Trang chủ > Lớp 10 > Chuyên đề Toán 10 (có đáp án) > Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính - Chuyên đề Toán 10

Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính - Chuyên đề Toán 10

Ví dụ 1. Cho hai điểm A (5; -1); B (-3; 7). Đường tròn có đường kính AB có phương trình là:

A. x2 + y2 + 2x - 6y - 22 = 0. B. x2 + y2 - 2x - 6y - 22 = 0.

C. x2 + y2 - 2x - y + 1 = 0. D. Tất cả sai

Bài giải:

Tâm I của đường tròn là trung điểm AB nên tọa độ của I (1; 3).

Bán kính R = 1/2AB = = 4√ 2

Vậy phương trình đường tròn là: (x - 1)2 + (y - 3)2 = 32

Hay: x2 + y2 - 2x- 6y - 22 = 0.

Đáp án: B.

Ví dụ 2. Cho 2 điểm A (-4; 2) và B (2; -3). Tập hợp điểm M thỏa mãn có phương trình là

A. x2 + y2 + 2x + 6y + 1= 0. B. x2 + y2 - 6x - y + 1 = 0.

C. x2 + y2 - 2x - 6y – 10 = 0. D. x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0.

Bài giải:

Ta có: (x + 4; y - 2); (x - 2; y + 3)

Theo giả thiết: MA2 + MB2 = 31

=> ( x + 4)2 + (y - 2)2 + (x - 2)2 + (y + 3)2 = 31

< => x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0

Đáp án: D.

Ví dụ 3. Đường tròn tâm I (3; -2) và bán kính R = 2 có phương trình là:

A. ( x + 3)2 + (y + 2)2 = 2 B. (x - 3)2 + (y + 2)2 = 4

C. ( x + 3)2 + (y - 2)2 = 4 D. (x - 3)2 + (y - 2)2 = 4

Bài giải:

Phương trình đường tròn có tâm (3; -2), bán kính R = 2 là:

(x - 3)2 + (y + 2)2 = 4

Đáp án: B.

Ví dụ 4. Đường tròn tâm I (-1; 2) và đi qua điểm M (2; 1) có phương trình là:

A. x2 + y2 + 2x + 4y - 5 = 0. B. x2 + y2 + 2x - 4y - 5 = 0.

C. x2 + y2 + 2x + 4y + 5 = 0. D. x2 + y2 - 2x + 4y - 5 = 0.

Bài giải:

Đường tròn có tâm I (-1; 2) và đi qua M (2; 1) thì bán kính đường tròn là:

R = IM = = √ 10

=> phương trình đường tròn là: (x + 1)2 + (y - 2)2 = 10

< => x2 + y2 + 2x - 4y - 5 = 0.

Đáp án: B.

Ví dụ 5. Cho hai điểm A (5; -1) và B (-3; 7). Phương trình dường tròn có đường kính AB là... ?

A. x2 + y2 - 2x + 6y - 3 = 0. B. x2 +y2 - 2x - 6y - 22 = 0

C. x2 +y2 + 2x + 6y - 3 = 0 D. x2 +y2 + 2x + 6y - 15 = 0

Bài giải:

Tâm I của đường tròn là trung điểm của AB nên I có tọa độ (1; 3).

Bán kính: AB = = 4√ 2

=> Phương trình đường tròn là: (x - 1)2 + (y - 3)2 = 32 hay x2 +y2 - 2x - 6y - 22 = 0

Đáp án: B.

Ví dụ 6: Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A (3; 1); B (5; 5) và tâm I nằm trên trục hoành?

A.(x - 1)2 + y2 = 16 B. (x - 10)2 + y2 = 50

C. (x + 1)2 + y2 = 17 D. (x - 10)2 + y2 = 50

Bài giải:

+ Tâm I của đường tròn nằm trên trục hoành nên tọa độ của I (a; 0).

⇒ Phương trình đường tròn (C): (x - a)2 + y2 = R2.

+ Điểm A (3; 1) thuộc (C) nên (3 - a)2 + 12 = R2 (1).

+ Điểm B (5; 5) thuộc (C) nên (5 - a)2 + 52 = R2 (2).

Lấy (1) - (2) => 4a - 40 = 0

⇔ 4a = 40 ⇔ a = 10

Thay a = 10 vào (1) ta được: R2 = 50.

Vậy phương trình đường tròn (C) là: (x - 10)2 + y2 = 50

Đáp án: D.

Ví dụ 7: Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A (0; 1); B (1; 0) và tâm I nằm trên đường thẳng d: x + y + 2 = 0?

A. x2 + y2 - 2x + 2y - 1 = 0 B. x2 + y2 + 2x + 2y - 3 = 0

C. x2 + y2 + 4x - 3 = 0 D. Tất cả sai

Bài giải:

Giả sử phương trình đường tròn (C): x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (với a2 + b2 - c > 0)

Là đường tròn có tâm I (a; b).

+ Do điểm A (0; 1) thuộc đường tròn nên: 0 + 1 - 2b + c = 0 hay – 2b + c = - 1 (1)

+ Do điểm B (1; 0) thuộc đường tròn nên: 1 + 0 - 2a + c = 0 hay -2a + c = -1 (2)

+ Do tâm I thuộc đường thẳng d: x + y + 2 = 0 nên a + b + 2 = 0 (3).

Từ (1); (2) và (3) ta có hệ phương trình:

⇒ Phương trình đường tròn cần tìm là: x2 + y2 + 2x + 2y - 3 = 0

Đáp án: B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm phương trình đường tròn có tâm I (3; -1) và bán kính R = 2?

A. (x + 3)2 + (y - 1)2 = 4. B. (x - 3)2 + (y - 1)2 = 4.

C. (x - 3)2 + (y + 1)2 = 4. D. (x + 3)2 + (y + 1)2 = 4.

Đáp án: C

Phương trình đường tròn có tâm I (3; -1), bán kính R = 2 là:

(x - 3)2 + (y + 1)2 = 4

Câu 2: Phương trình đường tròn tâm I (-1; 2) và đi qua điểm M (2; 1) là?

A. x2 + y2 + 2x - 4y - 5 = 0 B. x2 + y2 + 2x - 4y - 3 = 0

C. x2 + y2 - 2x - 4y - 5 = 0 D. x2 + y2 + 2x + 4y - 5 = 0

Đáp án: A

+ Đường tròn có tâm I (-1; 2) và đi qua M (2; 1) thì có bán kính là:

R = IM = = √ 10

+ Khi đó đường tròn có phương trình là:

(x + 1)2 + (y - 2)2 = 10 ⇔ x2 + y2 + 2x - 4y - 5 = 0

Câu 3: Phương trình đường tròn tâm I (1; 4) và đi qua điểm B (2; 6) là?

A. (x + 1)2 + (y + 4)2 = 5 B. (x - 1)2 + (y - 4)2 = √ 5

C. (x + 1)2 + (y + 4)2 = √ 5 D. (x - 1)2 + (y - 4)2 = 5

Đáp án: D

Đường tròn có tâm I (1; 4) và đi qua B (2; 6) thì có bán kính là:

R = IB = = √ 5

Khi đó đường tròn có phương trình là: (x - 1)2 + (y - 4)2 = 5

Câu 4: Cho điểm M (x; y) có . Tập hợp điểm M là:

A. Đường tròn tâm I (-1; 2) và R = 3. B. Đường tròn tâm I (-1; 2) và R = 2.

C. Đường tròn tâm I (-1; 2) và R = 4. D. Đường tròn tâm I (1; -2) và R = 4.

Đáp án: B

Ta có: M

⇒ (x + 1)2 + (y - 2)2 = 4cos2t + 4sin2t ⇔ (x + 1)2 + (y - 2)2 = 4 (sin2t + cos2t)

⇔ (x + 1)2 + (y - 2)2 = 4

Vậy tập hợp điểm M là phương trình đường tròn có tâm I (-1; 2), bán kính R = 2.

Câu 5: Cho hai điểm A (5; -1); B (-3; 7). Phương trình đường tròn có đường kính AB là?

A. x2 + y2 - 2x - 6y - 22 = 0 B. x2 + y2 - 2x - 6y + 22 = 0

C. x2 + y2 - 2x - y - 1 = 0 D. x2 + y2 + 6x + 5y + 1 = 0

Đáp án: A

Đường tròn (C) có đường kính AB nên tâm I của đường tròn là trung điểm AB

⇒ Tọa độ điểm I:

⇒ I (1; 3)

Bán kính R = AB = = 4√ 2

Vậy phương trình đường tròn là:

(x - 1)2 + (y - 3)2 = 32 ⇔ x2 + y2 - 2x - 6y - 22 = 0

Câu 6: Cho hai điểm A (- 4; 2) và B (2; -3). Tập hợp điểm M (x; y) thỏa mãn:
MA2 + MB2 = 31 có phương trình là... ?

A. x2 + y2 + 2x + 6y + 1 = 0 B. x2 + y2 - 6x - 5y + 1 = 0

C. x2 + y2 - 2x - 6y - 22 = 0 D. x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0

Đáp án: D

Ta có: MA2 = (x + 4)2 + (y - 2)2 và MB2 = (x - 2)2 + (y + 3)2

Để MA2 + MB2 = 31

⇔ (x + 4)2 + (y - 2)2 + (x - 2)2 + (y + 3)2 = 31 ⇔ x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0

Câu 7: Tìm phương trình đường tròn đi qua hai điểm A (1; 2); B (2; 1) và tâm nằm trên đường thẳng (d): 3x + 4y + 7 = 0?

A. x2 + y2 + 2x + 2y - 11 = 0 B. x2 + y2 – 2x + 2y - 11 = 0

C. x2 + y2 + 2x - 2y - 11 = 0 D. x2 + y2 – 2x - 2y – 11 = 0

Đáp án: A

+ Gọi phương trình đường tròn cần tìm (C): x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (a2 + b2 - c > 0).

Đường tròn này có tâm I (a; b).

+ Do tâm I nằm trên đường thẳng d: 3x + 4y + 7 = 0 nên 3a + 4b + 7 = 0 (1).

+ Do điểm A (1; 2) nằm trên đường tròn nên:

1 + 4 - 2a - 4b + c = 0 hay -2a - 4b + c = - 5 (2)

+ Do điểm B (2; 1) nằm trên đường tròn nên:

4 + 1 - 4a - 2b + c = 0 hay – 4a - 2b + c = -5 (3)

Từ (1); (2) và (3) ta có hệ:

⇒ Phương trình đường tròn cần tìm là:

x2 + y2 + 2x + 2y - 11 = 0

Câu 8: Biết đường tròn (C) đi qua A (1; 2); B (3; 1) và tâm I nằm trên trục tung. Xác định tâm đường tròn?

A. I (0; -2) B. I (0; 1) C. I (0; -5/2) D. I (0; 3/2)

Đáp án: C

+ Do tâm I đường tròn nằm trên trục tung nên I (0; a).

⇒ Phương trình đường tròn có dạng: x2 + (y - a)2 = R2

+ Điểm A (1; 2) thuộc đường tròn (C) nên:

12 + (2 - a)2 = R2 hay a2 - 4a - R2 = - 5 (1)

+ Điểm B (3; 1) thuộc đường tròn (C) nên:

32 + (1 - a)2 = R2 hay a2 – 2a – R2 = - 10 (2)

+ Lấy (1) trừ (2) vế trừ vế ta được:

- 2a = 5 ⇔ a = -5/2

⇒ Tâm đường tròn là I (0; -5/2 )