Trang chủ > Lớp 10 > Chuyên đề Toán 10 (có đáp án) > Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng - Chuyên đề Toán 10

Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng - Chuyên đề Toán 10

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đường tròn (C1) tâm I1 (1; -2), bán kính R1 = 2 và đường tròn (C2), tâm I2 ( 3; 2), bán kính R2 = 2. Tìm tâm phép đối xứng của đường tròn (C1) và (C2)?

A. M (2; 0) B. M (4; 0) C. M (2; 4) D. M (-2; -4)

Bài giải:

Do 2 đường tròn đã cho có R1 = R2 nên tồn tại điểm M để qua điểm M biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Khi đó, M là trung điểm của I1I2. Suy ra tọa độ điểm M là:

⇒ M (2; 0)

Vậy qua điểm M (2; 0) biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Đáp án: A.

Ví dụ 2: Lập phương trình đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn (C1): x2 + y2 - 2x = 0. Qua điểm A (2; -1)?

A. (x + 3)2 + (y - 2)2 = 1 B. (x - 3)2 + (y - 2)2 = 1

C. (x - 3)2 + (y + 2)2 = 1 D. (x + 3)2 + (y + 2)2 = 1

Bài giải:

+ Đường tròn (C1) có tâm I1 (1; 0) và bán kính R1 = 1.

+ Do đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn (C1) qua điểm A nên hai tâm của hai đường tròn đối xứng với nhau qua điểm A đồng thời R1 = R2 = 1.

+ Gọi I2 là tâm của đường tròn (C2) thì tọa độ điểm I2:

⇒ I2( 3; -2)

Vậy phương trình đường tròn (C2) là: (x - 3)2 + (y + 2)2 = 1

Đáp án: C.

Ví dụ 3: Cho đường tròn (C1): x2 + y2 - 8x - 4y - 5 = 0 và điểm M. Qua phép đối xứng tâm M biến đường tròn (C1) thành đường tròn (C2) có bán kính R2 . Tìm R2?

A. 1 B. 3 C. 5 D. 10

Bài giải:

Đường tròn (C1) có tâm I1( 4; 2) và bán kính R1 = = 5

Qua đối xứng tâm M biến đường tròn (C1) thành đường tròn (C2)

⇒ Hai đường tròn này có cùng bán kính và hai tâm đối xứng với nhau qua điểm M

⇒ Bán kính R2 = R1 = 5.

Đáp án: C.

Ví dụ 4: Cho đường tròn (C1): x2 + y2 + 2x - 4y - 1 = 0 và đường tròn (C2): x2 + y2 - 2x + 6y - 2 = 0. Tìm tâm phép đối xứng biến (C1) thành (C2)?

A. ( 1; - 2) B. ( 2; 3) C. Không tồn tại D. Tất cả sai

Bài giải:

+ Đường tròn (C1) có tâm I1 (-1; 2) và bán kính R1 = √ 6.

+ Đường tròn (C2) có tâm I2(1; -3) và bán kính R2 = √ 12

⇒ R1 ≠ R2.

⇒ Không có phép đối xứng tâm biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Đáp án: C.

Ví dụ 5: Cho đường tròn (C1): x2 + y2 + 2x - 6y - 4 = 0 và đường thẳng d: x - 2y - 3 = 0. Viết phương trình đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn (C1) qua d?

A. (x + 3)2 + (y - 3)2 = 14 B. (x - 2)2 + (y - 5)2 = 14

C. (x - 1)2 + (y + 4)2 = 14 D. (x - 3)2 + (y + 5)2 = 14

Bài giải:

+ Đường tròn (C1) có tâm I1( - 1; 3) và bán kính R1 = √ 14

+ Giả sử đường tròn (C2) có tâm I2 và bán kính R2.

+ Do hai đường tròn (C1) và (C2) đối xứng với nhau qua đường thẳng d nên:

R2 = R1 = √ 14 và hai tâm I1, I2 đối xứng nhau qua đường thẳng d.

+ Ta tìm điểm I2.

- Đường thẳng I1I2:

⇒ Phương trình I1I2: 2 (x + 1) + 1 (y - 3) = 0 hay 2x + y - 1 = 0.

- Gọi giao điểm của d và I1I2 là H ⇒ H (1; - 1).

Khi đó; H là trung điểm của I1I2 nên tọa độ điểm I2: ⇒ I2( 3; -5)

⇒ Phương trình đường tròn (C2): (x - 3)2 + (y + 5)2 = 14

Đáp án: D.

Ví dụ 6: Cho đường tròn (C1): x2 + y2 + 8x - 10y - 10 = 0 và đường thẳng d: 5x + 4y = 0. Viết phương trình đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn (C1) qua đường thẳng d?

A. x2 + y2 + 10x - 10y - 10 = 0 B. x2 + y2 + 20x - 10y - 10 = 0

C. x2 + y2 - 10x - 20y - 15 = 0 D. x2 + y2 + 20x + 10y - 15 = 0

Bài giải:

+ Đường tròn (C1): tâm I1( -4; 5).

Ta thấy điểm I1 thuộc đường thẳng d nên phép đối xứng qua đường thẳng d biến đường tròn (C1) thành chính nó.

⇒ (C2) ≡ (C1): x2 + y2 + 8x - 10y - 10 = 0.

Đáp án: A.

Ví dụ 7: Cho đường tròn (C1): x2 + y2 - 10x - 20y - 15 = 0 và điểm A (5; 10). Viết phương trình đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn (C1) qua điểm A?

A. x2 + y2 - 10x + 20y - 15 = 0 B. x2 + y2 + 10x - 20y - 15 = 0

C. x2 + y2 - 10x - 20y - 15 = 0 D. Tất cả sai

Bài giải:

+ Đường tròn (C1) có tâm I1(5; 10)

⇒ Điểm I1 ≡ A.

⇒ Qua đối xứng tâm A biến điểm I1 thành chính nó nên biến đường tròn C1 thành chính nó.

⇒ (C2) ≡ (C1): x2 + y2 - 10x - 20y - 15 = 0.

Đáp án: C

Ví dụ 8: Cho đường tròn (C1): x2 + y2 - 4x - 6y - 2 = 0 và đường thẳng d: 3x - 4y - 9 = 0. Phép đối xứng qua đường thẳng d biến đường tròn (C1) thành đường tròn (C2). Tính I1I2 trong đó I1; I2 lần lượt là tâm của hai đường tròn (C1); (C2)?

A. 5 B. 6 C. 3 D. 10

Bài giải:

+ Đường tròn (C1) có tâm I1(2; 3).

+ Khoảng cách từ I1 đến đường thẳng d:

d (I1; d) = = 3

+ Do hai đường tròn đối xứng với nhau qua đường thẳng d nên d là đường trung trực của I1I2. Gọi H là giao điểm của I1I2 với đường thẳng d

⇒ d (I1;d) = I1H = I2H = 3

⇒ I1I2 = I1H + HI2 = 3 + 3 = 6

Đáp án: B

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hai đường tròn (C1): tâm I1(3; 8) bán kính R1 = 6 và đường tròn (C2): Tâm I2( -7; 4) bán kính R2 = 6. Tìm tâm phép đối xứng của đường tròn (C1) và (C2)?

A. M (2; 0) B. M (4; 0) C. M (-2; 6) D. M (-2; -4)

Đáp án: C

Do hai đường tròn đã cho có R1 = R2 nên tồn tại điểm M để qua điểm M biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Khi đó, M là trung điểm của I1I2. Suy ra tọa độ điểm M là:

⇒ M (- 2; 6)

Vậy qua điểm M (-2; 6) biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Câu 2: Viết phương trình đường tròn (C2) đối xứngvới đường tròn (C1): x2 + y2 + 4y = 0 Qua điểm A (0; 4)?

A. (x + 3)2 + (y - 2)2 = 4 B. (x - 3)2 + (y - 2)2 = 4

C. x2 + (y - 10)2 = 4 D. (x + 3)2 + y2 = 4

Đáp án: C

+ Đường tròn (C1) có tâm I1 (0; -2) và bán kính R1 = 2.

+ Do đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn (C1) qua điểm A nên hai tâm của hai đường tròn đối xứng với nhau qua điểm A đồng thời R1 = R2 = 2.

+ Gọi I2 là tâm của đường tròn (C2) thì tọa độ điểm I2:

⇒ I2( 0; 10)

⇒ Phương trình đường tròn (C2): x2 + (y - 10)2 = 4

Câu 3: Cho đường tròn (C1): x2 + y2 - 2x + 8y - 8 = 0 và điểm M. Qua phép đối xứng tâm M biến đường tròn (C1) thành đường tròn (C2) có bán kính R2. Tính R2?

A. 1 B. 3 C. 5 D. 10

Đáp án: C

Đường tròn (C1) có tâm I1(1; -4) và bán kính R1 = = 5

Qua đối xứng tâm M biến đường tròn (C1) thành đường tròn (C2)

⇒ Hai đường tròn này có cùng bán kính và hai tâm đối xứng với nhau qua điểm M

⇒ bán kính R2 = R1 = 5.

Câu 4: Cho đường tròn (C1): x2 + y2 + 8y - 2 = 0 và đường tròn (C2): x2 + y2 + 2x - 4y - 1 = 0. Tìm tâm phép đối xứng biến (C1) thành (C2)?

A. ( 1; -2) B. ( 2; 3) C. Không tồn tại D. Tất cả sai

Đáp án: C

+ Đường tròn (C1) có tâm I1 (0; -4) và bán kính R1 = √ 18

+ Đường tròn (C2) có tâm I2(-1; 2) và bán kính R2 = √ 6

⇒ R1 ≠ R2.

⇒ Không có phép đối xứng tâm biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Câu 5: Cho đường tròn (C1): x2 + y2 + 4x - 4y - 1 = 0 và đường thẳng d: 2x - y - 3 = 0. Viết phương trình đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn (C1) qua d?

A. (x + 3)2 + (y - 3)2 = 9 B. (x - 2)2 + (y - 5)2 = 9

C. (x - 6/5 )2 + (y + 4/5)2 = 9 D. (x - 26/5 )2 + (y + 8/5)2

Đáp án: D

+ Đường tròn (C1) có tâm I1(-2; 2) và bán kính R1 = 3

+ Giả sử đường tròn (C2) có tâm I2 và bán kính R2.

+ Do hai đường tròn (C1) và (C2) đối xứng với nhau qua đường thẳng d nên:

R2 = R1 = 3 và hai tâm I1, I2 đối xứng nhau qua đường thẳng d.

+ Ta tìm điểm I2.

- Đường thẳng I1I2:

⇒ Phương trình I1I2: 1 (x + 2) + 2 (y - 2) = 0 hay x + 2y - 2 = 0

- Gọi giao điểm của d và I1I2 là H ⇒ H (8/5; 1/5)

Khi đó; H là trung điểm của I1I2 nên tọa độ điểm I2:

⇒ I2(26/5; -8/5 )

⇒ Phương trình đường tròn (C2): (x - )2 + (y + )2 = 9

Câu 6: Cho đường tròn (C1): x2 + y2 + 4x - 4 = 0 và đường thẳng d: x + y + 2 = 0. Viết phương trình đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn (C1) qua đường thẳng d?

A. x2 + y2 + 4y - 4 = 0 B. x2 + y2 + 2x - 2y - 6 = 0

C. x2 + y2 + 4x - 4 = 0 D. x2 + y2 + 20x + 10y - 15 = 0

Đáp án: C

+ Đường tròn (C1): tâm I1 (- 2; 0)

Ta thấy điểm I1 thuộc đường thẳng d nên phép đối xứng qua đường thẳng d biến đường tròn (C1) thành chính nó.

⇒ (C2) ≡ (C1): x2 + y2 + 4x - 4 = 0.

Câu 7: Cho đường tròn (C1): x2 + y2 + 12x - 8y - 1 = 0 và điểm A (-6; 4). Viết phương trình đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn (C1) qua điểm A?

A. x2 + y2 + 14x + 8y - 1 = 0 B. x2 + y2 - 12x + 8y - 1 = 0

C. x2 + y2 + 12x - 8y - 1 = 0 D. Tất cả sai

Đáp án:

+ Đường tròn (C1) có tâm I1(-6; 4)

⇒ Điểm I1 ≡ A.

⇒ Qua đối xứng tâm A biến điểm I1 thành chính nó nên biến đường tròn C1 thành chính nó.

⇒ (C2) ≡ (C1): x2 + y2 + 12x – 8y - 1 = 0.

Câu 8: Cho đường tròn (C1): x2 + y2 – 6x + 2y - 1 = 0 và đường thẳng
d: 3x + 4y + 10 = 0. Phép đối xứng qua đường thẳng d biến đường tròn (C1) thành đường tròn (C2). Tính I1I2 trong đó I1; I2 lần lượt là tâm của hai đường tròn (C1); (C2)?

A. 5 B. 6 C. 3 D. 10

Đáp án: B

+ Đường tròn (C1) có tâm I1(3; -1).

+ Khoảng cách từ I1 đến đường thẳng d:

d (I1; d) = = 3

+ Do hai đường tròn đối xứng với nhau qua đường thẳng d nên d là đường trung trực của I1I2. Gọi H là giao điểm của I1I2 với đường thẳng d

⇒ d (I1;d) = I1H = I2H = 3

⇒ I1I2 = I1H + HI2 = 3 + 3 = 6