Dạng 1: Tìm tập xác định của phương trình - Chuyên đề Toán 10

Cách tìm tập xác định của phương trình hay, chi tiết

Lý thuyết & Phương pháp giải

1. Khái niệm phương trình một ẩn

Cho hai hàm số y = f (x) và y = g (x) có tập xác định lần lượt là Df và Dg.

Đặt D = Df ∩ Dg. Mệnh đề chứa biến "f (x) = g (x)" được gọi là phương trình một ẩn, x gọi là ẩn và D gọi tập xác định của phương trình.

Số x0 ∈ D gọi là một nghiệm của phương trình f (x) = g (x) nếu "f (xo) = g (xo)" là một mệnh đề đúng.

2. Phương trình tương đương

Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm. Nếu phương trình f1 (x) = g1 (x) tương đương với phương trình f2 (x) = g2 (x) thì viết:

f1 (x) = g1 (x) ⇔ f2 (x) = g2 (x)

Định lý 1: Cho phương trình f (x) = g (x) có tập xác định D và y = h (x) là một hàm số xác định trên D. Khi đó trên miền D, phương trình đã cho tương đương với mỗi phương trình sau:

(1): f (x) + h (x) = g (x) + h (x)

(2): f (x).h (x) = g (x).h (x) với h (x) ≠ 0, ∀x ∈ D.

3. Phương trình hệ quả

Phương trình f1 (x) = g1 (x) có tập nghiệm là S1 được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f2 (x) = g2 (x) có tập nghiệm S2 nếu S1 ⊂ S2.

Khi đó viết:

f1 (x) = g1 (x) ⇒ f2 (x) = g2 (x)

Định lý 2: Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương trình hệ quả của phương trình đã cho: f (x) = g (x) ⇒ [f (x)]² = [g (x)]².

Chú ý:

+ Nếu hai vế của 1 phương trình luôn cùng dấu thì khi bình phương 2 vế của nó, ta được một phương trình tương đương.

+ Nếu phép biến đổi tương đương dẫn đến phương trình hệ quả, ta phải thử lại các nghiệm tìm được vào phương trình đã cho để phát hiện và loại bỏ nghiệm ngoại lai.

4. Phương pháp giải tìm tập xác định của phương trình

- Điều kiện xác định của phương trình bao gồm các điều kiện để giá trị của f (x), g (x) cùng được xác định và các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề bài).

- Điều kiện để biểu thức

+ √ (f (x)) xác định là f (x) ≥ 0

+ 1/f (x) xác định là f (x) ≠ 0

+ 1/√ (f (x)) xác định là f (x) > 0

Ví dụ minh họa

Bài 1: Khi giải phương trình √ (x² - 5) = 2 - x (1), một học sinh tiến hành theo các bước sau:

Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được:

x² - 5 = (2 - x)² (2)

Bước 2: Khai triển và rút gọn (2) ta được 4x = 9

Bước 3: (2) ⇔ x = 9/4

Vậy phương trình có một nghiệm là x = 9/4

Theo em cách giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?

Bài giải:

Các giải trên là sai, vì: Phương trình (2) là phương trình hệ quả nên ta cần thay nghiệm x = 9/4 vào phương trình (1) để thử lại.

Vậy sai ở bước thứ 3.

Bài 2: Khi giải phương trình: một học sinh tiến hành theo các bước sau:

Bước 1:

Bước 2:

Bước 3: ⇔ x = 3 ∪ x = 4

Bước 4: Vậy phương trình có tập nghiệm là: T = {3; 4}

Em hãy cho biết cách giải trên sai từ bước nào?

Bài giải:

Các giải trên sai từ bước 2, vì biến đổi tương đương mà chưa đặt điều kiên.

Bài 3: Tìm tập xác định của phương trình:

Bài giải:

Điều kiện pt xác định: x² + 1 ≠ 0 (luôn đúng)

=> TXĐ: D = R.

Bài 4: Tìm tập xác định của phương trình:

Bài giải:

Điều kiện xác định của pt:

=> TXĐ: R\ {-2; 0; 2}

Bài 5: Tìm tập xác định của phương trình:

Bài giải:

Điều kiện xác định:

Bài 6: Tìm điều kiện xác định của phương trình:

Bài giải:

Điều kiện xác định của pt: 4 - 5x > 0 ⇔ x < 4/5 (luôn đúng)

Vậy TXĐ: D = (-∞; 4/5)

Bài 7: Tìm điều kiện xác định của phương trình:

Bài giải:

Điều kiện xác định:

=> TXĐ: D = [2; 7/2)\ {3}

Bài tiếp: Bài tập tìm tập xác định của phương trình - Chuyên đề Toán 10