Trang chủ > Lớp 10 > Chuyên đề Toán 10 (có đáp án) > Lập phương trình Elip đi qua 2 điểm hoặc qua 1 điểm thỏa mãn điều kiện - Chuyên đề Toán 10

Lập phương trình Elip đi qua 2 điểm hoặc qua 1 điểm thỏa mãn điều kiện - Chuyên đề Toán 10

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Elip đi qua các điểm M (0; 3) và N (3; -12/5) có phương trình chính tắc là:

A. = 1

B. = 1

C. = 1

D. = 1

Bài giải:

Gọi phương trình chính tắc của Elip là = 1 (a > b > 0).

Elip đi qua điểm M (0; 3) suy ra: = 1

= 1 ⇔ b2 = 9 (1)

Elip đi qua điểm N có tọa độ N (3; ) => = 1 (2)

Thay (1) vào (2) ta được: = 1

= 1 ⇔ a2 = 25

Vậy phương trình cần tìm là: = 1

Đáp án: B

Ví dụ 2: Tìm phương trình chính tắc của Elip có tiêu cự bằng 6 và đi qua điểm A (0; 5).

A. = 1

B. = 1

C. = 1

D. Đáp án khác

Bài giải:

Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng = 1 (a > b > 0).

Ta có tiêu cự bằng 6 nên: 2c = 6 ⇒ c = 3 và a2 - b2 = c2 = 9 (1)

Do điểm A (0; 5) thuộc (E) nên:

= 1 ⇔ = 1 ⇔ b2 = 25 mà b> 0 nên b= 5.

Thay vào (1) ta được: a2 – 25 = 9 ⇔ a2 = 34

⇒ Phương trình chính tắc của elip (E): = 1

Đáp án: D

Ví dụ 3: Tìm phương trình chính tắc của Elip có trục lớn gấp đôi trục bé và đi qua điểm

A. = 1 B. = 1

C. = 1 D. = 1

Bài giải:

Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng = 1 (a > b > 0).

Theo đề ra: Trục lớn gấp đôi trục bé nên: 2a = 2. ( 2b)

⇔ a = 2b ⇔ a2 = 4b2

Điểm (2; -2) thuộc Elip: = 1 ⇔ = 1

Ta được hệ:

⇒ Phương trình elip (E): = 1

Đáp án: D

Ví dụ 4: Phương trình chính tắc của Elip có một tiêu điểm F1(-√ 3; 0) và đi qua M (1; ) là:

A. = 1 B. = 1

C. = 1 D. = 1

Bài giải:

Do elip có một tiêu điểm là F1 (- √ 3; 0) nên c = √ 3

Phương trình chính tắc của elip có dạng:

(E): = 1 (a > b > 0) ⇒ c = = √ 3 ⇒ a2 - b2 = 3 (1)

M (1; ) ∈ (E) ⇒ = 1 ⇔ 4b2 + 3a2 = 4a2 b2 (2)

Giải hệ (1) và (2)


Vậy phương trình elip là: = 1

Đáp án: C

Ví dụ 5: Phương trình chính tắc của elip có hai tiêu điểm F1 (- 2; 0); F2 (2; 0) và đi qua điểm M (2; 3) là

A. = 1 B. = 1

C. = 1 D. Tất cả sai

Bài giải:

+ Gọi phương trình chính tắc của elip cần tìm: = 1 (a > b > 0).

+ Ta có elip có hai tiêu điểm F1 (- 2; 0); F2 (2; 0) nên c = 2

⇒ a2 - b2 = c2 = 4 ⇒ a2 = b2 + 4 (1)

+ Do elip đi qua điểm M (2; 3) nên:

= 1 (2)

+ Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:


+ Giải phương trình (*) ⇔ 4b2 + 9 (b2 + 4) = b2 (b2 + 4)

⇔ 4b2 + 9b2 + 36 = b4 + 4b2

⇔ b4 – 9b2 - 36 = 0

⇔ b2 = 12

⇒ a2 = b2 + 4 = 16

⇒ Phương trình chính tắc của elip (E): = 1

Đáp án: A

Ví dụ 6: Lập phương trình chính tắc của elip có tâm O; hai trục đối xứng là hai trục toạ độ và qua hai điểm ,

A. = 1 B. = 1

C. = 1 D. = 1

Bài giải:

Gọi phương trình chính tắc elip cần tìm là = 1 (a > b > 0).

Do elip đi qua , nên ta có hệ:


Vậy elip cần tìm là = 1

Đáp án: C

Ví dụ 7: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó có chiều rộng hình chữ nhật cơ sở là 8 và đi qua A (5; 0)?

A. = 1 B. = 1

C. = 1 D. = 1

Bài giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip = 1 (a > b > 0).

Do chiều rộng hình chữ nhật cơ sở là 8 nên 2b = 8 ⇔ b = 4

Do elip đi qua điểm A (5; 0) nên: = 1

⇔ a2 = 25

Phương trình chính tắc của elip: = 1

Đáp án: B

Ví dụ 8: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm A (6; 0) và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng 1/2.

A. = 1 B. = 1

C. = 1 D. = 1

Bài giải:

Gọi phương trình chính tắc của Elip là: = 1 (a > b > 0).

Elip đi qua điểm A (6; 0) suy ra: =1

= 1 ⇔ a2 = 36 mà a > 0 nên a = 6.

Tỉ số của tiêu cực với độ dài trục lớn bằng 1/2 suy ra:

= = ⇒ c = = = 3

⇒ b2 = a2 – c2 = 62 – 32= 27

Vậy phương trình cần tìm là (E): = 1

Đáp án: A

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm A (2; 1) và có tiêu cự bằng 2√ 3?

A. = 1 B. = 1

C. = 1 D. = 1

Đáp án: D

Trả lời:

Giả sử elip có phương trình tổng quát là IMG_4 = 1 (a > b > 0).

Do elip có tiêu cự là 2√ 3 nên 2c= 2√ 3 ⇔ c= √ 3.

Do (E) đi qua điểm A (2; 1) và có tiêu cự bằng nên ta có

IMG_75 ⇔ IMG_76

⇔ IMG_77 ⇔ IMG_78 ⇒ IMG_79

Vậy phương trình (E): IMG_80 = 1

Câu 2: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm A (6; 0) và có tâm sai bằng 1/2

A. = 1 B. = 1

C. = 1 D. = 1

Đáp án: B

Trả lời:

Giả sử elip có phương trình tổng quát là IMG_4 = 1 (a > b > 0).

Do (E) đi qua điểm A (6; 0) và có tâm sai bằng 1/2 nên ta có:

IMG_85 ⇔ IMG_86

⇔ IMG_87 ⇔ IMG_88 ⇒ (E): IMG_89 = 1

Câu 3: Lập phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 8 và đi qua M (√ 15; -1)

A. = 1 B. = 1

C. = 1 D. = 1

Đáp án: A

Trả lời:

Giả sử elip có phương trình tổng quát là IMG_4 = 1 (a > b > 0).

Do (E) có tiêu cự bằng 8 và đi qua M (√ 15; -1) nên:

IMG_94 ⇔ IMG_95

⇔ IMG_96 ⇔ IMG_97 ⇒ IMG_98

⇔ IMG_99 ⇒ IMG_100

⇒ Phương trình chính tắc của elip (E): IMG_101 = 1

Câu 4: Tìm phương trình chính tắc của elip, biết elip có chiều dài hình chữ nhật cơ sở bằng 4√ 5 và đi qua điểm M (0; -1)?

A. = 1 B. = 1

C. = 1 D. = 1

Đáp án: D

Trả lời:

Gọi phương trình chính tắc của Elip là: IMG_4 = 1 (a > b > 0).

Elip có chiều dài hình chữ nhật cơ sở bằng 4√ 5 suy ra:

2a= 4 √ 5 nên a= 2√ 5 và a2= 20

Elip đi qua điểm M (0; -1) suy ra: IMG_106 = 1 (2)

⇒ IMG_107 = 1 ⇒ b2 = 1

Vậy phương trình cần tìm là: IMG_108 = 1

Câu 5: Elip qua điểm M (2; 5/3) và có một tiêu điểm F (2; 0). Phương trình chính tắc của elip là:

A. = 1 B. = 1

C. = 1 D. = 1

Đáp án: A

Trả lời:

Gọi phương trình chính tắc của Elip là: IMG_4 = 1 (a > b > 0).

Elip có một tiêu điểm là F (2; 0) suy ra c= 2 và c2= 4 ⇔ a2- b2 = 4 (1).

Elip đi qua điểm M (2; IMG_109 ) suy ra IMG_114 = 1 (2).

Từ (1) suy ra a2= b2 + 4 thay vào (2) ta được:

IMG_115= 1

⇔ 36b2 + 25 (b2 +4) = 9b2 (b2 + 4)

⇔ 36b2 + 25b2 + 100 = 9b4 + 36b2

⇔ 9b4 – 25b2 – 100 = 0

⇔ b2 = 5 nên a2 = b2 + 4 = 9

Vậy phương trình cần tìm là (E): IMG_116 = 1

Câu 6: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm N (2; -5/3) và tỉ số của tiêu cự với độ dài

A. = 1 B. = 1

C. = 1 D. = 1

Đáp án: B

Trả lời:

Gọi phương trình chính tắc của Elip là: IMG_4 = 1 (a > b > 0).

Elip đi qua điểm N (2; IMG_117) suy ra: IMG_114 = 1 (1)

Tỉ số của tiêu cực với độ dài trục lớn bằng IMG_122 suy ra:

IMG_66 = IMG_67 = IMG_123 ⇒ c = IMG_124

⇒ c2= IMG_125.

Kết hợp với điều kiện b2 = a2 – c2 ta được:

b2 = a2 - IMG_125 = IMG_126 hay 9b2 = 5a2 (2)

Thay (2) vào (1) ta được:

IMG_127 = 1 ⇔ IMG_128 = 1

⇔ a2= 9 ⇔ b2 = 5

Vậy phương trình cần tìm là (E): IMG_129 = 1

Câu 7: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm A (2; √ 3) và tỉ số của độ dài trục lớn với tiêu cự bằng .

A. = 1 B. = 1

C. = 1 D. = 1

Đáp án: A

Trả lời:

Gọi phương trình chính tắc của Elip là: IMG_4 = 1 (a > b > 0).

Elip đi qua điểm A (2; √ 3) suy ra: IMG_135 =1 (1)

Tỉ số của độ dài trục lớn với tiêu cự bằng IMG_130 suy ra:

IMG_66 = IMG_67 = IMG_130 ⇒ c = IMG_136 và c2 = IMG_137

Kết hợp với điều kiện b2 = a2 - c2 ta được:

b2 = a2 - IMG_138 = IMG_139 nên a2= 4b2 (2).

Thay (2) vào (1) ta được: IMG_140 = 1 ⇔ b2 = 4

⇒ a2 = 4b2 = 16

Vậy phương trình cần tìm là: IMG_141 = 1

Câu 8: . Lập phương trình chính tắc của elip, biết elip đi qua hai điểm A (7; 0) và B (0; 3).

A. = 1 B. = 1

C. = 1 D. = 1

Đáp án: D

Trả lời:

Gọi phương trình chính tắc của Elip là: IMG_4 = 1 (a > b > 0).

Elip đi qua điểm A (7; 0) suy ra: IMG_146 = 1

⇔ IMG_147 = 1 ⇔ a2= 49.

Elip đi qua điểm B (0; 3) suy ra: IMG_148 = 1

⇔ IMG_149 = 1 ⇔ b2 = 9

Vậy phương trình cần tìm là: IMG_150 = 1

Câu 9: Elip đi qua các điểm A (0; 1) và N (1; ) có phương trình chính tắc là:

A. = 1 B. = 1

C. = 1 D. = 1

Đáp án: C

Gọi phương trình chính tắc của Elip là: = 1 (a > b > 0).

Elip đi qua điểm A (0; 1) suy ra: = 1

=1 ⇔ b2 = 1 (1)

Elip đi qua điểm N (1; IMG_151) suy ra: = 1 (2)

Thay (1) vào (2) ta được: = 1

= ⇔ a2= 4

Vậy phương trình cần tìm là (E): = 1