Dạng 4: Ứng dụng của hàm số bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất - Chuyên đề Toán 10

Ứng dụng của hàm số bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất

1. Phương pháp giải.

Dựa vào đồ thị (bảng biến thiên) của hàm số y = ax2 + bx + c, a ≠ 0 ta thấy nó đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên [α; β] tại điểm x = α hoặc x = β hoặc x = -b/ (2a). Cụ thể:

Trường hợp 1: a > 0

Trường hợp 2: a < 0:

2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Cho phương trình: x² + 2 (m + 3)x + m² - 3 = 0, m là tham số.

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ và P = 5 (x₁ + x₂) - 2x₁x₂ đạt giá trị lớn nhất.

Bài giải:

Ta có: Δ ' = (m + 3)² - (m² - 3) = 6m + 12

Phương trình có nghiệm ⇔ Δ ' ≥ 0

⇔ 6m + 12 ≥ 0

⇔ m ≥ -2

Theo định lý Viét ta có:

P = 5 (x₁ + x₂) - 2x₁x₂ = -10 (m + 3) - 2 (m² - 3) = -2m² - 10m - 24.

Xét hàm số f (m) = -2m² - 10m - 24 với m ∈ [-2; +∞)

Ta có bảng biến thiên như sau:

=>⇔ m = -2

Vậy m = -2 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Bài giải:

Khi đó hàm số có dạng y = t² - 3t + 1 với t ≥ 1

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số y = t² - 3t + 1 là (-5)/4 khi và chỉ khi t = 3/2 hay

Ví dụ 3: Cho các số thực a, b thoả mãn ab ≠ 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P?

Bài giải:

Ta có: P = t² - 2 - t + 1 = t² - t - 1

Xét hàm số f (t) = t² - t - 1 với t ∈ (-∞; -2] ∪ [2; +∞)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có: