 0 hay 4x + 3y + 5 = 0

+ Đường thẳng (a) và d cắt nhau tại I nên tọa độ điểm là nghiệm hệ phương trình:

⇒ I (1; - 3)

Bán kính đường tròn là R = IA = = 5

Vậy phương trình đường tròn là: ( x - 1)² + (y + 3)² = 25

Câu 7: Phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc đường thẳng d: x + 5y - 12 = 0 và tiếp xúc với hai trục tọa độ là.... ?

A. (x - 2)² + (y - 2)² = 4.

B. (x - 3)² + (y + 3)² = 9.

C. (x - 2)² + (y - 2)² = 4 hoặc (x - 3)² + (y + 3)² = 9.

D. (x - 2)² + (y - 2)² = 4 hoặc (x + 3)² + (y - 3)² = 9.

Câu 8: Đường tròn (C) có tâm I thuộc đường thẳng ∆: x = 5 và tiếp xúc với hai đường thẳng d₁: 3x - y + 3 = 0; d₂: x - 3y + 9 = 0 có phương trình là:

A. (x - 5)² + (y + 2)² = 40 hoặc (x - 5)² + (y - 8)² = 10

B. (x - 5)² + (y + 2)² = 40

C. (x - 5)² + (y - 8)² = 10

D. (x - 5)² + (y - 2)² = 40 hoặc (x - 5)² + (y + 8)² = 10

Câu 9: Lập phương trình đường tròn (C) đi qua điểm A (1; - 2) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: x - y + 1 = 0 tại M (1; 2).

A. (x - 6)² + y² = 29 B. (x - 5)² + y² = 20

C. (x - 4)² + y² = 13 D. (x – 3)² + y² = 8

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

+ Do đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại điểm M nên tâm I của đường tròn nằm trên đường thẳng (a) qua M vuông góc với ∆.

Phương trình đường thẳng (a):

⇒ Phương trình (a): 1 (x - 1) + 1 (y - 2) = 0 hay x + y - 3 = 0

+ Tâm I thuộc đường thẳng (a) nên I (x; 3 - x)

Vì hai điểm M và A thuộc đường tròn nên R = IA = IM

⇔ IA² = IM² ⇔ (x - 1)² + (3 - x + 2)² = (x - 1)² + (3 - x - 2)²

⇔ (5 - x)² = (1 - x)² ⇔ 25 - 10x + x² = 1 - 2x + x²

⇔ 8x = 24 ⇔ x = 3

⇒ Tâm đường tròn là I (3; 0) và bán kính R = IA = = 2√ 2

⇒ Phương trình đường tròn là: ( x - 3)² + y² = 8

Câu 10: Đường tròn (C) đi qua hai điểm A (1; 2); B (3; 4) và tiếp xúc với đường thẳng
∆: 3x + y - 3 = 0. Viết phương trình đường tròn (C), biết tâm của (C) có tọa độ là những số nguyên.

A. x² + y² - 2x + 4y - 1 = 0 B. x² + y² - 6x – 4y + 5 = 0

C. x² + y² - 8x - 2y - 10 = 0 D. x² + y² - 8x - 2y + 7 = 0

Câu 11: Cho đường tròn (C): x² + y² - 2x + 6y + 6 = 0 và đường thẳng
d: 4x - 3y + 5 = 0. Đường thẳng d’ song song với đường thẳng d và chắn trên (C) một dây cung có độ dại bằng 2√ 3 có phương trình là

A. 4x - 3y + 8 = 0. B. 4x - 3y - 8 = 0 hoặc 4x - 3y – 18 = 0

C. 4x - 3y - 8 = 0. D. Tất cả sai

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

+ Đường tròn (C) có tâm I (1; -3) và bán kính R = 2.

+ Do đường thẳng d’ // d: 4x - 3y + 5 = 0 nên đường thẳng d’ có dạng 4x - 3y + m = 0
(m ≠ 5).

Giả sử đường thẳng d’cắt đường tròn tại M và N.

Vẽ IH ⊥ MN ⇒ HM = √ 3 ⇒ IH² = R² - HM² = 4 - 3 = 1.

⇒ IH = 1.

d (I, d') = IH ⇔

= 1 ⇔ |m + 13| = 5 ⇔

Vậy: