Bài tập tổng hợp: Bài tập về hàm số bậc hai - Chuyên đề Toán 10

Bài tập tổng hợp: Bài tập về hàm số bậc hai

Bài 1: Xác định phương trình của Parabol (P): y = x² + bx + c (P) trong các trường hợp sau:

a) (P) đi qua điểm A (1; 0) và B (-2; -6).

b) (P) có đỉnh I (1; 4)

c) (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 và có đỉnh S (-2; -1).

Bài giải:

a) Vì (P) đi qua điểm A (1; 0) và B (-2; -6) nên:

Vậy phương trình của Parabol (P) là: y = x² + 3x - 4.

b) Vì (P) có đỉnh I (1; 4) nên:

Vậy phương trình của Parabol (P) là: y = x² - 2x + 5.

c) (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 => c = 3

(P) có đỉnh S (-2; -1)

=>

Vậy phương trình của Parabol (P) có dạng: y = x² + 4x + 3.

Bài 2: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) y = x² - 3x + 2

b) y = -2x² + 4x

Bài giải:

a) Ta có:

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số y = x² - 3x + 2 có đỉnh là I (3/2; -1/4), đi qua các điểm có tọa độ: A (2; 0); B (1; 0), C (0; 2).

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 3/2 làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên.

b) Ta có:

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số y = -2x² + 4x có đỉnh là I (1; 2), đi qua các điểm O, B có tọa độ: O (0; 0), B (2; 0).

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới.

Bài 3: Cho hàm số y = -x² - 2x + 2

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số trên

b) Tìm m để đồ thị hàm số trên cắt đường thẳng y = m tại hai điểm phân biệt

c) Sử dụng đồ thị, hãy nêu các khoảng trên đó hàm số chỉ nhận giá trị âm

d) Sử dụng đồ thị, hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [-3; 1]

Bài giải:

a) Ta có:

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số y = -x² - 2x + 3 có đỉnh là I (-1; 4), đi qua các điểm: A (1; 0), B (-3; 0).

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = -1 làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới.

b) Đường thẳng y = m song song hoặc trùng với trục hoành => Dựa vào đồ thị ta có:

Với m < 4 đường thẳng y = m và parabol y = -x² - 2x + 3 cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

c) Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm hoàn toàn trên trục hoành

=> Hàm số chỉ nhận giá trị âm < => x ∈ (-∞; -2) ∪ (1; +∞).

d) Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Bài 4: Vẽ đồ thị của hàm số sau:

a) y = -x² - 2|x| + 3

Bài giải:

a) Vẽ đồ thị hàm số (P): y = -x² - 2x + 3 có đỉnh I (-1; - 4), trục đối xứng x = -1, đi qua các điểm A (1; 0), B (-3; 0). Bề lõm hướng xuống dưới.

Khi đó (P₁) là đồ thị hàm số y = -x² - 2|x| + 3 là gồm phần bên phải trục tung của (P) và phần lấy đối xứng của nó qua trục tung.

b) Gọi (P₂) là phần đồ thị của (P) nằm trên trục hoành và lấy đối xứng của phần nằm dưới trục hoành qua trục Ox.

Vậy đồ thị hàm số: gồm phần bên đồ thị bên phải đường thẳng x = 1 của (P₂) và phần đồ thị bên trái đường thẳng x = 1 của (P₁).

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y = x⁴ - 4x² - 1 trên [-1; 2]

Bài giải:

Đặt t = x². Với x ∈ [-1; 2] ta có t ∈ [0; 4]

Hàm số trở thành f (t) = t² - 4t - 1 với t ∈ [0; 4].

Bảng biến thiên

Suy ra:

Bài 6: Cho các số x, y thoả mãn: x² + y² = 1 + xy. Chứng minh rằng:

1/9 ≤ x⁴ + y⁴ - x²y² ≤ 3/2

Bài giải:

Đặt P = x⁴ + y⁴ - x²y²

Ta có: P = x⁴ + y⁴ - x²y² = (x² + y²)² - 3x²y² = (1 + xy)² - 3x²y² = -2x²y² + 2xy + 1

Đặt t = xy, khi đó P = -2t² + 2t + 1

Xét hàm số f (t) = -2t² + 2t + 1 trên [(-1)/3; 1]

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có: